Accueil > Plan du site

• Textes originaux
  • Analysis Situs
    • Introduction
    • § 1. Première définition des variétés
    • § 2. Homéomorphisme
    • § 3. Deuxième définition des variétés
    • § 4. Variétés opposées
    • § 5. Homologies
    • § 6. Nombres de Betti
    • § 7. Emploi des intégrales
    • § 8. Variétés unilatères et bilatères
    • § 9. Intersection de deux variétés
    • § 10. Représentation géométrique
    • § 11. Représentation par un groupe discontinu
    • § 12. Groupe fondamental
    • § 13. Équivalences fondamentales
    • § 14. Conditions de l’homéomorphisme
    • § 15. Autres modes de génération
    • § 16. Théorème d’Euler
    • § 17. Cas où p est impair
    • § 18. Deuxième démonstration
  • Premier complément à l’Analysis Situs
    • §I. Introduction
    • §II. Schéma d’un polyèdre
    • §III. Nombres de Betti réduits
    • §IV. Subdivision des Polyèdres
    • §V. Influence de la subdivision sur les nombres de Betti réduits
    • §VI. Retour sur les démonstrations du paragraphe III.
    • §VII. Polyèdre réciproque
    • §VIII. Démonstration du théorème fondamental
    • §IX. Remarques diverses
    • §X. Démonstration arithmétique de l’un des théorèmes du paragraphe VII
    • §XI. Possibilité de la subdivision
  • Deuxième complément à l’Analysis Situs
    • §6. Torsion intérieure des variétés
    • §5. Extension au cas général d’un théorème du premier complément
    • §4. Application à quelques exemples
    • §3. Comparaison des tableaux {{T}}_q et {{T}}’_q
    • §2. Réduction des tableaux
    • §1. Rappel des principales définitions
    • Introduction
  • Sur certaines surfaces algébriques ; Troisième complément à l’Analysis Situs
    • Sur certaines surfaces algébriques
  • Sur les cycles des surfaces algébriques ; Quatrième complément à l’Analysis Situs
    • §5. Remarques diverses.
    • §4. Cycles à une dimension
    • §3. Cycles à deux dimensions.
    • §2. Cycles à trois dimensions.
    • §1. Introduction
  • Cinquième complément
    • §1 du cinquième complément
    • §2 du cinquième complément
    • §3 du cinquième complément
    • §4 du cinquième complément
    • §5 du cinquième complément
    • §6 du cinquième complément
  • Notes aux Comptes rendus de l’Académie des sciences
    • Sur l’Analysis Situs (1892)
    • Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres (1893)
    • Sur les nombres de Betti (1899)
    • Sur l’Analysis Situs (1901)
    • Sur la connexion des surfaces algébriques (1901)
  • Analyse de ses travaux par Poincaré
    • Analyse des travaux scientifiques de Poincaré faite par lui-même (extrait)
• Commentaires des textes originaux
  • Commentaires sur l’Analysis Situs
    • Commentaires sur l’introduction de l’Analysis Situs
    • Commentaires sur le §1 de l’Analysis Situs (Première définition des variétés)
    • Commentaires sur le §2 de l’Analysis Situs (Homéomorphisme)
    • Commentaires sur le §3 de l’Analysis Situs (Deuxième définition des variétés)
    • Commentaires sur le §4 de l’Analysis Situs (Variétés opposées)
    • Commentaires sur le §5 de l’Analysis Situs (Homologies)
    • Commentaires sur le §6 de l’Analysis Situs (Nombres de Betti)
    • Commentaires sur le §7 de l’Analysis Situs (Emploi des intégrales)
    • Commentaires sur le §8 de l’Analysis Situs (Variétés unilatères et bilatères)
    • Commentaires sur le §9 de l’Analysis Situs (Intersection de deux variétés)
    • Commentaires sur le §10 de l’Analysis Situs (Représentation géométrique)
    • Commentaires sur le §11 de l’Analysis Situs (Représentation par un groupe discontinu)
    • Commentaires sur le §12 de l’Analysis Situs (Groupe fondamental)
    • Commentaires sur le §13 de l’Analysis Situs (Équivalences fondamentales)
    • Commentaires sur le §14 de l’Analysis Situs (Conditions de l’homéomorphisme)
