§3. Cycles à deux dimensions.

Pour trouver tous les cycles à deux dimensions, il suffit de chercher toutes les combinaisons de faces qui sont congrues à zéro sans être homologues à zéro.

Nous pouvons d’abord supposer que cette combinaison ne contient pas de face de la catégorie $\alpha$ ; car, d’après ce que nous avons établi au début du paragraphe précédent, toute face de la catégorie $\alpha$ est homologue à des faces des catégories $\alpha \beta$ et $\beta$.

Il s’agit maintenant de chercher si ces combinaisons peuvent contenir des faces de la catégorie 1. J’observe d’abord ceci : soient $C_1$ et $C_2$ deux sommets quelconques du polyèdre $P$ ; on pourra toujours passer de l’un à l’autre en suivant certaines arêtes de ce polyèdre, de sorte que nous aurons sur ce polyèdre la congruence

$$ C_1 - C_2 \equiv \sum \zeta_q B_q,$$

le second membre représentant l’ensemble des arêtes par lesquelles on passe de $C_1$ à $C_2$ ; plus généralement on pourra trouver des entiers $\zeta$ tels que

$$ \tag{1} \sum \epsilon_k C_k \equiv \sum \zeta_q B_q,$$

pourvu que les $\epsilon$ soient des entiers tels que

$$ \sum \epsilon_k = 0,$$

car alors $\sum \epsilon_k C_k$ pourra être regardé comme une somme de différences telles que $C_1 - C_2$.

Considérons alors sur la variété $V$ la combinaison de faces $\sum \epsilon_k C_k$, et supposons $\sum \epsilon_k = 0$. Nous pourrons alors trouver des entiers $\zeta$ satisfaisant à la congruence (1) ; il viendra alors sur la variété $V$

$$ \sum \zeta_q B_q \equiv \sum \epsilon_k C_k + \sum \zeta_q \alpha_i \beta_i B_q - \sum \zeta_q \alpha_i \beta_{i+1} B_q$$

et, par conséquent,

$$ \sum \epsilon_k C_k \sim \sum \zeta_q \alpha_i \beta_{i+1} B_q - \sum \zeta_q \alpha_i \beta_i B_q,$$

ce qui montre que la combinaison $\sum \epsilon_k C_k$ est homologue à une combinason de faces de la catégorie $\alpha\beta$.

Supposons maintenant que l’on ait une congruence de la forme

$$ \sum \epsilon_k C_k + H = 0,$$

$H$ représentant une combinaison de faces des catégories $\alpha \beta$ et $\beta$. Si l’on a $\sum \epsilon_k = 0$, on peut remplacer dans le premier membre $\sum \epsilon_k C_k$ par la combinaison de faces des catégories de $\beta$ et $\alpha \beta$ qui lui est homologue ; et alors ce premier membre ne contient plus de faces de la catégorie 1.

Si maintenant nous avions deux congruences de la même forme

$$ \sum \epsilon_k C_k + H \equiv 0, \qquad \sum \epsilon'_k C_k + H' \equiv 0,$$

nous pourrions trouver deux entiers $n$ et $n'$ tels que

$$ n \sum \epsilon_k + n' \sum \epsilon'_k = 0,$$

et alors la congruence

$$ \sum \left( n \epsilon_k + n' \epsilon'_k \right) C_k + n H + n' H' \equiv 0,$$

qui est une combinaison des deux précédentes, pourrait être ramenée à ne plus contenir de faces de la catégorie $1$.

En résumé, s’il y a des congruences contenant des faces de la catégorie $1$, il ne peut y en avoir deux distinctes.

Envisageons donc spécialement les congruences où ne figurent que des faces des catégories $\beta$ et $\alpha \beta$. Soit

$$ \tag{2} \sum \theta'_k \alpha_i \beta_i B'_k + \sum \theta''_k \beta_i F''_k \equiv 0$$

une de ces congruences.

Considérons les points communs aux variétés qui figurent dans cette congruence et à la surface $S(M)$ ; réduisons chacune de ces variétés à ces points communs, il viendra

$$\tag{3} \sum \theta'_k MB'_k \equiv 0.$$

En effet, le point $M$ étant un point de la coupure $OA_i$, différent de $O$, la surface $S(M)$ n’a aucun point commun avec les faces de la catégorie $\beta$, pour lesquelles $y$ ne peut prendre que la valeur $O$. De même, la surface $S(M)$ n’aura aucun point commun avec les faces $\alpha_j \beta_j B'_k$, où l’indice $j$ est différent de $i$, puisque pour ces faces $y$ devraît être sur la coupure $OA_j$, tandis que $M$ est sur la coupure $OA_i$.

