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Tout l’intérêt d’introduire la cohomologie est qu’elle admet une structure fonctorielle d’algèbre, ce qui n’est pas le cas pour l’homologie. [1] Le but de cet article est précisément d’introduire cette structure multiplicative.
Définition du produit cup
Soit $X$ un espace topologique.
Étant donné des cochaînes singulières $c \in C^i (X)$ et $c' \in C^j (X)$, on appelle cup-produit de $c$ et $c'$ la cochaîne singulière $c \cup c' \in C^{i+j} (X)$ définie par la formule suivante. Soit $\sigma : \Delta_{i+j} \to X$ un $(i+j)$-simplexe singulier. Rappelons que l’on a noté $\partial_k \sigma$ le $(i+j-1)$-simplexe singulier obtenu en se restreignant à la $k$-ème face. On abrège
$$\sigma_- = \partial_{i+1} \partial_{i+2} \ldots \partial_{i+j} \sigma \mbox{ et } \sigma_+ = \partial_0^{i} \sigma.$$
Ainsi $\sigma_-$ est la restriction de $\sigma$ à la face $(x_0 , \ldots , x_i, 0 , \ldots , 0)$ et $\sigma_+$ est la restriction de $\sigma$ à la face $(0 , \ldots , 0 , x_0 , \ldots , x_j)$. [2] On définit alors $c \cup c'$ par la formule [3] :
$$(c \cup c' ) (\sigma) = (-1)^{ij}c(\sigma_-) c' (\sigma_+).$$
Le cup-produit est bilinéaire et associatif mais pas commutatif [4]. La $0$-cochaîne singulière $1$, constante de valeur $1$, est élément neutre.
La définition exacte du cup-produit (c’est à dire la formule pour $\sigma_{-}$, $\sigma_+$) n’est en fait pas si importante ni si mystérieuse. C’est, en quelque sorte, la seule possible comme on peut le voir ici.
On a :
$$\delta ( c \cup c' ) = \delta c \cup c' + (-1)^i c \cup \delta c'.$$
Démonstration. Commençons par remarquer que si $c$ est une $i$-cochaîne singulière et $\sigma$ un $(i+1)$-simplexe singulier, on a :
$$\delta c (\sigma) = \sum_k (-1)^{k+i+1} c( \partial_k \sigma).$$
Pour tout $(i+j+1)$-simplexe singulier $\sigma$, on a alors :
$$ \begin{array}{ll} (\delta c \cup c') (\sigma) & = \sum_{k=0}^{i+1} (-1)^{k+(i+1)(j+1)} c (\partial_k \partial_{i+2} \ldots \partial_{i+j+1} \sigma) c' ( \partial_0^{i+1} \sigma) \\ & = \sum_{k=0}^{i+1} (-1)^{k+(i+1)(j+1)} c (\partial_{i+1} \ldots \partial_{i+j} \partial_k \sigma) c' ( \partial_0^{i+1} \sigma) \\ & = \sum_{k=0}^{i+1} (-1)^{k+(i+1)(j+1)} c (\partial_{i+1} \ldots \partial_{i+j} \partial_k \sigma) c' ( \partial_0^{i} \partial_k \sigma) \end{array} $$
et
$$ \begin{array}{ll} (-1)^i (c \cup \delta c') (\sigma) & = (-1)^{i} \sum_{k=0}^{j+1} (-1)^{k+(i+1)(j+1)} c(\partial_{i+1} \ldots \partial_{i+j+1} \sigma ) c' (\partial_{k} \partial_0^i \sigma) \\ & = \sum_{k=0}^{j+1} (-1)^{k+(i+1)(j+1)+i} c(\partial_{i+1} \ldots \partial_{i+j+1} \sigma ) c' ( \partial_0^i \partial_{k+i} \sigma) \\ & = \sum_{k=i}^{i+j+1} (-1)^{k+(i+1)(j+1)} c(\partial_{i+1} \ldots \partial_{i+j} \partial_k \sigma ) c' (\partial_0^i \partial_k \sigma) . \end{array} $$
En ajoutant ces deux égalités, le dernier terme de la première somme se simplifie avec le premier terme de la seconde somme, et il reste :
$$\sum_{k=0}^{i+j+1} (-1)^{k+(i+1)(j+1)} c(\partial_{i+1} \ldots \partial_{i+j+1} \partial_k \sigma ) c' (\partial_0^i \partial_k \sigma) = \delta(c \cup c') (\sigma ).$$
C.Q.F.D.
$$ $$
Le lemme signifie que la différentielle $\delta$ est une dérivation de $(C^\bullet(X),\cup)$.
En particulier le cup-produit induit un produit en cohomologie :
$$H^i (X) \times H^j (X) \to H^{i+j} (X); \ ([c] , [c']) \mapsto [c] \cup [c'] := [c \cup c'].$$
On appelle encore cup-produit cette application ; elle est bilinéaire et associative. La classe $[1]$ est élément neutre.