    • Commentaires sur le §15 de l’Analysis Situs (Autres modes de génération)
    • Commentaires sur le §16 de l’Analysis Situs (Théorème d’Euler)
    • Commentaires sur le §17 de l’Analysis Situs (Cas où $p$ est impair)
    • Commentaires sur le §18 de l’Analysis Situs (Deuxième démonstration)
  • Commentaires du premier complément
    • Commentaires sur le §I du premier complément
    • Commentaires sur le §II du premier complément
    • Commentaires sur le §III du premier complément
    • Commentaires sur le §IV du premier complément
    • Commentaires sur le §V du premier complément
    • Commentaires sur le §VI du premier complément
    • Commentaires sur le §VII du premier complément
    • Commentaires sur le §VIII du premier complément
    • Commentaires sur le §IX du premier complément
    • Commentaires sur le §X du premier complément
    • Commentaires sur le §XI du premier complément
  • Commentaires du deuxième complément
    • Commentaire sur le §1 du second complément (Rappel des principales définitions)
    • Commentaire sur le §2 du second complément (Réduction des tableaux)
    • Commentaires sur le §3 du second complément (Comparaison entre les tableaux $T_q$ et $T’_q$)
    • Commentaires sur le §4 du second complément (Application à quelques exemples)
    • Commentaires sur le §5 du deuxième complèment (Extension au cas général d’un théorème du premier complément)
    • Commentaires sur le §6 du deuxième complément (Torsion intérieure des variétés)
  • Commentaires du troisième complément
    • Commentaires du troisième complément
  • Commentaires sur le quatrième complément
    • Commentaires du quatrième complément
  • Commentaires du cinquième complément
    • Commentaires sur le §1 du cinquième complément
    • Commentaires sur le §2 du cinquième complément
    • Commentaires sur le §3 du cinquième complément
    • Commentaires sur le §4 du Cinquième Complément
    • Commentaires sur le §5 du Cinquième Complément
    • Commentaires sur le §6 du cinquième complément
  • Commentaires des Notes
    • Commentaires de la note "Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres"
    • Commentaires de la note "Sur les nombres de Betti"
• Contexte historique
  • Comment Poincaré présentait l’Analysis Situs au "grand public"
  • La théorie de Morse, de la topographie à la conjecture de Poincaré en grande dimension
  • Poincaré et les résidus des intégrales doubles
  • Approches de l’homologie chez Poincaré
  • La genèse du groupe fondamental chez Poincaré
  • L’article de Cayley sur les lignes de niveau et de plus grande pente
  • Des diagrammes de Listing à ceux de Heegaard
  • Les discussions entre Riemann et Betti sur l’Analysis Situs
  • Les idées de Riemann sur l’Analysis Situs en dimension quelconque
• Introduction à l’Analysis situs par les surfaces
  • Les premières surfaces : la sphère, le cylindre, le tore
  • Quelques surfaces non-orientables
  • Les surfaces plongées dans l’espace sont orientables
  • Somme connexe, surface de genre $g$
  • Un invariant topologique : la caractéristique d’Euler-Poincaré d’une surface fermée
  • Classification des surfaces triangulées équipées de fermetures éclair
  • Classification des surfaces par la théorie de Morse
  • Revêtement universel de quelques surfaces
  • Revêtements ramifiés entre surfaces
  • Homologie des surfaces non-orientables
  • Quelques calculs avec l’homologie polyédrale
  • Le groupe modulaire de la sphère
  • Autour du groupe modulaire des surfaces
• Exemples de dimension 3
  • Recollements du cube
    • La variété hypercubique
    • Un recollement qui n’est pas une variété
    • Un recollement du cube et une suspension d’un homéomorphisme du tore
    • Le tore de dimension 3
  • Fibrés sur le cercle
    • Une variété hyperbolique de dimension 3 qui fibre sur le cercle ...
