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On trouve ici principalement des livres introductifs à la topologie algébrique ou géométrique. Même s’ils ne sont écrits que pour donner l’arôme du sujet, comme les petits livres "Elementary concepts of topology" d’Alexandroff ou "Topology from the differentiable viewpoint" de Milnor. Mais on trouve aussi des livres de référence dans des sujets proches, comme la topologie des variétés algébriques réelles ou complexes, ou la théorie des nœuds.
Notez que :
- Cette liste n’est bien sûr pas complète. Même le très savant Henri Paul de Saint Gervais n’a pas tout lu. Les livres de topologie algébrique donnent en général une préférence à l’homologie sur l’homotopie, ou le contraire. C’est la partie homotopique qui s’est développée d’une manière plus abstraite et s’éloigne le plus de l’esprit de ce site. Cette liste est donc encore plus incomplète en ce qui concerne la théorie de l’homotopie.
- Ces livres sont tous différents et la liste ne contient pas uniquement des ouvrages dont nous recommandons la lecture. Certains sont par exemple « démodés » et d’autres présentent une approche très abstraite de la topologie algébrique, avec un esprit différent de celui de ce site. De manière complètement subjective, nous avons indiqué en bleu les livres que nous aimons particulièrement et que nous recommandons aux lecteurs débutants.
- Les ouvrages sont classés par ordre chronologique. Nous n’avons indiqué que les premières éditions, sauf lorsqu’il s’agit de traductions.
Le cas particulier de la topologie algébrique
Nous avons pris le temps de faire une analyse de la littérature associée à la topologie algébrique. Il est bien entendu impossible de fixer avec précision les limites de ce sujet, tant les connexions avec des domaines voisins sont nombreuses. On peut cependant dire qu’il existe quelques centaines d’ouvrages d’enseignement de la topologie algébrique, à divers niveaux.
On peut distinguer trois grandes étapes dans l’histoire de cette littérature :
- Dans la première étape, disons jusqu’en 1960, le sujet n’est pas encore stabilisé et les preuves ne sont pas optimisées. Les manuels de cette période cherchent avant tout une « mise au propre ».
- Dans la deuxième étape, disons entre 1960 et 1990, le sujet est devenu un thème de recherche « mûr » et les manuels cherchent à amener l’étudiant rapidement et efficacement à la frontière de la recherche en topologie algébrique.
- Enfin, dans la troisième étape, depuis 1990, la topologie algébrique est devenue avant tout un outil et n’est plus un sujet de recherche per se. Les manuels changent de but et insistent beaucoup plus sur les utilisations ou les applications de cet outil.
En consultant ces quelques centaines d’ouvrages, nous avons été frappés par le fait qu’un très grand nombre d’entre eux se ressemblent ! Beaucoup de collègues ont souhaité enseigner la topologie algébrique et ont fait comme tout le monde : ils ont rédigé leur cours, pensant que le résultat serait original, pour constater au final qu’ils avaient écrit des livres qui ressemblaient beaucoup à ceux qui existaient déjà 🙂. C’est peut-être pour cette raison que les manuels publiés après 1980 semblent converger sur un consensus en ce qui concerne le choix des définitions et des concepts de base.
Bonne lecture !
La période 1900-1960 est celle d’une exploration. L’algébrisation de la topologie n’est pas encore le trait dominant et l’aspect qualitatif et intuitif l’emporte souvent, parfois au détriment de la rigueur, dans la tradition des textes fondateurs de Poincaré. Notons qu’avant 1920 il n’y a pas eu de manuels, seulement des articles de survol de la topologie algébrique naissante. Les lecteurs intéressés les trouveront dans la deuxième section de notre liste de textes fondateurs ou de survol.
1920
(1922). Analysis Situs, American Math. Society, New York, RIS, BibTeX.
Il s’agit du premier manuel de topologie algébrique. Voici un extrait de la recension écrite en 1924 par Lefschetz, auteur du deuxième tel manuel (paru en 1930, voir plus bas) :
« Hitherto a beginner attracted by the fascinating and difficult field of analysis situs, was obliged to wade through many widely scattered papers, beginning with Poincaré’s classic of the 1895 in JOURNAL DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE and its multiple Complements. Difficult reasonings beset him at every step, an unfriendly notation did not help matters, to all of which must be added, most baffling of all, the breakdown of geometric intuition precisely when most needed. No royal road can be created through this dense forest, but a good and thorough-going treatment of fundamentals, notation, terminology, may smooth the path somewhat. And this and much more we find supplied by Veblen’s Lectures. That few, if any, were better qualified than the author, by temperament and scientific past, to produce such a work, is well known among the devotees of analysis situs, whose number it will assuredly increase. As this field presents difficult problems in profusion, with but few general methods, such an increment is very much to be hoped for. »
Cet espoir n’allait pas être déçu !
(1924). L’analysis situs et la géométrie algébrique, Gauthier-Villars, Paris, RIS, BibTeX.
Il s’agit de la première monographie sur la topologie algébrique des variétés projectives complexes de dimension quelconque. Lefschetz les étudie à l’aide des « pinceaux de Lefschetz », dans l’esprit des travaux de Picard et du Quatrième Complément à l’Analysis Situs. L’intérêt est avant tout historique. Afin de découvrir le contexte de ce livre, on pourra commencer par lire la recension qu’en a faite Alexander, l’article de souvenirs mathématiques de Lefschetz de 1968, ainsi que celui de Griffiths, Spencer et Whitehead de 1992, de notre liste de Textes d’histoire des mathématiques.
(1929). Geometrische Konfigurationen, S. Hirzel, Leipzig, RIS, BibTeX.
Extrait du review de L. W. Cohen dans Bull. Amer. Math. Soc. 37, No. 1 (1931), 8-9 :
« This book has for its aim the study of geometrical configurations, principally those composed of points, lines and planes. The author has in mind a unified presentation which will show the relation of this subject to algebra and topology. The approach, through a consideration of the incidences which occur among the elements of the configurations, leads immediately to combinatorial methods.Chapter 2 consists of a treatment of the topology of two-dimensional manifolds from a purely combinatorial point of view. The elements making up a manifold and the operations thereon are characterized axiomatically and the theory leading up to the classification of these manifolds is put forth very neatly. »
1930
(1930). Topology, American Math. Society Colloquium Publ. 12 Publications, RIS, BibTeX.
Il s’agit du second manuel de topologie algébrique, après celui de Veblen de 1922 cité plus haut. La théorie de l’intersection en homologie est soigneusement développée, pour les besoins de l’approche de Lefschetz de son problème-fétiche de l’époque, présenté ainsi par P. A. Smith dans sa recension de 1931
« Almost the whole of Lefschetz’s work in analysis situs has centered around the following fundamental problem : a given space is subjected to a continuous transformation into itself ; how can a topologically significant index be attached to the totality of fixed points and how can its value be computed in terms of the invariants of the situation ? [...] It was Lefschetz, however, who in 1923 proposed a method of attack which penetrated into the heart of the problem in its most general form, and brought it immediately within working range of the tools of $n$-dimensional analysis situs as they had been developed in Veblen’s lectures. If $M'$ is a copy of a given space $M$, let us form, said Lefschetz, the product space $M \times M'$. Then a transformation $T$ of $M$ may be thought of as a pairing off of the points of $M$ and $M'$, and the totality of point-pairs will consti- tute a subspace $V$ of $M\times M'$. The identity in particular will lead to subspace $V_0$, and the fixed points of $T$ will then correspond to the intersections of the two subspaces $V$ and $V_0$. Thus the concept of transformation, with its connotation of change, is essentially a static geometric situation, and as such can most advantageously be studied. »
(1932). Anschauliche Geometrie, Springer, Berlin., RIS, BibTeX.
(1952). Geometry and the Imagination, Chelsea Publishing Company, New York, N. Y., RIS, BibTeX.
Rien à voir avec la topologie algébrique, mais un peu avec la topologie intuitive, dans le dernier chapitre...On y trouve une vision de la géométrie si lumineuse ! À une époque où l’enseignement de la géométrie a été presque supprimé, la lecture de ce livre est obligatoire pour les étudiants d’aujourd’hui. Ils ne le regretteront pas.
