§ 4. Variétés opposées

Avec l’une comme avec l’autre définition, il y a lieu de faire une distinction dont on comprendra plus tard l’importance.

Supposons d’abord une variété $V$ définie de la première manière, c’est-à-dire par les relations

$$ F_\alpha = 0, \qquad \phi_\beta > 0.$$

On tiendra compte de l’ordre dans lequel sont rangées les équations $F_\alpha = 0$ ; si deux de ces équations sont permutées, on conviendra de dire que le système de relations ne représente plus la variété $V$, mais une variété opposée à $V$.

Nous pouvons maintenant remplacer les équations

$$ F_\alpha = 0 \qquad (\alpha = 1, 2, \ldots, p)$$

par les suivantes

$$ \begin{array}{c} \Phi_1 = A_{1,1} F_1 + A_{1,2} F_2 + \cdots + A_{1,p} F_p = 0, \\ \Phi_2 = A_{2,1} F_1 + A_{2,2} F_2 + \cdots + A_{2,p} F_p = 0, \\ \dots \\ \Phi_p = A_{p,1} F_1 + A_{p,2} F_2 + \cdots + A_{p,p} F_p = 0, \end{array}$$

les $A_{i,k}$ étant des fonctions quelconques des $x$.

Si le déterminant $\Delta$ des coefficients $A_{i,k}$ ne s’annule pas dans le domaine considéré, les équations $\Phi_\alpha = 0$ seront équivalentes aux équations $F_\alpha = 0$ et, par conséquent, si on leur adjoint un certain nombre d’inégalités, elles représenteront encore la variété $V$ ou une variété opposée.

De même avec la seconde définition. Soit $V$ une variété définie par les équations

$$ x_i = \theta_i(y_1, y_2, \ldots, y_m).$$

Il faudra tenir compte de l’ordre des variables $y$ et, si deux de ces variables sont permutées, nous conviendrons de dire que les équations ne représentent plus $V$, mais la variété opposée.

Imaginons que l’on remplace les $y$ par $m$ fonctions analytiques des $m$ variables nouvelles $z_1$, $z_2, \ldots, z_m$, de telle façon que l’on ait

$$ x_i = \theta_i'(z_1, z_2, \ldots, z_m),$$

ces nouvelles équations représenteront encore $V$ ou la variété opposée.

Nous devons supposer que le déterminant fonctionnel $\Delta$ des $y$ par rapport aux $z$ ne s’annule pas, afin qu’à un système de valeurs des $y$ corresponde un seul système de valeurs des $z$. Il sera donc toujours de même signe.

Nous conviendrons de dire que, si $\Delta$ est positif, les nouvelles équations représentent encore $V$ et que si, [1] $\Delta$ est négatif, elles représentent la variété opposée.

Voyons maintenant ce qui arrive lorsque l’on passe d’une définition à l’autre.

Soit une variété $V$ définie par

$$ F_1 = F_2 = \cdots = F_p = 0$$

et par certaines inégalités.

Adjoignons à ces $p$ équations les suivantes :

$$ y_1 = F_{p+1}, \qquad y_2 = F_{p+2}, \qquad \ldots,\qquad y_{n-p} = F_n,$$

$F_{p+1}, F_{p+2}, \ldots, F_n$ étant $n-p$ fonctions quelconques des $x$.

Nous avons vu que si le déterminant fonctionnel $\Delta$ des $n$ fonctions $F_1$, $F_2, \ldots, F_n$ n’est pas nul, on peut résoudre ces $n$ équations par rapport aux $x$ et qu’on trouve ainsi $n$ équations

$$ x_i = \theta_i(y_1, y_2, \ldots, y_{n-p}),$$

qui représentent une variété à $n-p$ dimensions. Mais on peut se demander si elles représenteront $V$ ou la variété opposée.

Nous conviendrons de dire qu’elles représentent $V$ si $\Delta$ est positif et la variété opposée si $\Delta$ est négatif.

Considérons la variété à $n-p$ dimensions

$$ F_\alpha = 0, \qquad \ldots, \qquad \phi_\beta>0,$$

que j’appelle $V$. Nous avons vu que la variété à $n-p-1$ dimensions

$$ F_\alpha = 0, \qquad \phi_\gamma=0, \qquad \phi_\beta > 0 \qquad (\beta\neq \gamma),$$

que j’appelle $v$, fait partie de la frontière de $V$.

Mais il importe de ranger les équations qui définissent $v$ dans l’ordre suivant :

$$ F_1 = 0, \qquad F_2 = 0, \qquad \ldots, \qquad F_p = 0, \qquad \phi_\gamma = 0,$$

car si deux d’entre elles étaient permutées, nous conviendrions de dire que ces équations ne représentent plus la frontière de $V$ ou une partie de cette frontière, mais une variété opposée à cette frontière.