    • Suspensions d’homéomorphismes linéaires du tore
  • Variété dodécaédrique de Poincaré
    • Définition comme recollement du dodécaèdre et premières propriétés
    • Géométrisation de la variété dodécaédrique de Poincaré
    • Un diagramme de Heegaard de genre $2$ de la variété dodécaédrique de Poincaré
    • Le diagramme de Heegaard de Poincaré
    • Deux décompositions de la variété dodécaédrique de Poincaré
    • La variété dodécaédrique de Poincaré comme revêtement de l’hypersphère ramifié au-dessus du noeud de trèfle
    • Différentes présentations du groupe fondamental de la variété dodécaédrique de Poincaré
  • Variété dodécaédrique de Seifert-Weber
  • Variétés lenticulaires
    • Lentilles et scindement de Heegaard des espaces lenticulaires
    • Classification et chirurgie de Dehn le long du noeud trivial
  • Fibrés en cercles et fibrés de Seifert
    • Fibrés en cercles et fibrés de Seifert : définitions
    • Groupe fondamental et classe d’Euler des fibrés en cercles
    • Exemples de fibrés de Seifert
    • Exemples de fibrés en cercles
  • Sphères de Brieskorn
    • Homologie des sphères de Brieskorn
    • La sphère de Brieskorn $\Sigma(2,3,5)$ est la sphère d’homologie de Poincaré
  • Revêtements ramifiés
    • Revêtements ramifiés (cas général)
    • Exemples de revêtements ramifiés en dimension 3
  • Topologie des variétés de dimension 3
    • Deux lemmes de recollement
    • Espaces d’identification et 3-variétés
    • Quaternions, rotations, fibrations
    • Le théorème du domaine fondamental
    • Décomposition en anses, diagramme de Heegaard
    • Scindement de Heegaard d’une variété polyédrique
    • Opérations élémentaires sur les diagrammes de Heegaard
    • Chirurgie de Dehn
• Groupe fondamental
  • Groupe fondamental par les revêtements
    • Les revêtements
    • Les revêtements d’un espace forment un ensemble ordonné
    • Les espaces simplement connexes
    • Le revêtement universel et le groupe fondamental
    • Revêtements et sous-groupes du groupe fondamental
    • L’identification entre les deux définitions du groupe fondamental
    • Groupe fondamental d’une variété polyédrique
    • Fonctions multiformes et groupe fondamental
    • Autour du dilogarithme
  • Groupe fondamental par les lacets
    • Définition du groupe fondamental "par les lacets"
    • Revêtements
    • Revêtement et relèvements
    • Groupe fondamental d’un quotient
    • Action du groupe fondamental sur la fibre d’un revêtement
    • Revêtement universel
    • Relèvement des applications
    • Classification des revêtements et revêtements galoisiens
    • Un revêtement est caractérisé par son action sur la fibre
    • Équivalence des définitions d’espace simplement connexe
    • Théorème de la boule chevelue
  • Groupe fondamental : exemples de calculs
    • Variétés sphériques
  • Le(s) théorème(s) de van Kampen
    • Théorème de van Kampen, version fermée
    • Groupe fondamental d’un scindement de Heegaard
    • Groupe fondamental d’un tore de suspension
    • Boucles d’oreilles hawaïennes
    • Groupe fondamental des CW-complexes
    • Le théorème de van Kampen, version ouverte
  • Groupes d’homotopie supérieure
    • Homotopies, équivalences d’homotopies, etc.