La congruence (3) signifie que, sur la surface $S(M)$, l’ensemble des arêtes $B'_k$ du polyèdre $P'_i$ (affectées des coefficients $\theta'$) doit former un cycle fermé ; soit $K_i$ ce cycle.

Mais observons que

$$ \sum \theta'_k \alpha_i \beta_i B'_k \equiv \sum \theta'_k \alpha_i B'_k + H,$$

$H$ étant un ensemble d’arêtes des catégories $\beta$ et $\alpha \beta$. De même,

$$ \sum \theta''_k \beta_i F''_k \equiv H',$$

$H'$ étant une combinaison d’arêtes de la catégorie $\beta$.

On a donc

$$ \sum \theta'_k \alpha_i \beta_i B'_k + \sum \theta''_k \beta_i F''_k \equiv \sum \theta'_k \alpha_i B'_k + H + H',$$

de sorte que la congruence (2) ne peut avoir lieu que si l’on a identiquement

$$\tag{4} \sum \theta'_k \alpha_i B'_k =0.$$

Comme il n’y a aucune relation entre les arêtes $O'_{k} \alpha_i B'_{k}$ appartenant à des indices $i$ différents, l’identité (4) doit avoir lieu quand on donne à l’indice $i$ une valeur déterminée et qu’on étend seulement la sommation aux différentes valeurs de l’indice $k$.

L’identité (4) signifie alors que, quand le point $M$ tend vers $A_i$, le cycle $K_i$, tend à se réduire à zéro.

En effet, quand $M$ se réduit à $A_{i}$, la surface $S(M)$ dégénère et son genre diminue ; certains de ces cycles disparaissent donc. Voyons comment ce fait se rattache à l’étude du groupe de Picard. Soit $S_i$ la substitution de ce groupe qui correspond au point singulier $A_{i}$ ; elle changera le cycle $\omega_h$, par exemple, en

$$\omega'_h = m_1 \omega_1 + m_2 \omega_2 + \cdots + m_{2p}\omega_{2p}.$$

Donc, pour $M = A_i$, on aura

$$ \omega_h = \omega'_{h},$$

ce qui veut dire, pour $M = A_i$, le cycle $ \omega'_h - \omega_{h}$ disparaît.

Obtiendrons-nous ainsi tous les cycles qui disparaissent pour $M = A_i$ que j’appellerai cycles évanouissants ?

M. Picard a montré (t. I. p. 82) que toute surface algébrique peut être ramenée par une transformation birationnelle à n’avoir que des singularités ordinaires, c’est-à-dire une courbe double avec des points triples.

Il a ensuite montré (p. 95) comment on détermine, pour une pareille surface, les points singuliers $A_i$ et les substitutions du groupe de Picard qui correspondent à chacun d’eux.

On voit ainsi que, dans ce cas, il n’y a qu’un cycle évanouissant, lequel est justement engendré de la façon que je viens de dire.

Si l’on voulait envisager des surfaces possédant des singularités plus compliquées (par exemple des points coniques), il pourrait se faire qu’il y en eût d’autres.

Supposons, par exemple, une surface ordinaire admettant deux points singuliers correspondant à la même substitution du groupe de Picard ; si l’on fait varier cette surface et qu’à la limite ces deux points singuliers se confondent, la surtace limite admetra alors un cycle évanouissant n’admettant pas ce mode de génération.

Si alors nous considérons un cycle évanouissant quelconque $\sum \theta'_{k} M B'_k$, nous aurons la congruence

$$\tag{5} \sum \theta'_{k} \alpha_{i} \beta_{i} B'_k = - \sum \theta'_{k} \beta_{i} B'_k. $$

A chaque point singulier $A_i$ faisons correspondre de la sorte un cycle évanouissant $K_i$ et, par conséquent , une congruence de la forme (5). Additionnons toutes ces congruences, il viendra

$$\sum \sum \theta'_{k} \alpha_{i} \beta_{i} B'_k \equiv - \sum \sum \theta'_{k} \beta_{i} B'_k.$$

Supposons que l’ensemble des cycles $K_i$ soit homologue à zéro, de façon que l’on ait sur la surface $S$

$$\sum K_i \sim 0,$$

on aura sur $S_0$

$$\sum \sum \theta'_{k} \beta_{i} B'_k \sim 0,$$

c’est-à-dire qu’ on pourra trouver des coefficients $\theta''$ tels que

$$\sum \sum \theta'_{k} \beta_{i} B'_k \equiv \sum \sum \theta''_{k} \beta_{i} F''_k ;$$

on aura alors

$$\tag{2} \sum \sum \theta'_{k} \alpha_{i} \beta_{i} B'_k + \sum \theta''_{k} \beta_{i} F''_k \equiv 0. $$

Ainsi à chaque combinaison de cycles évanouissants $K_i$, telle que $\sum K_i \sim 0$, correspondra une congruence de la forme (2).