La version originale en allemand est accessible ici.
(1932). Einfachste Grundbegriffe der Topologie, Springer, Berlin, RIS, BibTeX.
(1961). Elementary concepts of topology, Dover Publications, Inc., New York, New York, RIS, BibTeX.
Très très élémentaire. Très très joli.
(1932). Einführung in die kombinatorische Topologie, Springer, Berlin, RIS, BibTeX.
(2014). Introduction to combinatorial topology, Translated from the German by John Stillwell. ArXiv (https://arxiv.org/pdf/1402.3906.pdf), RIS, BibTeX.
Extrait de l’introduction :
« The first three chapters of this book deal with infinite groups ; the last four with line and surface complexes and especially with 2-dimensional manifolds. This choice of material may be justified from several standpoints.In the first place I was concerned to work out the profound connections between groups and complexes. The close connection between these two fields has been known since the basic work of HENRI POINCARÉ. [...] Since generators and defining relations of subgroups of groups presented by generators and relations may be determined, group theory provides a profitable instrument of computation for topology, with which several previously inaccessible questions become subject to systematic investigation. Conversely, complexes perform a valuable service in making group-theoretic theorems more intuitive and making geometric examination fruitful for groups ; e.g., planar complexes give information about the structure of planar discontinuous groups. »
(1932). Knotentheorie, Springer, Berlin, RIS, BibTeX.
(1983). Knot theory, Translated from the German by Leo F. Boron, Charles O. Christenson and Bryan A. Smith. BCS Associates, Moscow, Idaho, RIS, BibTeX.
Le premier manuel de théorie des nœuds. Mouvements de Reidemeister, polynôme d’Alexander, groupe fondamental du complémentaire. On pourra lire une étude stylistique comparée des écrits de Reidemeister et Alexander — les deux principaux théoriciens des nœuds de l’époque — dans l’article de Moritz Epple de 2004 cité dans notre liste de Textes d’histoire des mathématiques.
(1934). Vorlesungen über die Theorie der Polyeder unter Einschluss der Elemente der Topologie. I, Springer-Verlag, Berlin, RIS, BibTeX.
Voici un extrait du review de A. W. Tucker :
« The book by Steinitz is a posthumous memoir [...]. It carries on the study of ordinary (two-dimensional) polyhedra already begun by Steinitz in his Enzyklopädie articles on Polyeder und Raumeinteilungen. The theory develops about a single central problem : Are there necessary and sufficient combinatorial conditions in order that it be possible to realize geometrically a two-dimensional complex by a convex polyhedron ? In other words, can convex polyhedra be characterized in a purely combinatorial fashion ? This problem has a classical ring ; it is a natural outgrowth of the pioneer work of Euler on convex polyhedra ; yet here it receives for the first time a complete and definite affirmative answer. The book is self-contained, well-illustrated, and easy to read. One cannot go far in it without sensing the enthusiasm of an author who has made his subject a hobby as well as a serious piece of mathematics. Steinitz’ fame may rest on his contributions to algebraic field-theory, but he evidently took just as much delight, if not more, in working with polyhedra. »
(1934). “Lehrbuch der Topologie”, in Naturforschung und Medizin in Deutschland 1939–1946, Band 2, Dieterich’sche Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden, RIS, BibTeX.
(1980). Seifert and Threlfall : a textbook of topology, collection « Pure and Applied Mathematics », Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, ISBN: 0-12-634850-2 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/seifthreng.pdf), RIS, BibTeX.
De manière étonnante, ce livre classique est remarquablement moderne et nous en recommandons la lecture, ou tout au moins le survol, à l’étudiant débutant. Celui-ci pourra se faire une idée du contenu grâce à la recension d’Ehresmann de 1935. Le livre contient en particulier l’une des premières expositions systématiques de constructions de variétés de dimension 3. Le collaborateur de Henri Paul qui rédige ces lignes regrette que la traduction anglaise ne soit parue que si tard, et il se souvient des séances de lecture pénibles, avec un dictionnaire allemand.
(1935). Topologie. I, Springer-Verlag, Berlin-New York, RIS, BibTeX.
Voici un extrait du review anonyme de la réédition de 1974 :
« There can be no better example than this book of the effect of the right people being together at the right time. The year 1935 was a watershed in the history of topology, not least for the appearance of this book, and, though the subject has changed enormously since then [...] « Alexandroff-Hopf » is still useful and important today. »Nos lecteurs désireux d’en savoir un peu plus sur l’importance de l’année 1935 pour le développement de la topologie algébrique pourront lire le texte de Whitney de 1992 mentionné dans notre liste de Textes d’histoire des mathématiques.
(1935). Algebraic surfaces, Springer-Verlag, Berlin. Second edition, 1971. With appendices by S.S. Abhyankar, J. Lipman and D. Mumford, ISBN: 3-540-58658-X, RIS, BibTeX.
Voici un extrait de la préface à la seconde édition par D. Mumford :
« The original edition of this book came at a very opportune moment. The Italian school, judged by its own standard, had completed a mature theory of algebraic surfaces. ZARISKI brought together the techniques of topology, analysis and algebraic geometry proper and put together a coherent and essentially complete account of this theory. It seems to us that the original text of the book is an excellent place for a student to learn the methods of classical geometry and to find the old results - some of them familiar results in the modem theory but still stated here clearly - without the trappings of any abstract machinery. »
On y trouvera en particulier dans le chapitre VI une étude de l’homologie des surfaces algébriques complexes faite à la Poincaré-Lefschetz, via un pinceau de Lefschetz.
1940
(1942). Algebraic Topology, collection « American Mathematical Society Colloquium Publications No. 27 », American Mathematical Society, New York, RIS, BibTeX.
L’extrait célèbre suivant de l’Avertissement de Lagrange à sa Mécanique Analytique de 1788 s’applique aussi à ce livre :
« On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j’y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme. »Voici un extrait du review de Whitney, permettant de découvrir l’opinion de l’un des grands maîtres de la topologie algébrique et différentielle du XXème siècle sur les premiers manuels de topologie algébrique :
« This is the fifth book to appear presenting the side of topology centering around homology theory. The others are : O. Veblen, Analysis Situs (V), S. Lefschetz, Topology (L I), H. Seifert and W. Threlfall, Lehrbuch der Topologie (ST) and P. Alexandroff and H. Hopf, Topologie I (AH). (A recent elementary book by M. G. A. Newmann, Cambridge, 1939 and two works [Braunschweig, 1932 and Leipzig, 1938] by K. Reidemeister, should also be mentioned.) The present book (L II) was conceived as a second edition of L I, but actually is almost wholly new, giving in very general and abstract form the modern theories of algebraic (=combinatorial) topology. The place of these five works is somewhat as follows. The first book, V (1922 ; second edition, 1931) had an enormous influence in increasing interest in the subject, and was the standard text for a decade. Next (1930) came L I, going far beyond V in material and with a very geometric point of view, but quite difficult to read. In 1934, the appearance of ST gave the young student an excellent first text in the field. In one subject, the fundamental group (with applications), it fills a large gap in earlier works. Soon after (1935), AH was published. It is a very full treatment, considering most of the subjects in L I, and various others, especially some elementary applications. Both ST and AH are written in a clear, detailed style.At just this time, combinatorial topology took a sudden and rather unexpected leap forward, in the discovery of cohomology theory, largely growing out of Pontrjagin’s work. There was therefore no longer a complete text on the subject, and only now has L II filled the gap. Like L I, it seems in advance of its time ; unlike L I, it is written with full accuracy and with clarity, but it has also largely lost touch with geometry. »
Bien entendu, 75 ans plus tard, son intérêt est surtout historique et on n’en recommande pas la lecture à un débutant.
(1946). Introduction à la Topologie Combinatoire. I. Initiation, Librairie Vuibert, Paris, RIS, BibTeX.
