La notion d’homologie est un des outils principaux de la topologie algébrique. On peut construire plusieurs théories homologiques. Malheureusement, les définitions formelles de ces théories ne sont pas très intuitives. Ici, nous allons commencer par présenter une théorie assez intuitive, le bordisme, dont nous montrerons les limites et les difficultés. Il sera ensuite clair pour le lecteur, on l’espère, qu’il faut changer de définition, et les « bonnes définitions » apparaîtront un peu moins « artificielles ».
L’idée intuitive à la base de l’homologie est de mesurer la complexité de la topologie d’une variété $X$ en comptant, pour chaque entier $p$ entre $0$ et $\mathrm{dim}(X)$, le nombre maximal $k$ de variétés fermées de dimension $p$ que l’on peut « faire entrer » dans $X$, sans que certaines de ces variétés, correctement orientées, ne forment le bord orienté d’une variété de dimension $p+1$. Le bordisme est une formalisation directe de cette idée : dans cette théorie, « faire entrer une variété de dimension $p$ dans $X$ » signifie que l’on considère l’image d’une variété abstraite de dimension $p$ par une application continue à valeurs dans $X$.
On notera que cette formalisation, aussi naturelle soit-elle, est assez différente de celle adoptée par Poincaré dans l’Analysis Situs [1] ; l’homologie à la Poincaré est présentée ici. La théorie du bordisme ne s’est développée qu’au milieu du XXième siècle, sous l’impulsion notamment de L. Pontryagin, puis de R. Thom.
Dans le premier article de la rubrique, on définit la notion de bordisme, en se concentrant sur l’étude du premier groupe de bordisme d’une variété :
Dans l’article ci-dessus, et plus généralement dans l’étude les groupes de bordisme, on a très souvent besoin d’arguments de « position générale ». Nous consacrons donc un bref article au théorème de transversalité qui permet de justifier ces arguments :
Nous conseillons aux lecteurs qui ne connaissent pas encore l’homologie d’arrêter là leur lecture de cette rubrique, et de poursuivre leur découverte en suivant le parcours suggéré ici.
Pour les lecteurs déjà familiers des théories homologiques, nous poursuivons quelque peu l’étude des propriétés des groupes de bordisme. Nous découvrons notamment en quoi le bordisme diffère d’une théorie homologique :
[1] Cela n’a rien d’étonnant, puisque le bordisme repose fondamentalement sur la notion de variété abstraite, qui n’a émergé que dans les années 1920-30.