§ 17. Cas où p est impair

Je vais définir à l’égard d’un polyèdre quelconque $P$ de nouveaux nombres remarquables que j’appelerai $B_{\lambda. \mu}.$ [1]

Soit d’abord $\lambda > \mu$ ; je considérerai toutes les variétés $v_{\lambda}$ ; pour chacune d’elles, j’envisagerai le nombre des variétés $v_{\mu}$ qui en font partie ; je ferai la somme de tous ces nombres relativement aux diverses variétés $v_{\lambda}$ et ce sera cette somme que j’appellerai $\beta_{\lambda . \mu}.$

Comme les variétés $v_{\lambda}$ sont toutes par hypothèse simplement connexes, on aura

$$ \beta_{\lambda.\lambda-1}-\beta_{\lambda.\lambda-2}+ \ldots \pm \beta_{\lambda . 1} \mp \beta_{\lambda . 0 }=2 \alpha_{\lambda} \text{ ou }0,$$

selon que $\lambda$ sera impair ou pair.

Soit maintenant $\lambda < \mu$ ; je considérerai toutes les variétés $v_{\lambda}$ ; pour chacune d’elles, j’envisagerai le nombre des variétés $v_{\mu}$, dont elle fait partie (c’est-à-dire le nombre $\gamma_{\mu}$ relatif à l’aster de $v_{\lambda}$) ; je ferai la somme de tous ces nombres relatifs aux diverses variétés $v_{\lambda}$ et ce sera cette somme que j’appellerai $\beta_{\lambda . \mu}.$

En vertu de l’équation (A) du paragraphe précédent, on aura

$$ \beta_{\lambda.p}-\beta_{\lambda.p-1}+ \ldots \pm \beta_{\lambda.\lambda+2} \mp\beta_{\lambda.\lambda+1}=2 \alpha_{\lambda}, \text{ ou }0,$$

selon que $p - \lambda$ sera impair ou pair.

Il résulte de cette définition que

$$ \beta_{\lambda.\mu}=\beta_{\mu.\lambda}$$

Cela posé, formons le tableau suivant

$$ \begin{array}{cccccc} + \beta_{p.p-1},& - \beta_{p.p-2}, & +\beta_{p.p-3} & \ldots, & \pm \beta_{p.1}& \mp \beta_{p.0},\\ & + \beta_{p-1.p-2}, & - \beta_{p-1.p-3}, & \ldots, & \mp \beta_{p-1.1}, & \pm \beta_{p-1.0},\\ & \ldots \ldots, &\ldots \ldots, & \ldots, & \ldots \ldots, & \ldots \ldots, \\ & & \ldots \ldots, & \ldots, & \ldots \ldots, & \ldots \ldots, \\ & & & \ldots & \ldots \ldots, &\ldots \ldots, \\ & & & & + \beta_{2.1}, & -\beta_{2.0},\\ & & & & & + \beta_{1.0}.\\ \end{array}$$

On voit que, dans chaque ligne et dans chaque colonne, chaque terme est affecté alternativement du signe $+$ et du signe $-$, de telle façon que $\beta_{\lambda.\mu}$ est affecté du signe $+$, si $\lambda - \mu$ est impair et du signe $-$ dans le cas contraire.

Faisons la somme des termes du tableau ; cette somme peut s’effectuer de deux manières : en sommant d’abord les lignes et en sommant d’abord les colonnes.

La somme des termes des diverses lignes du tableau est, en commençant par le haut,

$$ 2\alpha_p, \ 0, \ 2 \alpha_{p-2}, \ 0, \ \ldots, \ 2 \alpha_3, \ 0, \ 2 \alpha_1$$

si $p$ est impair, et

$$ 0, \ 2 \alpha_{p-1}, \ 0, \ 2 \alpha_{p-3}, \ \ldots, \ 2 \alpha_3, \ 0, \ 2\alpha_1$$

si $p$ est pair. La somme des termes du tableau est donc

$$ 2 \alpha_1 + 2 \alpha_2 + \ldots + 2 \alpha_p$$

si $p$ est impair, et

$$ 2 \alpha_1 + 2 \alpha_3 + \ldots + 2 \alpha_{p-1}$$

si $p$ est pair.

La somme des termes des diverses colonnes dutableau est, en commençant par la gauche,

$$ 2 \alpha_{p-1}, \ 0, \ 2\alpha_{p-3}, \ 0, \ \ldots, \ 2\alpha_{2}, \ 0, \ 2\alpha_0$$

si $p$ est impair, et

$$ 2 \alpha_{p-1}, \ 0, \ 2\alpha_{p-3}, \ 0, \ \ldots, \ 0, \ 2\alpha_1, \ 0$$

si $p$ est pair.

La somme des termes du tableau est donc

$$ 2 \alpha_0+2\alpha_2+ \ldots + 2 \alpha_{p-1}$$

si $p$ est impair, et

$$ 2 \alpha_1 + 2 \alpha_3 + \ldots + 2 \alpha_{p-1}$$

si $p$ est pair.

En égalant les deux expressions de cette somme, on obtiendra une identité, si $p$ est pair, et l’équation

$$ N=0$$

si $p$ est impair.

D’où cette conséquence :

$$ $$

Le nombre $N$ est nul et indépendant des nombres de Betti si $p$ est impair ; il dépend, au contraire, des nombres de Betti si $p$ est pair.