La démonstration du théorème de dualité de Poincaré conduit naturellement à dualiser les constructions faites en homologie. On remplace ainsi les complexes de chaînes par des complexes de cochaînes, où chaque cochaîne est donc une application linéaire qui à toute chaîne de la théorie homologique considérée associe un nombre. Les groupes de cohomologie sont aux complexes de cochaînes ce que les groupes d’homologie sont aux complexes de chaînes.
Géométriquement les groupes de cohomologie sont souvent plus naturels que les groupes d’homologie : il est en effet souvent plus naturel de tirer en arrière une structure (géométrique) que de la pousser en avant. Lu à travers la dualité de Poincaré (encore) le produit d’intersection conduit ainsi à additionner les degrés. On montre d’ailleurs dans Multiplication en cohomologie que les groupes de cohomologie d’un espace topologique général portent un produit naturel qui les munit d’une structure d’anneau. Cette structure supplémentaire fait de la cohomologie un invariant topologique plus fin que l’homologie.
L’article Produit x, (co)homologie des espaces produits et formule de Künneth détaille les rapports entre l’homologie d’un produit $X\times Y$ d’espaces et l’homologie de $X$ et $Y$ (formule de Künneth). La structure produit sur la cohomologie est alors réinterprétée, après dualisation, via l’application de restriction à la diagonale dans le produit $X \times X$.
Sous des hypothèses de finitude, on a encore un isomorphisme de Künneth en cohomologie, c’est l’objet de l’article Cohomologie des produits de CW-complexes. Toutefois, étendre la dualité de Poincaré aux variétés topologiques, requiert encore de savoir définir Orientation et classe fondamentale de celles-ci.
- Cohomologie des produits de CW-complexes.
- Orientation et classe fondamentale.
- Le produit cap et la dualité de Poincaré revisitée.
Enfin, nous présentons aussi une autre approche à la cohomologie, via la cohomologie de de Rham.