§ 10. Représentation géométrique

Il y a une manière de se représenter les variétés à trois dimensions situées dans l’espace à quatre dimensions, manière qui en facilite singulièrement l’étude.

Considérons, dans l’espace ordinaire, un certain nombre de polyèdres

$$P_1,\, P_2,\, \ldots,\, P_n.$$

Nous pouvons supposer qu’il existe, dans l’espace à quatre dimensions, un certain nombre de variétés à trois dimensions

$$Q_1,\, Q_2,\, \ldots,\, Q_n$$

respectivement homéomorphes à $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_n$.

Soient $F_1$ une face du polyèdre $P_1$ et $\Phi_1$ l’ensemble des points de la frontière de $Q_1$ qui correspondent aux divers points de $F_1$. Soient, de même, $F_2$ une face de $P_2$ et $\Phi_2$ l’image de cette face sur la frontière de $Q_2$.

Il peut se faire que $\Phi_1$ coïncide avec $\Phi_2$. Dans ce cas, les deux variétés $Q_1$ et $Q_2$ sont contiguës, et l’on passe de l’intérieur de l’une à l’intérieur de l’autre en franchissant $\Phi_1$.

Dans ce cas, nous dirons que les faces $F_1$ et $F_2$ sont conjuguées.

Il pourra arriver que les faces $F_1$ et $F_2$ appartiennent à un même polyèdre $P_1$. Alors la variété à deux dimensions $\Phi_1$, qui ne diffère pas de la variété à deux dimensions $\Phi_2$, séparera l’une de l’autre deux portions de la variétés $Q_1$.

On le comprendra mieux si je compare avec un exemple se passant dans l’espace ordinaire. Considérons un rectangle $ABCD$ et un tore, sur lequel nous tracerons deux coupures, à savoir : une circonférence méridienne et un parallèle ; soit $H$ le point d’intersection de ce parallèle et de ce méridien. La surface du tore ainsi découpée sera homéomorphe au rectangle ; les deux lèvres de la coupure formée par le méridien correspondront aux deux côtés $AD$ et $BC$. On voit l’analogie avec ce qui précède : le rectangle correspond au polyèdre $P_1$, le tore découpé à la variété $Q_1$, les côtés $AB$ et $CD$ aux deux faces $F_1$ et $F_2$, les deux lèvres de la coupure méridienne aux deux variétés $\Phi_1$ et $\Phi_2$ qui, comme on le voit, coïncident.

Cela posé, imaginons que parmi les faces des $n$ polyèdres $P$, il y en ait un certain nombre qui soient conjuguées deux à deux et un certain nombre qui restent libres.

Considérons la variété totale $V$ formée par l’ensemble des variétés $Q_i$. Comme quelques-unes de ces variétés $Q_i$ sont contiguës, il pourra se faire que la variété totale $V$ soit continue : c’est ce que je supposerai.

Si parmi les faces des $P_i$ il n’y en a aucune qui reste libre, la variété $V$ sera fermée. Dans le cas contraire, les points qui correspondront aux faces restées libres formeront la frontière complète de $V$.

On conçoit que la connaissance des polyèdres $P_i$ et celle du mode de conjugaison de leurs faces nous fournissent, dans l’espace ordinaire, une image de la variété $V$ et que cette image suffise pour l’étude de ses propriétés au point de vue de l’Analysis situs.

Voyons comment doit être défini le mode de conjugaison des faces. Il est clair d’abord que, pour que deux faces puissent être conjuguées, il faut qu’elles aient le même nombre de côtés. Ensuite, pour connaître complètement le mode de conjugaison, il ne suffit pas de savoir que telle face est conjuguée de telle autre ; il faut savoir, en outre, quel est le sommet ou le côté de cette face qui correspond à tel sommet ou tel côté de sa conjuguée.

Alors seulement le mode de conjugaison sera complètement défini.

A deux faces conjuguées correspond, par définition, une même variété à deux dimensions intérieure à $V$. Il peut se faire aussi qu’à plusieurs arêtes des polyèdres $P$ corresponde une même ligne intérieure à $V$, ou qu’à plusieurs sommets de ces polyèdres corresponde un même point intérieur à $V$. Nous dirons alors que ces arêtes ou ces sommets appartiennent à un même cycle.

Voici comment on peut former les cycles d’arêtes et les cycles de sommets.

Soit $A_1$ une arête, $F'_1$ l’une des faces qui passent par $A_1$, $F_2$ la conjuguée de $F'_1$, $A_2$ l’arête de $F_2$ qui correspond à $A_1$, $F_2 '$ l’autre face qui passe par $A_2$, $F_3$ la conjuguée de $F'_2$, $A_3$ l’arête correspondant à $A_2$, etc.