Aux congruences ainsi obtenues il convient d’adjoindre la suivante :

$$ \sum \beta F''_k \equiv 0,$$

qui représente un cycle à deux dimensions formé de la surlace $S_0$, tout entière. Tontes les congruences de la forme (2) seront manifestement des combinaisons de celles que nous venons d’obtenir.

Quelle est maintenant la condition pour que deux congruences de la forme (2) soient distinctes ? ou, en d’autres termes, quelles sont les congruences de cette forme dont le premier membre est homologue à zéro ?

Pour avoir toutes les homologies de la forme

$$ \sum \theta'_{k} \alpha_{i} \beta_{i} B'_k + \sum \theta''_{k} \beta_{i} F''_k \sim 0,$$

il faut chercher toutes les congruences entre cases et faces de la forme

$$\tag{6} \sum \theta'_{k} \alpha_{i} \beta_{i} B'_k + \sum \theta''_{k} \beta_{i} F''_k \equiv \sum \varepsilon_{k} B_k + \sum \zeta'_{k}\alpha_{i} \beta_{i} F'_{k} $$

Si nous réduisons toutes les variétés qui figurent dans la congruence (6) à leurs points communs avec une surface $S$ correspondant à une valeur de $y$ non située sur une des coupures, il vient

$$\sum \varepsilon_{k} B_k \equiv 0,$$

ce qui signifie que l’ensemble d’arêtes $\sum \varepsilon_{k} B_k$ constitue un cycle fermé sur le polyèdre $P$. Soit $K(y)$ ce cycle.

Soit $K(M_i)$ [ou $K'(M_i)$] la limite vers laquelle tend ce cycle quand le point $y$ se rapproche d’un point $M_i$ appartenant à la coupure $OA_i$ par la première lèvre de cette coupure (ou par la seconde lèvre), de sorte que $K(M_i)$ [ou $K'(M_i)$] représentent l’ensenble des points communs à la surface $S(M)$ et à $\sum \varepsilon_{k}\alpha_{i} \beta_{i}B_k$ (ou à $\sum \varepsilon_{k}\alpha_{i} \beta_{i+1}B_k$).

On aura alors (puisque $\sum \varepsilon_{k} B_k$ représente un cycle fermé sur le polyèdre $P$)

$$\tag{7} \sum \varepsilon_{k} B_k \equiv \sum \varepsilon_{k}\alpha_{i} \beta_{i}B_k - \sum \varepsilon_{k}\alpha_{i} \beta_{i+1}B_k $$

d’où

$$\tag{8} \sum \zeta'_{k}\alpha_{i} \beta_{i} F'_{k} \equiv \sum \theta'_{k} \alpha_{i} \beta_{i} B'_k + \sum \varepsilon_{k}\alpha_{i} \beta_{i+1}B_k - \sum \varepsilon_{k}\alpha_{i} \beta_{i}B_k + \sum \theta''_{k} \beta_{i} F''_k $$

ou, en réduisant toutes les variétés à leurs points communs avec la surface $S (M_i)$,

$$\tag{9} \sum \zeta'_{k}M_{i} F'_{k} \equiv \sum \theta'_{k} M_{i} B'_k + K'(M_i) - K(M_i); $$

c’est-à-dire qu’on doit avoir, sur le polyèdre $P'_{i}$,

$$\tag{10} K_i \sim K(M_i) - K'(M_i) $$

car $\sum \theta'_{k} M_{i} B'_k$ n’est autre chose que le cycle que nous avons appelé plus haut $K_i$.