Le cup-produit est fonctoriel : si $f : X \to Y$ est une application continue, alors l’application $f^*$ induite en cohomologie singulière préserve le cup-produit :
$$\forall (\alpha , \beta) \in H^i (Y) \times H^j (Y), \ f^* (\alpha \cup \beta) = f^*(\alpha) \cup f^* (\beta).$$
On notera que c’est déjà le cas au niveau des cochaînes !
Algèbre graduée commutative
Le cup-produit est commutatif au sens gradué [5] :
$$\forall (\alpha , \beta) \in H^i (Y) \times H^j (Y), \ \alpha \cup \beta = (-1)^{ij} \beta \cup \alpha.$$
Démonstration. On a déjà remarqué que le cup-produit n’est pas (mais alors pas) du tout commutatif au sens gradué au niveau des cochaînes. C’est en revanche le cas à homotopie près ! En utilisant la méthode des modèles acycliques comme ici, on peut montrer qu’il existe un opérateur d’homotopie
$$C^i(X)\otimes C^j(X)\stackrel{\cup_1}\longrightarrow C^{i+j-1}(X)$$
vérifiant, pour tout $c \in C^i(X)$, $c'\in C^j(X)$,
$$ c\cup c' - (-1)^{ij} c'\cup c = d(c\cup_1 c') + d(c)\cup_1 c' + (-1)^{i+j+1}c\cup_{1} d(c').$$
Il suit alors que si $c$, $c'$ sont des cycles, le membre de droite est un bord, et donc le membre de droite est nul en cohomologie.
On peut cependant, aussi, raisonner de la façon suivante. Étant donné un simplexe singulier $\sigma : \Delta_i \to X$, on note $\overline{\sigma}$ le simplexe singulier $\sigma \circ f$ où $f : \Delta_i \to \Delta_i$ est l’homéomorphisme linéaire qui renverse l’ordre des sommets de $\Delta_i$. On a donc $\overline{\sigma} (s_k) = \sigma ( s_{i-k} )$. L’orientation de $\overline{\sigma}$ diffère de celle de $\sigma$ par le signe $(-1)^{\frac{i(i+1)}{2}}$. Il est donc naturel d’introduire le morphisme
$$\rho : C_i (X) \to C_i (X); \ \sigma \mapsto (-1)^{\frac{i(i+1)}{2}} \overline{\sigma}.$$
Un calcul simple permet de vérifier que $\rho$ défini un morphisme de chaîne. On laisse en exercice (à partir du prisme introduit ici) de vérifier qu’il existe une homotopie de chaîne entre $\rho$ est l’identité.
Pour conclure on remarque que l’on a :
$$(-1)^{\frac{i(i+1)}{2}} (-1)^{\frac{j(j+1)}{2}} (\rho^* c \cup \rho^* c') (\sigma) = (-1)^{\frac{(i+j)(i+j+1)}{2}} \rho^* (c' \cup c) (\sigma) $$
et donc
$$\rho^* c \cup \rho^* c' = (-1)^{ij} \rho^* (c' \cup c ).$$
En passant en cohomologie on obtient la formule annoncée.
C.Q.F.D.
Une algèbre graduée vérifiant la propriété de symétrie de la proposition est appelée algèbre graduée commutative. L’algèbre de cohomologie singulière
$$H^\bullet (X) = (H^0 (X) , H^1 (X) , H^2 (X) , \ldots)$$
est donc commutative comme algèbre graduée.
Notons que si $X \supset A$ est une paire d’espaces et $c$ est une cochaîne qui appartient au sous-ensemble $C^i (X , A) \subset C^i (X)$ --- c’est-à-dire que pour tout simplexe singulier $\sigma : \Delta_i \to A \subset X$, on a $c(\sigma)=0$ --- et si $c' \in C^j (X)$, le cup-produit $c \cup c'$ appartient à $C^{i+j} (X , A)$. Le cup-produit s’étend donc en un produit
$$H^i (X , A) \times H^j (X) \to H^{i+j} (X, A).$$
Les constructions de cet article sont définies pour n’importe quel anneau de coefficient $R$. En effet la formule du cup-produit fait intervenir la multiplication des scalaires $c(\sigma_{-})$ et $c'(\sigma_{+})$, et est donc définie pour tout anneau. En fait, on peut remarquer que l’on a nécessairement besoin d’un anneau car, si on dispose d’un cup-produit bien défini, il donne une structure d’anneau à $H^0(X,R)$ pour tout espace topologique. Pour $X$ connexe par arcs, on retrouve donc une telle structure sur $R\cong H^0(X)$.
[1] Pour qui connaît la cohomologie de de Rham la structure d’algèbre n’est pas une surprise puisque le produit extérieur sur les formes différentielles munit la cohomologie d’un produit. Il ne va toutefois pas de soi que ce produit soit défini sur $\mathbb{Z}$ ou sans hypothèses géométriques.
[2] On prendra garde au chevauchement des deux faces.
[3] Le signe mis ici suit la convention faite ici ; si on choisit de ne pas suivre cette convention pour le signe du cobord dual, il convient de ne pas mettre de signe ici non plus pour que le lemme ci-dessous reste vrai.
[4] À un multiple près, le centre de $C^*(X)$ est réduit à son élément neutre.
[5] Une autre terminologie vieillotte signifiant la même chose est « anticommutatif ».