(1967). Initiation to combinatorial topology, Translated from the French, with some notes, by Howard W. Eves. Prindle, Weber & Schmidt, Inc., Boston, Mass.-London-Sydney, RIS, BibTeX.
Ce cours de Fréchet est intéressant en particulier parce qu’il explicite très tôt le grand écart de la topologie algébrique, entre l’intuition et la rigueur :
« J’avais été frappé du mode d’exposition presque exclusivement dogmatique adopté par les ouvrages sur le sujet. Bien souvent les définitions y sont introduites brusquement sous leur forme la plus abstraite sans que l’auteur prenne la peine d’en indiquer ni l’origine ni le but. »Tout est dit ! Tous les livres sur ce sujet qui vont suivre devront faire un choix entre ces deux points de vue.
(1947). Kombinatornaya Topologiya, OGIZ, Moscow-Leningrad,], RIS, BibTeX.
(1998). Combinatorial topology. Vol. 1, 2 and 3, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, ISBN: 0-486-40179-0, RIS, BibTeX.
Dans les premiers temps, la topologie algébrique était surtout « combinatoire », tout particulièrement dans l’école russe. On affirme en général qu’en ce qui concerne la topologie algébrique, les successeurs immédiats de Poincaré ont été russes (Aleksandrov et Pontryagin en particulier) ou américains (Lefschetz), et pas français. Là encore, ces manuels très anciens ne sont pas nécessairement recommandables pour les débutants.
(1948). Algebraic Topology, Published by the editors, 223 Pierce Hall, Harvard University, Cambridge 38, Mass., RIS, BibTeX.
Extrait du review de Chern :
« The work consists of notes based on a course given at Harvard University in 1948. The essential feature is a comprehensive homology (or cohomology) theory of locally compact topological spaces, with the notion of grating playing the central role. »Ce texte ancien, assez obscur et, il faut bien le dire, assez sec, représente l’une des tentatives pour unifier les diverses théories cohomologiques. Le temps passant, certains livres gardent leur fraîcheur et d’autres ne la gardent pas !
(1949). Introduction to Topology, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey., RIS, BibTeX.
Classification des surfaces, homologie et homotopie, les théorèmes du point fixe de Brouwer et de Lefschetz, le théorème de Hopf sur les classes d’homotopie d’applications de $\mathbb{S}^n$ dans $\mathbb{S}^n$, dualités de Poincaré, Alexander et Lefschetz. Abondamment illustré, à la différence du traîté de Lefschetz de 1942 cité plus haut. Ainsi commence le livre :
« The concepts which it is proposed to examine in this survey are above all those related to algebraic topology. Little regard will be paid to historical matters as the existing and very accessible bibliographies make it easy to trace most questions under discussion to their sources. »La littérature sur la topologie algébrique ayant explosé depuis, c’est justement pour permettre au lecteur de retourner aux sources que Henri Paul s’est préoccupé de questions historiques et a fabriqué des listes bibliographiques très accessibles.
1950
(1951). The Topology of Fibre Bundles, collection « Princeton Mathematical Series No. 14 », Princeton University Press, Princeton, N. J., RIS, BibTeX.
Un grand classique, qui n’a pas pris une ride.
(1952). Foundations of combinatorial topology, Graylock Press, Rochester, N. Y., RIS, BibTeX.
Dans le même esprit que les livres d’Aleksandrov.
(1952). Foundations of algebraic topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, RIS, BibTeX.
Après celui de Seifert-Threlfall de 1934, il s’agit peut-être du manuel de topologie algébrique le plus ancien qu’on peut recommander à un étudiant d’aujourd’hui. Clairement, Fréchet aurait parlé de « mode d’exposition presque exclusivement dogmatique ». Ce livre présente pour la première fois les axiomes d’Eilenberg-Steenrod qui ont joué un grand rôle dans le développement ultérieur de la théorie. On ne cherche plus l’intuition dans les définitions mais on montre que le foncteur homologie est complètement caractérisé par le fait qu’il vérifie certains axiomes. On perd l’intuition, on gagne la rigueur.
(1953). An introduction to homotopy theory, collection « Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics No. 43 », Cambridge, at the University Press, RIS, BibTeX.
Les groupes d’homotopie d’ordres supérieurs ont été introduits par Hurewicz en 1935. Ce traité de la théorie de l’homotopie, de 1953, est l’un des premiers « textbooks » sur le sujet. On suppose du lecteur qu’il connaît la théorie de l’homologie et le livre se concentre exclusivement sur l’homotopie. Bien entendu, ce livre a surtout un intérêt historique car bien des progrès ont été réalisés depuis cette époque si lointaine. Si lointaine qu’aucun collaborateur de Henri Paul n’était né !
(1955). Variétés différentiables. Formes, courants, formes harmoniques, collection « Actualités Sci. Ind., no. 1222 = Publ. Inst. Math. Univ. Nancago III », Hermann et Cie, Paris, RIS, BibTeX.
On ne peut plus guère recommander ce livre pour une introduction au sujet mais il a marqué une étape importante de la théorie. Cet ouvrage a été écrit avec le plus grand soin et présente une exposition claire de la théorie des courants.
(1955). Séminaire Henri Cartan de l’Ecole Normale Supérieure, 1948/1949. Topologie algébrique, Secrétariat mathématique, 11 rue Pierre Curie, Paris (http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=SHC), RIS, BibTeX.
Ce séminaire n’est pas tout à fait un manuel, mais il a servi de manuel à plusieurs générations de topologues. Bien entendu, il est écrit dans l’esprit « Bourbaki », on y trouve peu ou pas de figures, et l’aspect fonctoriel est mis en avant.
(1956). Homological algebra, Princeton University Press, Princeton, N. J., RIS, BibTeX.
Comme le titre l’indique, il ne s’agit plus de topologie mais d’algèbre. Oy y développe tout le formalisme nécessaire à l’algèbre homologique, les résolutions, l’homologie des groupes, des algèbres de Lie etc. Ce livre a eu une grande influence.
(1957). An introduction to algebraic topology, Pergamon Press, New York-London, Paris, RIS, BibTeX.
D’après le review écrit par E. Spanier :
« The presentation of homology theory is such that the student cannot compute any non-trivial examples until the end of the book. »
(1958). Homology theory on algebraic varieties, collection « International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics No. 6 », Pergamon Press, New York-London-Paris-Los Angeles, RIS, BibTeX.
Il s’agit de la « mise au propre » des théorèmes de Lefschetz concernant l’homologie des surfaces algébriques, et plus généralement des sections hyperplanes en dimension supérieure. Bien évidemment, on dispose aujourd’hui de textes plus « définitifs » (jusqu’au moment où ils ne le seront plus) si bien que l’intérêt de ce petit livre, d’une centaine de pages, est avant tout historique.
(1958). Topologie algébrique et théorie des faisceaux, collection « Actualités Sci. Ind. No. 1252. Publ. Math. Univ. Strasbourg. No. 13 », Hermann, Paris, RIS, BibTeX.
Pas véritablement un manuel, pas vraiment relié avec la topologie algébrique telle que discutée dans ce site. Il s’agit cependant d’un texte important qui a eu des implications importantes dans le développement de la géométrie algébrique moderne.
(1959). Homotopy theory, collection « Pure and Applied Mathematics, Vol. VIII », Academic Press, New York-London, RIS, BibTeX.
On ne peut plus recommander ce livre aujourd’hui, tant la théorie homotopique a évolué, mais il a été l’un des tout premiers ouvrages de référence sur le sujet. Fibrations, groupes d’homotopie, théorie de l’obstruction, groupes d’homotopie des sphères etc.
Les manuels publiés entre 1960 et 1990
C’est la période de l’algébrisation de la théorie. Le prix à payer est celui d’une formalisation parfois excessive et souvent d’un éloignement de la « vraie » topologie ? Tous les mathématiciens d’aujourd’hui ne concorderont pas forcément avec la phrase qui précède... Le lecteur comprendra cependant que la topologie algébrique, telle que présentée dans ce site, est plus proche de la topologie que de l’algèbre.