Si, d’ailleurs, la condition (10) est remplie, on pourra trouver des nombres $\zeta'$ de façon à satisfaire à la congruence (9) ; on aura alors, en faisant tendre $M_i$ vers $A_i$,

$$\sum \zeta'_{k}\alpha_{i}F'_{k} \equiv \sum \theta'_{k} \alpha_{i}B'_k + K'(A_i) - K(A_i).$$

Or, par hypothèse, $K_i$ est un cycle évanouissant pour le point singulier $A_i$ ; de sorte que

$$\sum \theta'_{k} \alpha_{i}B'_k = 0.$$

D’ailleurs,

$$K'(A_i) = K(A_i) = \sum \varepsilon_{k}\alpha_{i}B_k.$$

Donc

$$\sum \zeta'_{k}\alpha_{i}F'_{k} \equiv 0;$$

ce qui signifie que l’ensemble des faces $\sum \zeta'_{k}\alpha_{i}P'_{k}$ forme une surface fermée ; cela ne peut arriver que si

$$\tag{11} \sum \zeta'_{k}\alpha_{i}F'_{k} = 0 $$

ou si $\sum \zeta'_{k}\alpha_{i}F'_{k}$ représente la surface $S(K_i)$ tout entière ou une des composantes de cette surface, dans le cas où cette surface est décomposable (voir supra, ici).

Si nous laissons de côté ce dernier cas, qui ne se présentera pas avec les surfaces n’admettant que des singularités ordinaires auxquelles M. Picard ramène toutes les autres, et qui d’ailleurs, pourrait être traité comme plus haut (encore ici), on voit que l’on peut toujours supposer

$$\sum \zeta'_{k}\alpha_{i}F'_{k} = n S(A_i),$$

$n$ étant un entier ; ou

$$\sum (\zeta'_{k} - n)\alpha_{i}F'_{k} = 0.$$

Or. dans la congruence (9), on peut remplacer $\zeta'_{k}$ par $\zeta'_{k} - n$ sans que la congruence cesse d’avoir lieu, car, la surface $S(M_i)$ étant fermée, on a

$$ \sum M_{i}F'_{k} \equiv 0.$$

Nous pourrons donc toujours supposer que l’identité (11) a lieu. Il vient alors

$$\sum \zeta'_{k}\alpha_{i} \beta_{i} F'_{k} \equiv \sum \zeta'_{k}\alpha_{i}F'_{k} + \sum \theta'_{k} \alpha_{i} \beta_{i}B'_k + \sum \varepsilon_{k}\alpha_{i} \beta_{i+1}B_k - \sum \varepsilon_{k}\alpha_{i} \beta_{i}B_k - \sum \zeta'_{k}\beta_{i} F'_{k}$$

Or, si nous tenons compte de l’identité (11) et si nous décomposons les faces $ F'$ en faces $F''$, nous posons

$$ - \sum \zeta'_{k}\beta_{i} F'_{k} = \sum \theta''_{k} \beta_{i} F''_k;$$

nous retrouverons la congruence (8) et, en ajoutant la congruence (7), nous aurons enfin la congruence (6) .

Ainsi, à chaque système d’homologies telles que (10) correspond une homologie entre les faces, et il n’y en a pas d’autres.

Nous vérifions également que la combinaison $\sum \beta_{i} F''_k$, qui représente la surface de Riemann $S_0$ tout entière et qui, par conséquent, est congrue à zéro, n’est pas homologue à zéro.

Si, en effet, on avait une congruence de la forme (6), tous les $\theta'$ étant nuls, on devrait avoir une homologie de la forme (10), les cycles $K_i$ étant nuls ; ce qui veut dire que le cycle $K(y)$ serait invariant pour toutes les substitutions du groupe de Picard.

Les cycles $K'(M_i)$ et $K(M_i)$ ne seront alors pas autre chose que ce que nous avons appelé $\Omega'_{i}$ et $\Omega_{i}$ dans le paragraphe précédent ; nous retrouverons alors l’homologie (II.5) du paragraphe précédent, laquelle ne différera que par les notations de l’homologie (9) du présent paragraphe ; il suffit, en effet, pour passer de l’une à l’autre, d’annuler les $\theta'$, de changer $K'(M_i)$ en $\Omega'_{i}$, $K(M_i)$ en $\Omega_{i}$, et d’écrire $\theta'_{k}$ au lieu de $\zeta'_{k}$. Pour adopter les notations du paragraphe précédent, il faut écrire enfin $\zeta_{q}B_q$ au lieu de $\varepsilon_{k}B_k$.

Dans ce cas, nous aurons entre nos cases la congruence II.2 du paragraphe précédent qui s’écrit

$$\sum \zeta_{q}B_q + \sum \theta'_{k} \alpha_{i} \beta_{i}F'_k \equiv 0,$$

ou, en revenant aux notations du présent paragraphe,

$$\sum\varepsilon_{k}B_k + \sum \zeta'_{k} \alpha_{i}\beta_{i}F'_k \equiv 0.$$

Cela montre que le premier membre de (6) doit être identiquement nul, c’est-à-dire que non seulement les $\theta'$, mais les $\theta''$ doivent être nuls.

