Les polyèdres forment une catégorie d’objets rigides, vivant dans un espace affine, auxquels on peut assez facilement associer des « groupes d’homologie ». L’objet de cette rubrique est avant tout d’introduire les polyèdres. On définit entre ces polyèdres une classe particulière d’applications appelées applications PL. Cela mène tout naturellement à la notion de variété PL. Une telle variété est, par définition, munie d’une classe privilégiée de cellulations linéaires. Tout cela fait l’objet d’un premier article :
On étend ensuite cette notion aux variétés lisses, dont on montre qu’elles possèdent chacune une classe privilégiée de cellulations lisses. Ce théorème, dont Poincaré esquisse une « preuve » au §18 de son Analysis Situs, est dû à Whitehead. Il est crucial si l’on veut étendre une théorie homologique des polyèdres aux variétés lisses. C’est de cette manière que Poincaré développe dans les premier et deuxième compléments l’« homologie polyédrale », dont on trouvera un exposé « moderne » ici.
Un point clé de la démonstration de Whitehead est le fait que l’on peut approcher, au sens de la topologie $C^1$, tout simplexe lisse plongé dans $\mathbb{R}^n$ par un simplexe PL. Nous consacrons un article à ce dernier point :
Trianguler les surfaces permet par exemple de les classifier :
Finalement, un dernier article est consacré à la notion de cellulation duale, qui intervient de manière cruciale dans la démonstration de la dualité de Poincaré :