1960
(1960). Homology theory : An introduction to algebraic topology, Cambridge University Press, New York, RIS, BibTeX.
Livre typique de son époque, assez formel dans sa rédaction, avec très peu de figures. On a toujours un peu de tendresse pour les livres dans lesquels on a appris les concepts importants et on en pardonne volontiers les petits défauts... C’est le cas pour le rédacteur de ce commentaire, qui pardonne volontiers la notation $x.f$ plutôt que $f(x)$ ou la terminologie « contrahomology » plutôt que « cohomology » etc. La présentation des suites spectrales est difficile, mais le sujet est ardu !
(1961). Introductory topology, The Ronald Press Co., New York, RIS, BibTeX.
Un tel livre n’est plus recommandable à un étudiant d’aujourd’hui mais il illustre bien le développement de la théorie. À noter que le reviewer (Hilton) se plaint que l’auteur ne donne pas suffisamment d’importance au fait que les groupes d’homologie sont des groupes et ne se limitent pas à des nombres de Betti et de mystérieux nombres de torsion, comme le pensait Poincaré. En 1961 !
(1961). Topology, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.-London, RIS, BibTeX.
Extrait du review de S. S. Cairns :
« The text is liberally supplied with illuminating examples, counter-examples and problems, both those which test the understanding and those which extend and deepen it.There are four set-theoretic, followed by four primarily algebraic chapters. […] Chapter 4 is on homotopy theory. The first of the chapters on algebraic topology covers basic material on geometric and abstract simplicial complexes and their subdivisions. Chapter 6 is on simplicial homology theory, and Chapter 8 discusses Čech homology. It also contains, as supplementary material, some singular and Vietoris homology, homology local-connectedness, and a few properties of the $n$-sphere. Chapter 7, not part of the suggested course, is devoted to various topics in algebraic topology ; relative homology, exact sequences, the Mayer-Vietoris sequence, the Eilenberg-Steenrod axioms, relative homotopy, cohomology, simplicial and chain mappings, the cohomology ring, and the cap product. »
(1963). Morse theory, Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. Annals of Mathematics Studies, No. 51. Princeton University Press, Princeton, N.J. (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/milnmors.pdf), RIS, BibTeX.
Comme tous les livres de Milnor, il s’agit d’un bijou. L’auteur présente d’abord la théorie « classique », c’est-à-dire en dimension finie, avant de discuter d’aspects plus avancés : périodicité de Bott, existence de géodésiques périodiques etc. Un grand classique, toujours aussi efficace.Henri Paul aime.
(1963). Homology, Springer-Verlag, Berlin-New York, RIS, BibTeX.
La couverture annonce (fièrement ?) que l’ouvrage (de 422 pages) contient 7 figures (dont un cercle et une sphère). Cela illustre bien qu’il s’agit essentiellement d’un livre d’algèbre homologique qui a été une référence sur ce sujet et qui l’est encore, sous certains aspects. On n’y trouvera cependant que peu de topologie.
(1963). Introduction to knot theory, Based upon lectures given at Haverford College under the Philips Lecture Program. Ginn and Co., Boston, Mass., RIS, BibTeX.
L’un des premiers livres sur la théorie de nœuds. Voici un extrait du review de L. Neuwirth :
« This book is in many ways a very surprising work. In the first place it places topology, algebraic topology and knot theory in the position of solving a “practical problem”. More about this will be said in the next paragraph. In the second place, for a very innocent task, namely distinguishing knots, a quite respectable amount of interesting and sophisticated mathematics is introduced. It is the reviewer’s feeling that this is a common phenomenon of 3-dimensional topology and is one of the important compensating factors for the apparent narrowness of the field. In the third place, while there is a great emphasis on practicality, and informal discussion prior to making a definition or proof is frequent, there is no sacrifice of rigor. This book is on the side of formality for necessity’s sake, rather than formality for its own sake. »
(1963). Modern algebraic topology, The Macmillan Co., New York ; Collier-Macmillan Ltd., London, RIS, BibTeX.
D’une certaine manière, on peut considérer ce livre comme une « annonce » du livre de Spanier qui suit. Le contenu est à peu près identique, mais « le Spanier » est plus achevé.
(1964). Experiments in topology, Thomas Y. Crowell Co., New York. Republié par Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1989, ISBN: 978-0-486-25933-8, RIS, BibTeX.
Un petit bijou.L’approche est d’autant plus étonnante qu’il a été écrit en 1964, à une époque où l’expérimental avait mauvaise presse en mathématiques.
(1965). Lectures on the h-cobordism theorem, Notes by L. Siebenmann and J. Sondow. Princeton University Press, Princeton, N.J., RIS, BibTeX.
Un autre joyau de Milnor, mais pas facile du tout. Le « théorème du h-cobordisme » est dû à Smale et il représente probablement l’outil le plus puissant en topologie de grande dimension. Si $W$ est une variété compacte dont le bord contient deux composantes simplement connexes $V$ et $V'$ de dimensions supérieures à $4$, et si $V,V'$ sont des rétracts par déformation de $W$, alors $W$ est difféomorphe à $W \times [0,1]$. La preuve n’est pas facile et consiste à supprimer des points critiques dans une fonction de Morse sur $W$. On en trouvera une esquisse dans l’article de Cooper de 2008 cité dans notre liste de Textes fondateurs ou de survol.
(1965). Topology from the differentiable viewpoint, Based on notes by David W. Weaver. The University Press of Virginia, Charlottesville, Va., RIS, BibTeX.
Ce livre est unanimement reconnu comme l’un des meilleurs sur le sujet.Henri Paul ne se contente pas d’en recommender la lecture aux étudiants débutants, il leur ordonne de le lire !
(1965). Homotopy theory and duality, Gordon and Breach Science Publishers, New York-London-Paris, RIS, BibTeX.
Ce livre est un classique. Il traite d’un thème important qui est totalement absent de ce site : la dualité entre l’homotopie et l’homologie. Il joue plus aujourd’hui un rôle historique et on recommande au lecteur intéressé d’étudier ce sujet dans le livre récent de Arkowitz, signalé plus bas.
(1966). Topological methods in algebraic geometry, Third enlarged edition. New appendix and translation from the second German edition by R. L. E. Schwarzenberger, with an additional section by A. Borel. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 131. Springer-Verlag New York, Inc., New York, RIS, BibTeX.
Poincaré aurait sans aucun doute aimé le contenu de ce livre, à la croisée de la géométrie algébrique et de la topologie algébrique. L’un des moments phares est le théorème de la signature de Hirzebruch qui permet d’exprimer la signature d’une variété fermée orientable de dimension $4k$ en termes de ses classes de Pontriagyn. Un autre en est la preuve de la formule de Riemann-Roch-Hirzebruch pour les variétés algébriques complexes de dimension quelconque. Il s’agit d’un grand classique de l’interaction de la topologie algébrique avec la géométrie algébrique.
(1966). First concepts of topology. The geometry of mappings of segments, curves, circles, and disks, collection « New Mathematical Library, Vol. 18 », Random House, New York ; The L. W. Singer Co., Syracuse, N.Y., RIS, BibTeX.
Voici le review de M. Edelstein :
« This book is devoted to the popularization of some basic notions and results of topology.Part I centers around the intermediate value property of (and attainment of a maximum by) a real-valued continuous function on a closed interval. The analogous problem in two dimensions (i.e., the existence of an $x$ satisfying $f(x)=y$ when $f:D→P$ is a continuous mapping of the disc into the plane and $y \in P$) is the main topic of Part II. Before stating and proving the appropriate theorems, the notions of continuity, compactness, connectedness, winding number, etc., are discussed in a leisurely and instructive manner.
Highlights of the book other than the main results mentioned above are the fundamental theorem of algebra, Brouwer’s fixed-point theorem, the Borsuk-Ulam antipodal mapping theorem, the ham-sandwich-theorem and some “pancake problems” (e.g., two perpendicular cuts can be made so as to divide a pancake into four parts of equal area). »
À recommander aux débutants.
(1966). Algebraic topology, McGraw-Hill Book Co., New York-Toronto, Ont.-London, RIS, BibTeX.