Ainsi, toute l’homologie entre les faces $\beta F"$ se réduit à une identité, et, en particulier, on n’a pas

$$\sum \beta_{i}F''_k \sim 0 $$

C. Q. F. D.

Avant de conclure, je dois encore examiner les congruences où entrent des cases de la catégorie $1$. Nous venons de voir qu’il ne peut y avoir plus d’une pareille congruence, ou plutôt que, s’il y avait deux pareilles congruences, elles ne seraient pas distinctes et qu’on pourrait passer de l’une à l’autre en ajoutant une homologie.

Voyons s’il existe une pareille congruence,

$$\tag{12} \sum\varepsilon_{k}C_k + H \equiv 0 , $$

où $H$ est une combinaison de faces des catégories $\alpha \beta$ et $\beta$. D’abord nous devons supposer que $\sum\varepsilon_{k}$ n’est pas nul, sans quoi l’on pourrait ramener à une des congruences étudiées plus haut.

J’ajoute que, s’il existe une congruence de cette forme (12) où $\sum\varepsilon_{k}$ ne soit pas nul, celle congruence est certainement distincte des précédentes, car il ne peut pas y avoir d’homologie de la forme

$$\tag{13} \sum\varepsilon_{k}C_k + H \sim 0 $$

sans que $\sum\varepsilon_{k}$ soit nul.

Existe-t-il donc une congruence de la forme (12) ? Pour le démontrer sans m’exposer à une discussion qui serait assez longue sans être difficile, je supposerai que, parmi les sommets du polyèdre $P$, en figurent $m$ que j’appellerai $C_1, C_2, \dots C_m$, si $m$ est le degré en $z$ de l’équation $f(x, y, z) = 0$ et qui correspondent à une valeur donnée de $x$, par exemple $x = x_0$ (voir infra, paragraphe 5).

Alors la combinaison $C_1 + C_2 + \dots + C_m$, que j’écrirai pour abréger, $\sum C_k$, n’est autre chose que la surface de Riemann représentée par l’équation entre $y$ et $z$

$$f(x_0, y, z) = 0.$$

On a alors

$$\sum C_k \equiv \sum C_{k}\alpha_{i}\beta_{i} - \sum C_{k}\alpha_{i}\beta_{i+1};$$

les m sommets $C_1, C_2, \dots, C_m$, ne faisant que s’échanger quand on passe d’une des lèvres de $OA_i$ à l’autre en tournant autour de $A_i$, nous aurons

$$\sum C_{k}\alpha_{i}\beta_{i} = \sum C_{k}\alpha_{i}\beta_{i+1};$$

et par conséquent,

$$\sum C_k \equiv 0.$$

Cette congruence est bien de la forme (12) et

$$\sum \varepsilon_k = m \neq 0.$$

Nous avons donc d’abord deux cycles à deux dimensions singuliers qui sont les deux surfaces de Riemann correspondant, l’une à $y = 0$ el l’autre à $x = x_0$.

Pour former les autres cycles à deux dimensions, il suffit de considérer $q$ cycles

$$K_1, K_2, \dots, K_q$$

correspondant aux $q$ points singuliers

$$A_1, A_2, \dots, A_q$$

chacun d’eux étant \’evanouissant par rapport au point singulier qui lui correspond ; ces cycles doivent d’ailleurs satisfaire, sur le polyèdre $P$, à la condition

$$\sum K_i \sim 0.$$

Deux systèmes de cycles

$$ \begin{array}{l} K_1, K_2, \dots, K_q\\ K'_1, K'_2, \dots, K'_q \end{array}$$

nous donneront deux cycles à deux dimensions distincts, à moins que l’on n’ait (sur $P$)

$$K'_i - K _i \sim K'(M_i) - K(M_i),$$

$K(y)$ étant un cycle quelconque du polyèdre $P$.

