Le quatrième complément à l’Analysis Situs, intitulé Sur les cycles des surfaces algébriques, est paru au Journal de Mathématiques en 1902. [1]
Dans le quatrième complément, Poincaré calcule les nombres de Betti des surfaces algébriques en les décrivant comme des fibrations, au dessus de la droite projective complexe, avec un nombre fini de fibres singulières. Ce calcul repose sur une description du groupe de Picard, qui décrit l’action en homologie de la monodromie de la fibration autour des fibres singulières. Poincaré exhibe en chaque dimension, de manière géométrique, les cycles qui représentent une base du groupe d’homologie. La description des cycles de dimension trois, deux et un fait l’objet de trois chapitres distincts du mémoire.
Nos commentaires sur ce mémoire font l’objet de l’article Commentaire du 4e complément.
[1] Sur les cycles des surfaces algébriques ; Quatrième complément à l’Analysis Situs, Journal de Mathématiques, t. 8, p. 169—214 (1902).