Ah « le Spanier » ! Le collaborateur d’Henri Paul qui écrit ces lignes se souvient que lorsqu’il était étudiant cette référence était en quelque sorte un passage obligé. La lecture n’en est pas facile, mais la précision est extrême. Aujourd’hui encore, ce livre peut être considéré comme un livre de référence beaucoup plus qu’un manuel pédagogique.Le review de ce livre par S.-T. Hu décrit parfaitement ce livre important :
« This is a new attempt to squeeze a huge amount of algebraic topology into a single volume. [...] The present book covers categories, functors, the fundamental group, covering spaces, fibre bundles, polyhedra, simplicial and general homology and cohomology theories, multiplicative cohomology structure, cohomology operators, duality theorems, homological algebra, homotopy theory, spectral sequences, sheaf theory, together with preliminary material on set theory, general topology, groups, modules, and Euclidean spaces. The extensive coverage is achieved naturally by extreme condensation in both formulations and proofs. It is readable to those who are willing and able to verify all of the briefly sketched arguments and who can retain all the concepts and results that have been given previously. Other readers may easily get lost. »
(1966). Homology theory : A first course in algebraic topology, Holden-Day, Inc., San Francisco, Calif.-London-Amsterdam, RIS, BibTeX.
Il s’agit encore d’un livre typique de son époque qui cherche à utiliser l’aspect axiomatique. Dans l’introduction, on lit :
« The origin of the present book was an effort, on the part of the author, to teach algebraic topology, completely avoiding classical simplicial homology theory. »L’esprit de ce livre est donc radicalement différent de celui de ce site, qui cherche au contraire à présenter le plus de points de vue possibles.
(1966). Combinatorial group theory : Presentations of groups in terms of generators and relations, Interscience Publishers [John Wiley & Sons, Inc.], New York-London-Sydney, RIS, BibTeX.
Peut-être plus d’une très grande fraîcheur, mais reste un livre extraordinaire qui présente un état des lieux de la théorie combinatoire des groupes, en 1966. Le groupe fondamental d’un CW complexe fini est un groupe de présentation finie et il est donc indispensable de comprendre comment on peut trouver des informations en pratique sur un groupe à partir d’une présentation. Depuis cette époque, la théorie « géométrique » des groupes a fait de grands progrès, en particulier grâce à l’introduction par M. Gromov des groupes hyperboliques.
(1967). Homology of cell complexes, Based on lectures by Norman E. Steenrod. Princeton University Press, Princeton, N.J. ; University of Tokyo Press, Tokyo, RIS, BibTeX.
Voici le premier paragraphe du review de C.M. Maylor :
« These notes are a self-contained exposition of the homology theory of cell complexes. The approach is elementary, detailed, and concrete ; only a knowledge of general point set topology is presumed. »
(1967). Simplicial objects in algebraic topology, collection « Van Nostrand Mathematical Studies, No. 11 », D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, N.J.-Toronto, Ont.-London, RIS, BibTeX.
Il ne faut pas chercher de points communs avec ce site. Les buts sont différents.
(1967). Calculus of fractions and homotopy theory, collection « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35 », Springer-Verlag New York, Inc., New York, RIS, BibTeX.
Il s’agit d’un livre extrêmement abstrait présentant la théorie de l’homotopie en termes de catégories, donc bien éloignés du point de vue original de Poincaré. Même si l’intérêt d’une telle approche est indiscutable, elle n’est peut-être pas recommandée aux débutants. Le collaborateur de Henri Paul qui écrit ces lignes se souvient douloureusement de son premier contact avec la topologie algébrique, dans ce livre, alors qu’il était étudiant en maîtrise...
(1967). Lectures on algebraic topology, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, RIS, BibTeX.
Un bon compromis en peu de pages. Excellent pour un cours d’introduction au niveau M2 (opinion du rédacteur de ce commentaire, qui a en effet utilisé ce livre comme un « textbook » à ce niveau, il y a longtemps). Cette opinion est confirmée par le fait qu’une deuxième édition a été réalisée bien plus tard. Plus algébrique que topologique et peu d’exemples concrets.
(1967). Convex polytopes, collection « Pure and Applied Mathematics, Vol. 16 », With the cooperation of Victor Klee, M. A. Perles and G. C. Shephard. Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York, RIS, BibTeX.
Depuis sa publication, ce manuel est resté un ouvrage de référence sur la structure des polyèdres convexes. On y trouve entre autres une preuve faite sans topologie algébrique de la formule d’Euler pour les polyèdres convexes de dimension quelconque, ainsi que du théorème de Steinitz caractérisant les graphes formés par les arêtes d’un polyèdre convexe de dimension $3$ comme étant les graphes planaires triplement connexes. Vu l’importance des polyèdres convexes dans les constructions de Poincaré, nous avons considéré qu’il était raisonnable d’inclure cette référence dans notre liste.
(1968). Singular points of complex hypersurfaces, collection « Annals of Mathematics Studies, No. 61 », Princeton University Press, Princeton, N.J. ; University of Tokyo Press, Tokyo, RIS, BibTeX.
Sans originalité, on peut énoncer que Milnor $\implies$ excellent. Sur beaucoup d’aspects, ce livre n’a pas été amélioré. Une « hypersurface complexe » a localement une équation de la forme $F=0$ où $F$ est une fonction analytique définie dans un voisinage de l’origine de ${\bf C}^n$. Milnor décrit la topologie locale des niveaux de $F$ en introduisant des concepts fondamentaux : nombres de Milnor, fibration de Milnor etc. L’intérêt de Milnor pour ce sujet a été déclenché par la découverte de Brieskorn que les « bords » de certaines hypersurfaces de ce type étaient des « sphères exotiques » (voir à ce sujet l’article de Brieskorn de 2000 cité dans notre liste de Textes fondateurs ou de survol).
(1968). Algebraic topology, Translated from the German by Leo F. Boron, Samuel D. Shore, James J. Andrews, Harry F. Joiner, II, Robert C. Moore and Kyoshi Iséki. Frederick Ungar Publishing Co., New York, RIS, BibTeX.
Se limite aux complexes simpliciaux, à l’homologie simpliciale. Pas de groupe fondamental et pas de variétés.
(1969). Cours de C3 : Algèbre et géométrie : groupe fondamental, revêtements (cours de M. Cartan, Paris, année 1968-69), collection « Publications Mathématiques d'Orsay » (http://sites.mathdoc.fr/PMO/afficher_notice.php?id=PMO_1969_A6), RIS, BibTeX.
Henri Cartan a été directeur des études de l’ENS Ulm pendant de nombreuses années. Son influence sur toute une génération de jeunes mathématiciens français a été considérable. Il est donc intéressant de lire ce qu’il considérait comme suffisamment important en topologie algébrique pour l’inclure dans un cours de maîtrise que presque tous les étudiants normaliens étaient tenus de suivre.Le secrétaire de Henri Paul qui écrit cette ligne était étudiant lors des derniers cours de Cartan, en 1974. En relisant ces notes dactylographiées, il se souvient que ce cours n’était pas facile du tout, et même très difficile. Souvenirs, souvenirs... Et pourtant, aujourd’hui, il a envie de qualifier ces notes d’élémentaires !
Parmi les qualités de ces notes de cours, on remarquera la présentation du groupe fondamental, qui passe d’abord par le groupoïde fondamental. Pas étonnant de la part d’un membre du groupe Bourbaki.
(1969). Lectures on introduction to algebraic topology, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, RIS, BibTeX.
Il s’agit d’un livre relativement élémentaire qui se démarque de ses prédécesseurs par le fait qu’il discute en détail d’un grand nombre d’exemples, tout particulièrement en dimension 3, comme dans ce site. On y présente les colliers d’Antoine, la sphère cornue, le groupe fondamental du complémentaire d’un nœud, et la construction de sphères d’homologie.
(1969). Introduction to algebraic topology, Translated from the notes of Armin Thedy and Hel Braun by Erik Hemmingsen. Charles E. Merrill Publishing Co., Columbus, Ohio, RIS, BibTeX.