Si nous désignons par $U_i$ et $U'_i$ ce que deviennent les cycles $K_i$ et $K'_i$ quand le point $M_i$ vient en $O$ ; par $\Omega_i$, ce que devient le cycle $K(y)$ quand le point $y$ tend vers $O$ dans l’angle $A_{i-1}OA_i$, alors cela signifie que nous devrons avoir sur $S_0$

$$\sum U_i \sim 0, \qquad \qquad \qquad \sum U'_i \sim 0,$$

et que nous ne devrons pas avoir, si nous voulons deux cycles distincts,

$$U'_i - U_i \sim \Omega_{i+1} - \Omega_{i}.$$

Voyons combien nous obtiendrons ainsi de cycles distincts, et pour cela combien nous obtiendrons de congruences distinctes de la forme indiquée, et nous en retrancherons le nombre des homologies dislinctes.

Formons le tableau des cycles évanouissants relatifs aux différents points singuliers $A_i$. Nous en distinguerons de deux sortes :

1. Ceux qui seront de la forme $\Omega' - \Omega$, $\Omega'$ étant le transformé du cycle $\Omega$ par la substitution du groupe de Picard qui correspond à $A_i$. Ce sont les seuls qui existent en général.
2. Les cycles évanouissants de la seconde sorte seront ceux qui ne seront ni de cette forme, ni une combinaison de cycles de cette forme.

$$\begin{array}{l} m_{1,1}\omega_1 + m_{1,2}\omega_2 + \cdots + m_{1,2p}\omega_{2p},\\ \cdots\\ m_{k,1}\omega_1 + m_{k,2}\omega_2 + \cdots + m_{k,2p}\omega_{2p}, \end{array}$$

le tableau des coefficients entiers $m$ aura $2p$ colonnes et $k$ lignes ($k < 2p$), et les déterminants formés en supprimant dans notre tableau $2p - k$ colonnes quelconques ne devront pas être tous nuls à la fois.

Réunissons maintenant les tableaux relatifs aux $q$ points singuliers ; le tableau total aura $2p$ colonnes et $\sum k = \mu$ lignes. Si les déterminants formés en supprimant dans ce tableau $\mu- 2p + r$ lignes et $r$ colonnes sont tous nuls, mais que les déterminants formés en supprimant $\mu- 2p + r +1$ lignes et $r + 1$ colonnes ne soient pas tous nuls, le nombre cherché des congruences dislinctes sera $\mu- 2p + r +1$ (ou $\mu- 2p$ si les déterminants formés en sup- primant $\mu- 2p$ lignes ne sont pas tous nuls).

Pour avoir le nombre des homologies distinctes, il faut chercher le nombre des combinaisons de cycles $U_1, U_2, \dots , U_q$ telles que l’on ait

$$U_i \sim \Omega_{i+1} - \Omega_i.$$

Chaque cycle $\Omega$ donnera évidemment naissance à une pareille combinaison ; mais si deux cycles $\Omega$ et $\Omega'$ ne diffèrent que par un cycle invariant par rapport au groupe de Picard, il donneront naissance à la même combinaison. Le nombre des homologies est donc égal au nombre total des cycles, soit $2p$, moins le nombre des cycles invariants distincts que j’appelle $n$.

Le nombre des cycles à deux dimensions distincts (y compris les deux cycles singuliers) sera donc

$$2 + (\mu + 2p + 1) - (n - 2p).$$

Voyons comment peuvent être engendrés ces cycles à deux dimensions non singuliers, en nous restreignant au cas le plus général, c’est-à-dire à celui où il n’y a pas de cycle évanouissant de la seconde sorte. Dans ce cas, on a

$$K_i = \Gamma'_i - \Gamma_i,$$

$\Gamma_i$ étant un cycle et $\Gamma'_i$, son transformé par la substitution qui correspond à $A_i$.

Décrivons donc dans le plan des $y$ des lacets $L_1, L_2, \dots, L_q$, partant du point $O$ et y aboutissant, et entourant respectivement les points singuliers $A_1, A_2, \dots ,A_q$.

Soit $\Gamma_i$ un cycle de la surface $S_0$ ; quand $y$ partant du point $O$ décrira le lacet $L_i$, la surface $S$ et le cycle se déformeront ; quand $y$ reviendra au point $O$, ce cycle sera devenu le cycle $\Gamma'_i$ de $S_0$ ; dans son mouvement, il aura engendré une surface $\sigma_i$ limitée par les deux courbes fermées $\Gamma_i$ et $\Gamma'_i$ .

Si alors on a

$$\Gamma_1 + \Gamma_2 + \dots + \Gamma_q = \Gamma'_1 + \Gamma'_2 + \dots + \Gamma'_q,$$

l’ensemble des surfaces $\sigma_1 + \sigma_2 + \dots + \sigma_q$ formera une surface fermée. Ce sera notre cycle à deux dimensions.