    • Définition des groupes d’homotopie
    • Suite d’homotopie d’un espace fibré
• Homologie
  • Interprétation géométrique du produit d’intersection
  • Réalisation des classes d’homologie par des sous-variétés
  • Lien entre homologie et homotopie : le théorème de Hurewicz
  • Une invitation à l’homologie persistante
  • Introduction à l’homologie via le bordisme
    • Un peu de transversalité
    • Introduction au bordisme : définition ; étude du premier groupe de bordisme
    • Quelques propriétés des groupes de bordisme
  • L’homologie "à la Poincaré"
    • Construction de l’homologie « à la Poincaré »
      • L’idée intuitive à la base de l’homologie à la Poincaré
      • Définition de l’homologie à la Poincaré
    • Comparaison entre homologie à la Poincaré et homologie singulière
      • Homologie à la Poincaré, homologie des simplexes plongés, homologie non-singulière, homologie singulière
      • Morphismes entre homologie singulière, non-singulière, plongée, à la Poincaré
      • Trivialité de l’homologie de l’espace affine I
      • Trivialité de l’homologie de l’espace affine II
      • Isomorphisme entre l’homologie à la Poincaré et l’homologie singulière
  • Homologies polyédrale et simpliciale
    • Homologies polyédrale et simpliciale : Définitions
    • Invariance par subdivision
    • Quotients de polyèdres
  • Homologie singulière
    • Homologie singulière : définition et premières propriétés
    • Homologie relative
    • Théorème d’écrasement et premiers calculs en homologie singulière
    • Théorème des petites chaînes
    • Démonstration(s) du théorème d’écrasement
    • Suite exacte de Mayer-Vietoris
    • Fonctorialité de l’homologie singulière
    • Degré d’une application
    • Comparaison des homologies simpliciale et singulière
    • Homologie à coefficients dans d’autres groupes
    • Du groupe fondamental à l’homologie en degré 1
    • Axiomes d’une théorie des chaînes pour les espaces topologiques
  • Caractéristique d’Euler-Poincaré
    • Définition axiomatique de la caractéristique d’Euler-Poincaré
    • Formule d’Euler-Poincaré
    • La caractéristique d’Euler-Poincaré comme somme alternée des nombres de $i$-faces
    • La caractéristique d’Euler-Poincaré comme somme alternée des nombres de Betti
  • Dualité de Poincaré
    • Dualité de Poincaré (énoncé du théorème)
    • Du dual d’un complexe simplicial à la dualité de Poincaré
    • Existence du produit d’intersection
  • Exemples de calculs, Applications de la suite exacte longue de Mayer-Vietoris
    • Homologie du cercle et des sphères
    • Homologie des surfaces compactes orientables
  • Homologie cellulaire
    • Les CW-complexes
    • Homologie cellulaire
    • Homologies cellulaire et singulière
    • Homologie des espaces projectifs
    • Produit des CW-complexes et homologie
  • Cohomologie
    • Définition des groupes de cohomologie
    • Multiplication en cohomologie
    • Produit $\times$, (co)homologie des espaces produits et formule de Künneth
    • Cohomologie des produits de CW-complexes
    • Le produit cap et la dualité de Poincaré revisitée
    • Orientation et classe fondamentale
    • Cohomologie de De Rham
      • Suite exacte de Mayer-Vietoris pour la cohomologie de de Rham
      • Fonctorialité et produit en cohomologie de de Rham
      • Définition de la cohomologie de de Rham
      • Théorème de De Rham
        • Preuve de la surjectivité
        • Preuve de l’injectivité
        • Théorème de de Rham PL
  • Rudiments d’algèbre homologique
    • Complexes de (co)chaînes et (co)homologie
    • Lemme des cinq et naturalité de la suite exacte longue en (co)homologie
    • Cône d’un morphisme de complexe de (co)chaînes
    • Théorème des coefficients universels
• Surfaces complexes
  • B-A-BA de topologie des variétés algébriques complexes
  • Éclatements
  • Pinceaux et fibrations de Lefschetz
  • La formule de Picard-Lefschetz
  • Groupe fondamental des fibrations de Lefschetz
  • Homologie des fibrations de Lefschetz
  • Simple connexité des revêtements doubles ramifiés du plan projectif complexe
  • Le pinceau de cubiques de Hesse
  • Reconstruction topologique d’une fibration de Lefschetz
  • Topologie des hypersurfaces de l’espace projectif : les théorèmes de Lefschetz
  • Topologie des courbes algébriques planes réelles
• La théorie de Morse
  • La théorie de Morse, en mots et en images
  • Le lemme de Morse
  • Évolution de la topologie des sous-niveaux
  • Existence des fonctions de Morse
  • Théorie de Morse, décompositions en anses et scindements de Heegaard
  • Théorie de Morse et homologie
  • Algèbre des inégalités de Morse
• Triangulation des variétés
  • Polyèdres, applications et variétés PL
  • Triangulations lisses
  • Approximation d’objets lisses par des objets PL
  • Classification des surfaces triangulées par réduction à une forme normale
  • Cellulation duale à une triangulation lisse d’une variété
• Bibliographie commentée
  • Livres de référence
  • Textes fondateurs ou de survol
  • Textes d’histoire des mathématiques
  • Quelques sites internet