Approche fonctorielle, aucune figure. Un livre des sixties !
1970
(1970). Algebraic topology : Homology and cohomology, W. A. Benjamin, Inc., New York, RIS, BibTeX.
L’un des premiers livres « modernes » qui contient à la fois des figures et des démonstrations précises.
Une synthèse qui aurait plu à Fréchet. À la fin du livre, dans une section recommandant des « further readings », l’auteur recommande deux livres bien différents, cités ci-dessus : Eilenberg-Steenrod et Hilton.
(1971). Categories for the working mathematician, Springer-Verlag, New York-Berlin, RIS, BibTeX.
Un livre de référence, cité plus de 1400 fois jusqu’en 2016 ! Bien entendu, très éloigné de ce site.
(1971). Topologie des surfaces, Presses Universitaires de France, Paris, RIS, BibTeX.
Fonctions de Morse, classification des surfaces, groupe fondamental, théorème de van Kampen.Petit livre très efficace.
Le rédacteur de ces lignes a appris le théorème de van Kampen dans ce livre.
(1971). Éléments de topologie algébrique, Hermann, Paris, RIS, BibTeX.
Il s’agit d’un livre efficace qui ne cherche pas le formalisme et qui ne contient pas toutes les preuves des théorèmes énoncés. Voici un extrait du review écrit par J. F. Adams :
« The author aims to give an introduction to algebraic topology ; he aims to avoid spending too much time on setting up elaborate theories (for example, homology theory) ; he prefers to concentrate on a few topics chosen to develop the student’s geometrical intuition and lead him directly to some key ideas of the subject. The topics chosen are (briefly) the fundamental group, covering spaces and de Rham cohomology. »Plus loin :
« [...] the writing mostly shows the commendable lucidity of the French school. The examples show a breadth of vision, and a concern for topics that are important to the rest of mathematics. »
(1972). Topologie algébrique élémentaire, Armand Colin, Paris, RIS, BibTeX.
Un cours de maîtrise des années 70, époque "des maths modernes". Le point de vue est celui des catégories, des diagrammes cartésiens et cocartésiens etc.
(1972). Seifert manifolds, collection « Lecture Notes in Mathematics 291 », Springer-Verlag, Berlin-New York, RIS, BibTeX.
Les variétés de dimension 3 qui sont des fibrés de Seifert sont parmi les plus simples à décrire et on peut atteindre une classification combinatoire complète. C’est le but de ce livre. Au début des années 70, on avait bien conscience que le monde des variétés de dimension 3 est trop vaste et il était rassurant d’en explorer une toute petite région....
(1972). Algebraic topology, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., RIS, BibTeX.
Quatre théories homologiques traitées en détail et comparées : simpliciale, singulière, Čech, et cellulaire. Le review écrit par Bredon n’est pas très charitable :-)
(1972). Lectures on algebraic topology, Springer-Verlag, New York-Berlin, RIS, BibTeX.
Extrait du review de S.-K. Kim :
« This is essentially a book on singular homology and cohomology with special emphasis on products and manifolds. It does not treat homotopy theory except for some basic notions, some examples, and some applications of (co-)homology to homotopy.This is an excellent book, useful in many ways for capable students with a strong undergraduate background, who would find the book an excellent introduction to algebraic topology. »
(1972). Algebraic topology—a student’s guide, Cambridge University Press, London-New York, RIS, BibTeX.
Il s’agit d’une sélection de quelques textes importants (à l’époque) de topologie algébrique, pour permettre à l’étudiant de pénétrer rapidement dans le sujet.
(1972). Introduction to piecewise-linear topology, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, RIS, BibTeX.
Extrait du review de R. Kirby :
« This is a basic text in piecewise-linear topology, comparable to the books of E. C. Zeeman [Seminar on Combinatorial Topology (mimeographed), Inst. Hautes Études Sci., Paris, 1963], J. F. Hudson [Piecewise linear topology, Benjamin, New York, 1969], J. R. Stallings [Lectures on polyhedral topology, Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1967] and L. C. Glaser [Geometrical combinatorial topology, Vol. I, Van Nostrand Reinhold, New York, 1970 ; Vol. II, 1972]. »Contient en particulier des versions linéaires par morceaux de la théorie des décomposition en anses des variétés et des preuves des théorèmes du h-cobordisme et du s-cobordism.
(1973). Homology theory, Academic Press, New York-London, RIS, BibTeX.
Une présentation élémentaire de l’homologie, à travers la théorie singulière. Ce livre est en quelque sorte analogue à celui de Greenberg. Il faut noter cependant l’absence du groupe fondamental.
(1974). Differential topology, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., RIS, BibTeX.
L’un des meilleurs manuels de topologie différentielle, au niveau M1. À recommander aux enseignants.
(1974). Braids, links, and mapping class groups, collection « Annals of Mathematics Studies 82 », Princeton University Press, Princeton, N.J. ; University of Tokyo Press, Tokyo, RIS, BibTeX.
Un ouvrage important, écrit dans le style de l’époque, développant les fondements de la théorie des tresses. On dispose aujourd’hui de traités plus modernes (et plus longs), comme le « primer » de Farb et Margalit de 2012, cité plus bas.
(1974). Characteristic classes, Princeton University Press, Princeton, N. J. ; University of Tokyo Press, Tokyo, RIS, BibTeX.
Grand classique, recommandé à tous ! Il suffit de citer la conclusion du review écrit par Hirzebruch :
« Das Buch wird noch für viele Jahre für jeden Studenten der Topologie unentbehrlich sein. »Il s’agit d’une introduction à la théorie des classes caractéristiques de Stiefel-Whitney, Chern, Pontrjagin et au théorème de la signature de Hirzebruch. On y trouvera en appendice des présentations élégantes des nombres de Bernoulli et du lien entre classes caractéristiques et connexions sur les fibrés vectoriels.
(1975). Applications of algebraic topology, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, RIS, BibTeX.
Voici le review de P. Orlik :
« This is posthumous volume completed shortly before the death of one of the greatest mathematicians of our time. The book is based on lectures given in the Princeton University School of Engineering and Applied Science. It makes an effort to be self-contained in its treatment of topology. Thus Part I, which contains essentially a discussion of graphs, 2-complexes and orientation of 2-manifolds, occupies more than half the volume. The treatment is “original Lefschetz” : none of the cut-and-dry theorem-proof presentation, but many curious side remarks and brilliant flashes. Part II consists of a description of the Picard-Lefschetz theory and an introduction to Feynman integrals. This appears to be an attempt to analyze Pham’s thesis. Unfortunately, only 25 pages of incomplete exposition are devoted to Feynman integrals and Landau singularities. The reader who wants to learn more should consult the work of F. Pham Introduction à l’étude topologique des singularités de Landau, Gauthier-Villars, Paris, 1967. »
(1975). Algebraic topology—homotopy and homology, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, RIS, BibTeX.
Un livre consacré à la théorie abstraite discutant en particulier de l’algèbre de Steenrod, des suites spectrales d’Adams, et des groupes de cobordisme.À noter le chapitre 12 consacré au bordisme.
(1976). A geometric approach to homology theory, collection « London Mathematical Society Lecture Note Series, No. 18 », Cambridge University Press, Cambridge-New York-Melbourne, RIS, BibTeX.
Extrait du review de W. Metzler :
« The singular $n$-cycles of a topological space $X$ can be considered as maps $f:P \to X$, where $P$ is a closed oriented pl n-manifold with a codimension 2 singularity. Two such maps (P,f), (Q,g) are homologous if they are bordant. The central idea of this book is to treat any homology theory as a generalized bordism theory. Its cycles are manifolds with singularities depending on the theory. As cocycles one uses mock bundles with the same “manifolds” as fibres. »
(1976). Algebraic topology : a first course, collection « Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, No. 32 », Marcel Dekker, Inc., New York—Basel, RIS, BibTeX.