On s’arrêtera quand on arrivera à une face libre ou quand on sera revenu à l’arête $A_1$. Toutes les arêtes $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$ formeront un cycle.

De même pour les sommets. Soient $S_1$ un sommet de $F'_1$ l’une des faces qui passent par $S_1$, $F_2$ la conjuguée de $F'_1$, $S_2$ le sommet correspondant à $S_1$, $F'_2$ une des faces qui passent par $S_2$, etc.

$S_1$, $S_2$, $S_3$, $\ldots$ appartiendront à un même cycle.

Seulement ici il passe par chaque sommet plus de deux faces ; alors $F'_2$ par exemple, peut être choisie de plusieurs manières ; on ne devra s’arrêter qu’après avoir épuisé tous les choix possibles.

L’analogie avec la formation des cycles dans la théories des groupes fuchsiens est évidente. Elle le devient plus encore, si l’on suppose qu’il n’y a qu’un seul polyèdre $P_1$.

$$ $$

Premier exemple. — L’exemple le plus simple est celui où l’on n’a qu’un seul polyèdre $P_1$ et où ce polyèdre est un cube $ABCDA'B'C'D'$ dont les sommets ont respectivement pour coordonnées

$$ \begin{array}{ccccccccccc} A & \ldots \ldots & 0 & 0 & 0 & \hspace{1cm} & A' & \ldots \ldots & 0 & 0 & 1 \\ B & \ldots \ldots & 0 & 1 & 0 & \hspace{1cm} & B' & \ldots \ldots & 0 & 1 & 1 \\ C & \ldots \ldots & 1 & 0 & 0 & \hspace{1cm} & C' & \ldots \ldots & 1 & 0 & 1 \\ D & \ldots \ldots & 1 & 1 & 0 & \hspace{1cm} & D' & \ldots \ldots & 1 & 1 & 1 \end{array} $$

Je suppose que les faces opposées soient conjuguées et cela de la façon suivante [1] :

$$ \tag{1} \left\{ \begin{matrix} ABDC & \equiv & A'B'D'C',\\ ACC'A' & \equiv & BDD'AB',\\ CDD'C' & \equiv & ABB'A'. \end{matrix}\right. $$

Voici ce que j’entends par cette notation : la relation

$$\begin{matrix} ABDC & \equiv & A'B'D'C'\end{matrix}$$

signifie :

1. Que les faces $ABDC$ et $A'B'D'C'$ sont conjuguées ;
2. Que les sommets se rencontrant sur la première de ces faces se rencontrent dans l’ordre circulaire $ABDC$ ;
3. Que les sommets $A$ et $A'$, $B$ et $B'$, $D$ et $D'$, $C$ et $C'$ se correspondent.

$$ $$

Observons en passant que les sommets $ABDC$ se rencontrent sur la première de ces faces dans un ordre circulaire tel qu’en parcourant le périmètre dans le sens correspondant on ait la face à gauche. Au contraire, les sommets correspondants $A'B'D'C'$ se rencontrent sur la seconde face dans un ordre tel qu’en parcourant le périmètre dans ce sens on ait la face à droite.

Cette condition doit toujours être remplie si l’on veut que $V$ soit bilatère. Si deux faces $F_1$ et $F_2$ sont conjuguées et si un point décrit le périmètre de $F_1$ de façon à laisser la face à sa gauche, le point correspondant sur $F_2$ devra décrire le périmètre de cette face en la laissant à sa droite.

Cela posé, supposons donc que le mode de conjugaison soit défini par les relations (1). Il est aisé de voir alors que tous les sommets forment un seul cycle et qu’il y a trois cycles d’arêtes, comprenant respectivement celles des arêtes qui sont parallèles à l’axe des $x$, à celui des $y$ et à celui des $z$.

$$ $$

Deuxième exemple. — Conservons toujours notre cube, mais changeons le mode de conjugaison et définissons-le par les relations

$$\tag{2} \left\{ \begin{matrix} ABDC & \equiv & B'D'C'A',\\ ABB'A' & \equiv & DD'C'C,\\ ACC'A' & \equiv & DD'B'B\, ; \end{matrix}\right. $$

il y aura alors deux cycles d’arêtes et deux cycles de sommets et je résume les résultats par les relations suivantes ; j’ai mis le signe $\equiv$ entre deux arêtes (ou deux sommets) pour exprimer qu’elles font partie d’un même cycle.

