En 1895, Poincaré fait paraître au Journal de l’École Polytechnique un mémoire intitulé Analysis Situs. [1] Ce mémoire révolutionnaire pose les fondements d’une nouvelle science, que nous appelons aujourd’hui la topologie algébrique. On trouvera nos commentaires détaillés de l’Analysis Situs dans la rubrique "Commentaires de l’Analysis Situs".
L’objet de l’Analysis Situs est d’étudier les invariants topologiques des variétés. Poincaré commence par proposer plusieurs définitions de la notion de variété, puis introduit deux concepts fondamentaux : les nombres de Betti d’une part, qui généralisent un invariant introduit par Betti pour classifier topologiquement les surfaces, et d’autre part le groupe fondamental, inspiré par ses travaux antérieurs sur l’uniformisation des surfaces de Riemann. Son point de vue sur les nombres de Betti consiste à les définir comme le rang de (la partie libre de) groupes abéliens qu’on appelle aujourd’hui groupes d’homologie. Pour motiver la définition de ces nouveaux objets, Poincaré émaille l’Analysis Situs de nombreux exemples de dimensions 3 et discute de la capacité de ces nouveaux invariants à distinguer deux variétés non homéomorphes.
Introduction
Conscient de l’importance de son travail, Poincaré rédige une introduction magistrale dans laquelle il s’efforce de convaincre le lecteur de l’importance d’étudier les "espaces de dimension supérieure à $3$".
Variétés
Les quatre premiers paragraphes du mémoire sont consacrés à introduire la notion de "variété". Poincaré en propose deux définitions et discute de l’équivalence entre ces définitions, ainsi que de la notion de difféomorphisme. Comme il le remarque dans le paragraphe 4, la première définition est plus restrictive que la seconde puisqu’elle ne produit que des variétés "bilatères" (c’est-à-dire orientables).
(Co-)homologie
Les paragraphes 5, 6 et 7 sont révolutionnaires : Poincaré introduit la notion d’homologie pour donner une définition généralisée des nombres de Betti d’une variété. Dans le paragraphe 7, il fait lien entre les nombres de Betti d’un ouvert de l’espace $\mathbb{R}^n$ et le calcul des intégrales multiples sur cet ouvert. Ce chapitre est précurseur de la cohomologie de de Rham.
Intersection et dualité
Les paragraphes 8 et 9 visent à développer une première théorie de l’intersection. Dans le paragraphe 8, Poincaré commence par revenir sur la notion d’orientation, pour remarquer qu’il existe des variétés orientables et des variétés non-orientables. Dans le paragraphe 9, Poincaré tente de définir une théorie de l’intersection compatible avec sa théorie de l’homologie. Il déduit une première démonstration de son célèbre théorème de dualité qui affirme que les nombres de Betti également distants des extrêmes sont égaux.
Exemples de variétés de dimension 3
Les paragraphes 10 et 11 proposent deux manières de construire des variétés de dimension 3. Dans le paragraphe 10, Poincaré généralise en dimension supérieure une méthode connue dans le cas des surfaces consistant à construire une variété à partir d’un polyèdre en identifiant ses faces deux par deux. Poincaré donne un critère qui assure que l’espace obtenu par l’identification des faces est bien une variété. Il considère en particulier tous les espaces obtenus en identifiant les faces opposées d’un cube.
Dans le paragraphe 11, Poincaré propose de construire des variétés d’une manière abstraite en considérant des quotients de l’espace euclidien standard (espace ordinaire) par l’action propre et discontinue d’un groupe discret de transformations. Il obtient ainsi les suspensions de difféomorphismes du tore.
Groupe fondamental
Les paragraphes 12 et 13 sont encore révolutionnaires : Poincaré y introduit le groupe fondamental. Dans le paragraphe 12, Poincaré commence par présenter le groupe fondamental comme groupe de monodromie, tandis que dans le chapitre 13, Poincaré identifie le groupe fondamental à un groupe de lacets modulo "équivalences fondamentales".
Dans le paragraphe 14, Poincaré revient sur l’exemple des suspensions du tore et montre que leur groupe fondamental permet de les distinguer à homéomorphisme près, là où les nombres de Betti ne suffisent pas.
D’autres exemples
Dans le paragraphe 15, Poincaré étudie deux familles de variétés de dimension quelconque : les espaces projectifs et les carrés symétriques des sphères. Il se pose la question de l’orientabilité.
Formule d’Euler—Poincaré
Les paragraphes 16, 17 et 18, qui concluent l’Analysis Situs, sont consacrés à une généralisation de la formule d’Euler à toutes les variétés compactes sans bord. Dans le paragraphe 16, Poincaré montre que, si $V$ est une variété compacte sans bord de dimension $p$ munie d’une décomposition cellulaire (ce que Poincaré appelle un polyèdre à $p$ dimensions), et si $\alpha_k$ désigne le nombre de cellules de dimension $k$ dans cette décomposition, alors le nombre
$$\chi(V) = \alpha_0 - \alpha_1 + \cdots + (-1)^p \alpha_p$$
ne dépend pas du choix de la décomposition cellulaire. On appelle ce nombre la caractéristique d’Euler de $V$ et on le note $\chi(V)$.
Dans le paragraphe 17, Poincaré montre que la caractéristique d’Euler d’une variété compacte sans bord de dimension impaire est nulle. Comme il le remarque lui-même dans le paragraphe suivant, cela peut aussi se déduire de la formule d’Euler—Poincaré et de la dualité de Poincaré.
Enfin, dans le paragraphe 18, Poincaré énonce la formule d’Euler—Poincaré et ébauche une preuve en dimension $3$. Cette preuve contient en germe la construction de l’homologie polyédrale, que Poincaré développera dans le premier complément à l’Analysis Situs.
[1] Analysis Situs, Journal de l’École Polytechnique, t. 1, 1895, p.1—121.