Extrait du review de Konrad Drechsler :
« The fact that this book places geometical considerations first, and emphasizes the historical development, make it a valuable reference. In the first chapter some old topological problems are considered as, e.g., the Descartes-Euler theorem, coloring of graphs and the Jordan curve theorem. Homology theory is defined in this book on the basis of simplicial complexes only. The second and fourth chapters introduce simplicial complexes and the homology of complexes. In Chapter 3 the classification of surfaces is given. Chapters 6 and 7 present applications of homology as, e.g., Euler’s theorem, Brouwer’s fixed point theorem, the Borsuk-Ulam theorem, maps of spheres, solvability of equations, complex analysis, Jordan curve theorem. »
(1976). Differential topology, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, RIS, BibTeX.
Un textbook célèbre, qui a rendu de grands services. Peu de pages mais contient beaucoup, comme par exemple les théorèmes de transversalité de Thom. Bien sûr, il serait difficile de le recommander aujourd’hui à un débutant, mais il conserve beaucoup de charme.
(1976). 3-Manifolds, Princeton University Press, Princeton, N. J. ; University of Tokyo Press, Tokyo, RIS, BibTeX.
Une présentation générale de ce qu’on connaissait de la topologie de dimension 3 avant que Thurston ne change le point de vue...
(1976). Surfaces, Cambridge University Press, Cambridge-New York-Melbourne, RIS, BibTeX.
De manière étonnante, les livres qui se consacrent à la topologie des surfaces sont relativement peu nombreux. C’est étonnant, car les surfaces sont au cœur de la topologie... Bien sûr, ces livres existent ! Et celui-ci en est un excellent exemple.
(1976). Knots and links, Publish or Perish, Inc., Berkeley, Calif., RIS, BibTeX.
Magnifique !Pendant longtemps la meilleure référence en théorie des nœuds. Bien sûr bien des progrès ont été faits depuis 1976, mais ce livre garde tout son intérêt pour le débutant.
On y découvre les surfaces de Seifert, les revêtements cycliques et les invariants algébriques qui leur sont associés.
(1997). Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1, collection « Princeton Mathematical Series 35 », Princeton University Press, Princeton, NJ, ISBN: 0-691-08304-5, RIS, BibTeX.
Il s’agit d’une mise en forme des fameuses « Notes de Thurston » datant de 1976, qui ont été si importantes dans le développement de la topologie dans le dernier quart du vingtième siècle. L’idée majeure est d’étudier la topologie des variétés de dimension 3 à travers la géométrie hyperbolique.Le style de rédaction, centré sur l’intuition, rompt avec les manuels précédents.
Hautement recommandé par Henri Paul.
(1977). Foundational essays on topological manifolds, smoothings, and triangulations, Princeton University Press, Princeton, N.J. ; University of Tokyo Press, Tokyo, RIS, BibTeX.
Établit les fondements pour la théorie de la différence entre la catégorie des variétés continues vues à homéomorphisme près et celle des variétés différentiables vues à difféomorphisme près. Difficile !
(1977). Geometric topology in dimensions $2$ and $3$, collection « Graduate Texts in Mathematics, Vol. 47 », Springer-Verlag, New York-Heidelberg, RIS, BibTeX.
Extrait du review de John G. Hocking :
« Precision and elegance are not unexpected from the author, of course, and this book might well serve as a model of mathematical exposition. It almost succeeds in breathing life back into the decade 1948–1958. That was an exciting era and it is fascinating to watch it unfold again, revised and improved by one of the original designers. In short, then, the reviewer found this to be a superlatively well-written and enjoyable book. »Il s’agit sans aucun doute de la meilleure référence pour les théorèmes selon lesquels les variétés topologiques de dimension 2 et 3 sont triangulables, et admettent une unique structure différentiable.
(1977). Introduction à la théorie homologique de la dimension et la topologie combinatoire, Éditions Mir, Moscow, RIS, BibTeX.
Certainement un peu vieillot, mais un document historiquement important.
(1977). Graphs, surfaces and homology, Chapman & Hall, London-New York, ISBN: 0-412-23900-0, RIS, BibTeX.
Un livre très élémentaire, qui ne va pas au delà des surfaces, mais qui est remarquablement écrit pour les débutants. Après tout, une grande partie de la topologie concerne les surfaces, soit comme objets d’étude, soit comme outil pour analyser des espaces plus compliqués.
(1977). Algebraic topology : an introduction, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, RIS, BibTeX.
Il s’agit d’un grand classique, tout à fait utilisable par un étudiant d’aujourd’hui. Il couvre en grand détail la classification topologique des surfaces compactes, ainsi que la théorie du groupe fondamental et des revêtements.
Un livre remarquable, très concret.
(1978). Homology and cohomology theory, Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, ISBN: 0-8247-6662-8, RIS, BibTeX.
Dans ce site, nous avons discuté de plusieurs approches pour l’homologie : singulière, simpliciale, de de Rham etc. Il y en a d’autres, qui sont intéressantes dans d’autres contextes, tout particulièrement pour des espaces quelconques qui peuvent être pathologiques. L’une des approches est la cohomologie d’Alexander-Spanier. C’est le thème de ce livre.
(1978). Basic concepts of algebraic topology, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, ISBN: 0-387-90288-0, RIS, BibTeX.
Livre élémentaire, qui discute de groupe fondamental, revêtements, homologie. « One semester introduction to algebraic topology at the undergraduate level. »
(1978). Elements of homotopy theory, collection « Graduate Texts in Mathematics 61 », Springer-Verlag, New York-Berlin, ISBN: 0-387-90336-4, RIS, BibTeX.
Un grand classique... pas élémentaire du tout. Ne s’adresse pas aux débutants. Le review de B. Gray met en garde :
« “It is a book where you can find all the things that aren’t done anywhere else.” And there are 744 pages. »Il n’empêche qu’il s’agit d’un livre important. Des versions préliminaires datent des années 1950.
(1978). Principles of algebraic geometry, Wiley-Interscience, New York, ISBN: 0-471-32792-1, RIS, BibTeX.
Ce livre est devenu dès sa parution la référence de base sur les propriétés, en particulier topologiques, des variétés algébriques complexes. Il réalise un excellent équilibre entre la théorie et les exemples.
(1979). Seifert fibered spaces in 3-manifolds, collection « Memoirs of the AMS 21, No. 220 », AMS, RIS, BibTeX.
Voici le premier paragraphe du review de H. M. Hilden :
« Some optimistic low-dimensional topologists believe that, in the not too distant future, the closed three-manifolds will be classified up to homeomorphism. If it works out this way, then the results contained in this carefully written, illuminating book will play an important role in the classification scheme. »
Hilden avait raison ! Ce travail de Jaco-Shalen qui, combiné à celui de Johannson qui suit, forme « la théorie de Jaco-Shalen-Johannson », constitue la base du programme de Thurston de classification des variétés de dimension $3$ à homéomorphisme près. Les travaux de Perelman de 2002-2003 ont achevé ce programme.
(1979). Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries, collection « Lecture Notes in Mathematics 761 », Springer, Berlin, ISBN: 3-540-09714-7, RIS, BibTeX.
L’état de l’art en dimension 3, avant les méthodes « à la Thurston ». Discute en profondeur des variétés dites « de Haken », qui sont précisément celles pour lesquelles Thurston réussit à faire marcher son programme, avant qu’il ne soit achevé par Perelman.
(1979). Travaux de Thurston sur les surfaces, collection « Astérisque », Société Mathématique de France, Paris, RIS, BibTeX.
(2012). Thurston’s work on surfaces, collection « Mathematical Notes », Princeton University Press, Princeton, NJ, ISBN: 978-0-691-14735-2, RIS, BibTeX.
Il s’agit de la rédaction d’un séminaire qui a eu lieu à Orsay en 1979 et qui exposait systématiquement les travaux de Thurston sur les classes d’isotopie des homéomorphismes des surfaces. On y voit apparaître les feuilletages mesurés, l’espace de Teichmüller et sa compactification etc. C’est un livre important qui n’a pas vieilli.
(1979). A combinatorial introduction to topology, W. H. Freeman and Co., San Francisco, Calif., ISBN: 0-7167-0083-2, RIS, BibTeX.
