Cette rubrique contient le texte original du Second complément à l’Analysis Situs, Proceedings of the London Mathematical Society, t. 32, p. 277—308 (14 juin 1900). Vous trouverez nos commentaires sur ce mémoire dans la rubrique Commentaires du deuxième complément.
Dans ce deuxième complément, Poincaré affine sa description des groupes d’homologie d’une variété, dans le but de préciser et étendre le théorème de dualité, dont la preuve incorrecte donnée dans l’Analysis Situs avait soulevé les objections de Heegaard. Cette étude le conduit à poser les base de la classification des groupes abéliens finiement engendrés, qui fait apparaître de nouveaux invariants topologiques : les coefficients de torsion.
Le deuxième complément s’inscrit dans la continuité du premier complément, comme Poincaré le rappelle dans l’introduction et le premier paragraphe.
Poincaré démontre ensuite un résultat classique d’algèbre linéaire sur $\mathbb{Z}$, parfois appelé théorème des facteurs invariants ou forme normale de Smith, ce qui lui permet de préciser la différence entre sa définition des nombres de Betti et celle de Heegaard, et d’introduire les coefficients de torsion.
Dans le paragraphe 4, Poincaré calcule l’homologie entière (y compris la partie de torsion) de plusieurs exemples importants de variétés de dimension 3, notamment celles obtenues par des suspensions du tore et par des recollements du cube.
Dans le paragraphe 5, Poincaré précise le théorème de dualité en prenant en compte la partie de torsion $\mathrm{Tor}$ dans l’homologie entière : pour tout polyèdre $P$ homéomorphe à une variété compacte sans bord orientable de dimension $p$, on a $\mathrm{Tor}\left(H_q(P,\mathbb{Z})\right) \simeq \mathrm{Tor}\left(H_{p-q-1}(P,\mathbb{Z})\right)~.$
Dans le sixième et dernier paragraphe, Poincaré donne une condition suffisante sur un polyèdre $P$ pour que ses groupes d’homologie entière ne contienne pas de torsion. En outre, Poincaré déduit dans ce paragraphe que le groupe d’homologie entière de degré $p-1$ d’une variété compacte orientable de dimension $p$ est nécessairement sans torsion.