Le Cinquième complément à l’Analysis Situs paraît dans les Rendiconti del Circolo matematico di Palermo en 1904. [1]
Dans ce dernier complément, Poincaré revient sur une question déjà évoquée dans l’Analysis Situs et dans le deuxième complément : dans quelle mesure les nombres de Betti et les coefficients de torsion caractérisent topologiquement une variété (à homéomorphisme près) ?
Poincaré a déjà montré dans le deuxième complément que ces invariants ne permettent pas de distinguer les suspensions de difféomorphismes du tore. Il se propose ici de construire une sphère d’homologie de dimension $3$, c’est-à-dire une variété de dimension $3$ ayant les mêmes invariants homologique que la sphère de dimension $3$, mais qui ne lui est pas homéomorphe. Cette variété est obtenue par Poincaré comme recollement de deux corps en anses de genre $2$. Nous en donnons d’autres présentations dans la rubrique Variété dodécaédrique de Poincaré. Ce cinquième complément est aussi prétexte à l’étude du groupe modulaire des surfaces, des scindements de Heegaard et au développement de la théorie de Morse. Il se termine sur une question qui deviendra célèbre sous le nom de "conjecture de Poincaré". Nous discutons tous ces aspects dans nos Commentaires du cinquième complément.
Dans le premier paragraphe, Poincaré annonce son intention de construire une sphère d’homologie.
Le paragraphe 2 développe un embryon de théorie de Morse appliquée à l’étude des variétés de dimension $2$ et $3$.
Les paragraphes 3 et 4 étudient le groupe modulaire des surfaces. Le paragraphe 3 étudie l’action de se groupe en homologie, tandis que le paragraphe 4 se focalise sur l’action sur le groupe fondamental. L’objectif de Poincaré est de donner un critère d’existence d’un difféomorphisme envoyant un certain système de courbes sur un autre.
Dans le paragraphe 5, Poincaré revient à la théorie de Morse pour montrer que toute variété de dimension $3$ admet un scindement de Heegaard.
Dans le sixième et dernier paragraphe, Poincaré construit sa sphère d’homologie comme un scindement de Heegaard de genre $2$ donné par un homéomorphisme bien choisi de la surface. Il montre que le premier groupe d’homologie de cette variété est trivial, tandis que son groupe fondamental se surjecte sur le groupe $\mathcal{A}_5$.
Ce paragraphe se clôt sur la question :
Est-il possible que le groupe fondamental de $V$ se réduise à la substitution identique, et que pourtant $V$ ne soit pas simplement connexe ?
qui deviendra célèbre sous le nom de conjecture de Poincaré, et ne sera résolue qu’un siècle plus tard par Grigori Perelman, grâce à des méthodes analytiques (l’étude du flot de Ricci) extrêmement sophistiquées [2]. Poincaré n’a donc pas tort de conclure que :
« [...] cette question nous entraînerait trop loin. »
[1] Cinquième complément à l’Analysis Situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. 18, pp. 45—110 (1904).
[2] Nos lecteurs désirant étudier la preuve de Perelman pourront utiliser le livre de Morgan et Tian (2007), celui de Tao (2009) ou bien celui de Bessières, Besson, Boileau, Maillot et Porti (2010) de notre liste de livres de référence. Les articles fondateurs de Perelman sont quant à eux cités à la fin de la première section de notre liste de textes fondateurs et de survol.