Deux cycles d’arêtes :

$$ \begin{array}{ccccccccccc} AB & \equiv & B'D' & \equiv & C'C & \equiv & B'A' & \equiv & AC & \equiv & DD', \\ AA' & \equiv & DC & \equiv & C'A' & \equiv & B'B & \equiv & C'D' & \equiv & DB. \end{array} $$

Deux cycles de sommets :

$$\begin{matrix} A&\equiv &B'&\equiv& C'&\equiv& D,\\ B&\equiv& D'&\equiv& C&\equiv& A'.\end{matrix}$$

Nous verrons plus tard pour quelles raisons ce mode de conjugaison est inadmissible.

$$ $$

Troisième exemple. — Conservons notre cube avec le mode de conjugaison suivant :

$$\tag{3} \left\{ \begin{matrix} ABDC & \equiv & B'D'C'A',\\ ABB'A' & \equiv & C'CDD',\\ ACC'A' & \equiv & DD'B'B. \end{matrix}\right. $$

On trouve alors :

$$ $$

Quatre cycles d’arêtes :

$$ \begin{array}{ccc} AB \equiv B'D' \equiv C'C, & \hspace{0.5cm} & AA' \equiv C'D' \equiv DB, \\ AC \equiv DD' \equiv B'A, & \hspace{0.5cm} & CD \equiv BB' \equiv A'C'. \end{array} $$

Deux cycles de sommets :

$$\begin{matrix} A&\equiv &B'&\equiv& C'&\equiv& D,\\ B&\equiv& D'&\equiv& C&\equiv& A'.\end{matrix}$$

$$ $$

Quatrième exemple. — Soit maintenant

$$\tag{5} \left\{ \begin{matrix} ABDC & \equiv & B'D'C'A',\\ ABB'A' & \equiv & CDD'C',\\ ACC'A' & \equiv & BDD'B'. \end{matrix}\right. $$

On trouve :

$$ $$

Trois cycles d’arêtes :

$$\begin{matrix} AA' & \equiv & CC' & \equiv & BB'& \equiv & DD',\\ AB & \equiv & CD' & \equiv & B'D' & \equiv & A'C',\\ AC & \equiv & BD & \equiv & D'C'& \equiv & B'A'\\ \end{matrix} $$

et un seul cycle de sommets.

$$ $$

Cinquième exemple. — Soit un octaèdre régulier ; il aura six sommets dont quatre formeront un carré $BCED$ (les lettres sont rangées dans l’ordre circulaire dans lequel on rencontre les quatre sommets en parcourant le périmètre du carré) et dont deux, $A$ et $P$, sont en dehors du carré. Soit

$$\tag{6} \left\{ \begin{matrix} ABC & \equiv & FED,\\ ACE & \equiv & FDB,\\ AED & \equiv & FBC,\\ ADB & \equiv & FCE \end{matrix}\right. $$

le mode de conjugaison ; on trouvera six cycles d’arêtes et trois cycles de sommets ; chaque arête formera un cycle avec l’arête opposée, c’est-à-dire avec sa symétrique par rapport au centre de symétrie de l’octaèdre, et chaque sommet formant un cycle avec le sommet opposé.

$$ $$

Il est inutile de multiplier davantage les exemples ; je me propose de reconnaître maintenant si tous les modes de conjugaison sont admissibles.

Appelons aster la figure formée par un certain nombre d’angles solides ayant même sommet et disposées autour de ce sommet de telle sorte que tout point de l’espace appartienne à un et à un seul de ces angles solides.

Dans la figure, on distinguera donc, outre les angles solides eux-mêmes et leur sommet, un certain nombre de faces communes à deux angles solides et un certain nombre d’arêtes communes à plusieurs angles solides.

Je pourrai supposer que les arêtes et les faces sont prolongées indéfiniment, ou bien qu’on les arrête à la surface d’une sphère ayant son centre au sommet commun des angles solides. Alors ces divers angles solides vont découper sur la sphère un certain nombre de polygones sphériques. Cette surface ainsi subdivisée pourra être regardée comme homéomorphe à un polyèdre convexe dont les faces correspondront aux polygones sphériques que je viens de définir.

Alors aux angles solides de l’aster correspondront les faces du polyèdre ; aux faces de l’aster correspondront les arêtes du polyèdre et, aux arêtes de l’aster, ses sommets.

Soient $S$, $F$ et $A$ le nombre des angles solides, des faces et des arêtes de l’aster. Comme le polyèdre doit satisfaire au théorème d’Euler, on devra avoir

$$S-F+A=2.$$

Revenons maintenant à nos polyèdres

$$P_1,\, P_2,\, \ldots, P_n$$

et envisageons un cycle de sommets ; à tous les sommets de ce cycle correspondra un même point de $V$ que j’appelle $M$. Parmi les variétés

$$Q_1,\, Q_2,\, \ldots, Q_n$$

il y en aura un certain nombre qui auront le point $M$ sur leur frontière : je les appellerai les variétés $Q_\alpha$ et ce seront celles qui correspondront à des polyèdres $P_\alpha$ auxquels appartiendront les divers sommets du cycle.

