Rappelons que l’objectif, qui guide Poincaré dans sa définition de l’homologie, est de mesurer la complexité de la topologie d’une variété $V$ en comptant le nombre maximal de « sous-variétés » de dimension $p$ que l’on peut « faire entrer » dans $V$, sans que certaines d’entre elles ne constituent un bord. Il ne suffit toutefois pas de considérer des sous-variétés (cette approche et ses limites sont présentées dans l’Introduction au bordisme). L’homologie singulière consiste à pousser l’approche originale de Poincaré au maximum : un simplexe singulier est l’image par une application continue quelconque d’un simplexe linéaire et en guise de « sous-variétés » on considère n’importe quelle combinaison linéaire de simplexes singuliers. L’article Homologie singulière : Définition et premières propriétés donne les définitions précises. Passée la barrière psychologique consistant à considérer un module librement engendré par un ensemble hautement non-dénombrable, tout se déroule le plus simplement du monde et on aboutit à une théorie homologique pour tous les espaces topologiques et naturelle par rapport à toutes les fonctions continues [1]. On montre de même, presque immédiatement, que l’homologie de $\mathbb{R}^n$ est triviale. Reste que calculer les groupes d’homologie d’espaces plus compliqués semble bien problématique.
À ce stade on peut immédiatement se lancer dans la lecture de l’article Du groupe fondamental à l’homologie en degré 1 (ou le remettre à plus tard) pour au moins apprendre à calculer le premier groupe d’homologie des espaces dont on connaît le groupe fondamental.
De nombreux espaces sont obtenus en recollant selon des sous-espaces des espaces topologiques plus simples. Par exemple, on obtient une sphère en identifiant tout le bord d’un disque à un seul point. Il est donc naturel de considérer l’homologie d’un espace relativement à un sous-espace et donc de considérer des cycles relatifs, c’est-à-dire des chaînes d’un espace $X$ dont le bord est contenu dans un sous-espace $A$. C’est l’objet de l’Homologie relative. Pour que les groupes d’homologie relative deviennent utiles, il faut toutefois pouvoir les relier à l’homologie de l’espace quotient $X/A$. C’est l’objet du Théorème d’écrasement qui permet de calculer les groupes d’homologie de différents espaces, notamment des sphères, et d’en tirer de premières conséquences spectaculaires (comme le célèbre théorème du point fixe de Brouwer). L’outil principal de la démonstration du théorème d’écrasement est le Théorème des petites chaînes. Une fois celui-ci démontré on présente deux Démonstrations du théorème d’écrasement.
- Homologie relative.
- Théorème d’écrasement.
- Théorème des petites chaînes.
- Démonstrations du théorème d’écrasement.
On peut également déduire du théorème des petites chaînes la Suite exacte de Mayer-Vietoris qui est un outil puissant, analogue au théorème de Van Kampen en homologie, permettant de calculer les groupes d’homologie d’un espace topologique en le décomposant en morceaux plus simples. On trouvera ici différents exemples de calculs de groupes d’homologie à l’aide de la suite de Mayer-Vietoris.
On revient sur la naturalité de l’homologie singulière dans l’article Fonctorialité de l’homologie singulière. Cela permet d’identifier homologie simpliciale et homologie singulière d’un polyèdre dans l’article Comparaison des homologies simpliciale et singulière. Cela permet également, dans l’article Degré d’une application, de définir le degré d’une application $f$ et de montrer qu’il ne dépend que de la classe d’homotopie de $f$. À la suite de quoi on peut se précipiter sur l’étude de la théorie homologique qui est certainement la plus souple en pratique pour les calculs : l’homologie cellulaire.
- Fonctorialité de l’homologie singulière.
- Comparaison des homologies simpliciale et singulière.
- Degré d’une application.
Sinon, dans l’article Coefficients locaux on montre qu’en remplaçant les entiers $\mathbb{Z}$ par un autre groupe abélien $G$, on peut définir des groupes d’homologie à coefficients dans $G$. La plupart des résultats sur les groupes d’homologie à coefficients dans $\mathbb{Z}$ se généralisent, notamment la formule d’Euler-Poincaré.
[1] C’est une première instance de ce phénomène que l’on retrouve dans les mathématiques proches de l’algèbre homologique, en particulier celles de Grothendieck où le passage à la plus grande généralité (qu’il faut dégager !) vient comme « forcer » les démonstrations. On n’a plus alors qu’à tout dérouler (parfois même sans comprendre ce que l’on fait :)).