Considérons maintenant deux des variétés $Q_\alpha$ qui soient contiguës et la variété à deux dimensions qui leur sert de frontière commune. Les variétés à deux dimensions ainsi définies, je les appellerai $\Phi_\alpha$ ; elles correspondront à celles des faces des polyèdres $P_\alpha$ auxquelles appartiennent les divers sommets du cycle.

Nous envisagerons enfin les variétés à une dimension qui sont l’intersection de deux variétés $\Phi_\alpha$ et que j’appellerai les $L_\alpha$. Elles correspondront à celles des arêtes des polyèdres $P_\alpha$ auxquelles appartiennent les divers sommets du cycle.

Envisageons la figure formée par les variétés $Q_\alpha$, $\Phi_\alpha$, $L_\alpha$ ou plutôt par les points de ces variétés qui satisfont à l’inégalité

$$\tag{7} (x_1-x_1^0)^2+(x_2-x_2^0)^2+(x_3-x_3^0)^2+ (x_4-x_4^0)^2<\varepsilon^2. $$

$\varepsilon$ est une très petite quantité ; $x_1^0$, $x_2^0$, $x_3^0$, $x_4^0$ sont les coordonnées du point $M$.

Cette figure est évidemment homéomorphe à un aster dont les faces et les arêtes seraient limitées à un sphère. Soit $A$ cet aster.

Considérons une quelconque des variétés $Q_\alpha$ et, en outre, la variété $W$ formée par ceux de ses points qui satisfont à l’inégalité (7). Cette variété sera continue ou ne le sera pas. Si elle ne l’est pas, je la décomposerai en plusieurs variétés continues, et les diverses variétés continues que l’on pourra ainsi former, je les appellerai les $Q'_\alpha$. (Le nombre des $Q'_\alpha$ peut ainsi être plus grand que celui des $Q_\alpha$ si l’une des variétés $W$ n’est pas continue.)

Je définirai de même les $\Phi'_\alpha$ et les $L'_\alpha$.

Soient $q_\alpha$, $\varphi_\alpha$, $l_\alpha$ le nombre des $Q'_\alpha$, des $\Phi'_\alpha$ et des $L'_\alpha$ ; ce sera aussi celui des angles solides, des faces et des arêtes de l’aster $A$.

D’où cette conclusion :

$$ $$

Pour qu’un mode de conjugaison soit admissible, il faut que, pour tous les cycles de sommets, on ait

$$q_\alpha-\varphi_\alpha+l_\alpha=2.$$

$$ $$

Voyons maintenant comment on pourra calculer les nombres $q_\alpha$, $\varphi_\alpha$ et $l_\alpha$ pour un cycle de sommets quelconque $\alpha$ :

1. $q_\alpha$ sera le nombre des sommets du cycle.
2. Pour avoir $\varphi_\alpha$, on n’a qu’à faire la somme des nombres des faces qui vont passer par les divers sommets du cycle et à diviser par deux. Si, par exemple, le cycle $\alpha$ se compose de trois sommets $a$, $b$, $c$ appartenant respectivement aux polyèdres $P_1$, $P_2$ et $P_3$ ; si le point $a$ est le sommet d’un angle trièdre de sorte que trois faces de $P_1$ aillent passer par $a$ ; si quatre faces de $P_2$ vont passer par $b$ et cinq faces de $P_3$ par $c$, on aura

   $$\varphi_\alpha=\frac{3+4+5}{2}=6.$$

1. Pour avoir $l_\alpha$, on énumérera les arêtes qui aboutissent aux divers sommets du cycle de la manière suivante : toutes les arêtes d’un même cycle d’arêtes ne compteront que pour une seule, si l’une des extrémités appartiennent au cycle $\alpha$.

Appliquons ces règles aux six exemples dont nous nous sommes occupés plus haut, nous aboutirons au tableau suivant :

$$ \begin{array}{lccc} \mbox{Exemple.} \hspace{3cm} & q_\alpha . & \varphi_\alpha . & l_\alpha .\\ \mbox{Premier} .................. & 8 & 12 & 6 \\ \mbox{Deuxième} ............... & 4 & 6 & 2 \\ \mbox{Troisième} ............... & 4 & 6 & 4 \\ \mbox{Quatrième} ............... & 8 & 12 & 6 \\ \mbox{Cinquième} ............... & 2 & 4 & 4 \end{array} $$

Il est à remarquer que, dans les exemples 2, 3 et 5, il y a plusieurs cycles de sommets, mais il arrive que les trois nombres $q_\alpha$, $\varphi_\alpha$, $l_\alpha$ ont les mêmes valeurs pour tous les cycles d’un même exemple.

Ce tableau montre que la relation

$$q_\alpha-\varphi_\alpha+l_\alpha=2$$

est satisfaite pour tous nos exemples, sauf pour le second. Le mode de conjugaison du second exemple doit donc être rejeté.