Extrait du review :
« This enjoyable little book is a beginning text in algebraic topology. It covers a number of the basic topics such as the Euler characteristic, Sperner’s lemma, the Brouwer fixed point theorem, the Jordan curve theorem, the classification theorem for surfaces, map coloring, simplicial homology theory, and the Lefschetz fixed point theorem. Except for several brief discussions of 3-manifolds, the author restricts his attention to 2-dimensional complexes. »Oui, très enjoyable !
(1979). Basic topology, McGraw-Hill Book Co. (UK), Ltd., London-New York, ISBN: 0-07-084090-3, RIS, BibTeX.
Un très bon livre, à un niveau « undergraduate ». Les éléments de base sur les surfaces, le groupe fondamental etc.
1980
(1980). Lectures on three-manifold topology, collection « CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 43 », AMS, Providence, R.I., ISBN: 0-8218-1693-4, RIS, BibTeX.
Voici un extrait du review de G. Scott :
« The author’s theme is the key role played by incompressible surfaces and hierarchies in the study of 3-manifolds. The notes fall naturally into two halves—the first half, in which the author discusses results which are mostly well known, and a harder second half, in which he discusses the theory of characteristic submanifolds of Haken manifolds. »
(1980). Singular homology theory, collection « Graduate Texts in Mathematics », Springer-Verlag, New York-Berlin, ISBN: 0-387-90456-5, RIS, BibTeX.
Comme le titre l’indique, il s’agit d’un livre centré sur l’homologie singulière, qui n’est peut-être pas la porte d’entrée la plus facile pour la topologie algébrique.
(1980). Topologie, Springer-Verlag, Berlin-New York, ISBN: 3-540-10183-7, RIS, BibTeX.
Un livre qui donne une grande importance aux motivations. Extrait du review de R. Holzsager :
« Although the book starts from scratch, the author does not hesitate to use examples before a beginning reader could be expected to follow them completely (e.g., the Thom space of a vector bundle is given as an example of a quotient space in Chapter III, while vector bundles are not actually defined until Chapter VIII). For readers with some sophistication, this is likely to keep the book interesting ; those closer to the beginner level may nevertheless gain familiarity through osmosis with topics they would not see so soon in a more formal presentation. »
(1980). A first course in algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge-New York, ISBN: 0-521-23195-7, RIS, BibTeX.
Il s’agit en effet d’un « first course » qui se limite pour l’essentiel au groupe fondamental. Une introduction élémentaire à la théorie des nœuds.
(1980). Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge-New York, ISBN: 0-521-23161-2, RIS, BibTeX.
Un manuel standard. Groupe fondamental, classification des surfaces, homologie, dualité.
(1980). Surfaces and planar discontinuous groups, collection « Lecture Notes in Mathematics 835 », Springer, Berlin, ISBN: 3-540-10024-5, RIS, BibTeX.
Extrait du review de David Singerman :
« This book is written from an elementary viewpoint, and much of it will be accessible to students who have had basic courses in group theory and topology. It will therefore be useful to beginning research students. The chapters are as follows. 1. Free groups and graphs. 2. Two-dimensional complexes and combinatorial presentations of groups. 3. Surfaces. 4. Planar discontinuous groups. 5. Automorphisms of planar groups. 6. On the complex analytic theory of Riemann surfaces and planar discontinuous groups. 7. On the topological theory of surfaces. [...]One of the central topics of the book is Nielsen’s theorem that every automorphism of the fundamental group of a compact orientable surface is induced by a homeomorphism of the surface. »
(1981). Rational homotopy theory and differential forms, collection « Progress in Mathematics », Birkhäuser, Boston, Mass., ISBN: 3-7643-3041-4, RIS, BibTeX.
Il s’agit d’un cours destiné à présenter la théorie de l’homologie rationnelle de Sullivan. Pour simplifier, le théorème principal est une vaste généralisation du théorème de De Rham : l’algèbre différentielle des formes différentielles permet de calculer de manière totalement algébrique le « type d’homotopie rationnelle » qui contient bien plus d’informations que la simple cohomologie. Le style du livre est très informel. La première partie du livre est un cours rapide de topologie algébrique, pas toujours précis, mais remarquablement efficace.
(1982). Ebene algebraische Kurven., Birkhäuser Basel-Boston, ISBN: 3-7643-3030-9, RIS, BibTeX.
(1986). Plane algebraic curves, Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel. Réédition en 2012 dans Modern Birkhäuser Classics, ISBN: 978-3-0348-0492-9 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-5097-1), RIS, BibTeX.
Un régal. Les auteurs se font plaisir à expliquer leur compréhension historique de la topologie des courbes algébriques. Les illustrations abondent, même si toutes les démonstrations ne sont pas présentes.
Henri Paul aime beaucoup l’esprit général de ce livre.
(1982). Surface topology, collection « Ellis Horwood Series : Mathematics and its Applications », Ellis Horwood Ltd., Chichester ; Halsted Press [John Wiley & Sons, Inc.], New York, ISBN: 0-85312-483-3, RIS, BibTeX.
Un joli livre à propos de la classification des surfaces.Élémentaire.
(1982). Naglyadnaya topologiya, collection « Bibliotechka Kvant », Nauka, Moscou, RIS, BibTeX.
(1986). Anschauliche kombinatorische Topologie, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, ISBN: 3-528-08974-1 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-322-87601-0), RIS, BibTeX.
(2001). Intuitive combinatorial topology, collection « Universitext », Springer-Verlag, New York, ISBN: 0-387-95114-8, RIS, BibTeX.
Un très beau livre dont l’esprit est assez proche de ce site. Extrait de l’introduction :
« The famous German mathematician Hermann Weyl said that “the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain”. He thus pointed out the remarkable subtlety and beauty of topology [...]. However, it is difficult to enter the magical world of topology. Just as the scaffolding surrounding an unfinished building prevents one from perceiving the beauty of its design, so too the many tiresome details of the theory that fill books on topology prevent one from seeing with the mind’s eye this beautiful mathematical structure. Even professional mathematicians often give up rather than face the difficulties barring the way to the mastery of topology (especially algebraic topology, whose elements are dealt with in the third chapter of this book). All this makes it imperative to write popular books on topology... »
(1982). Differential forms in algebraic topology, collection « Graduate Texts in Mathematics », Springer-Verlag, New York-Berlin, ISBN: 0-387-90613-4, RIS, BibTeX.
Comme le titre l’indique, ce livre se concentre sur l’usage des formes différentielles en topologie algébrique. Évidemment le héros principal est le théorème de de Rham, présenté de manière remarquablement claire. On trouve également des présentations lucides des classes caractéristiques. Un livre qui n’a pas d’analogue et qui est d’une grande utilité pour le débutant.
(1982). Géométrie contemporaine. Méthodes et applications. I, II, “Mir”, Moscow, RIS, BibTeX.
Il est dangereux d’utiliser « contemporain » dans le titre d’un livre qui existera encore quelques décennies plus tard ! Ces livres n’ont pas vieilli.L’un des intérêts principaux de cette approche, au delà de la multitude d’exemples, est le lien permanent avec la physique. Le rédacteur de ce commentaire se souvient avec plaisir avoir lu ces livres lorsqu’il était étudiant. Encore recommandable aujourd’hui pour des débutants.
(1983). Lectures on Seifert manifolds, collection « Brandeis Lecture Notes 2 », Brandeis University, Waltham,MA (http://www.math.columbia.edu/~neumann/preprints/neumann_lectures%20on%20seif (...)), RIS, BibTeX.
Voici un extrait du review de Christopher W. Stark :
« These notes, based on lectures of Neumann, are an introduction to the topology and classification of Seifert-fibered 3-manifolds. Lens spaces and Brieskorn complete intersections are studied as examples of Seifert manifolds, plane crystallographic groups are surveyed, and particular attention is paid to the fundamental group and Euler number as invariants of Seifert fiberings. One of Neumann’s contributions [...] is included as an appendix ; here geometric structures associated to the induced Seifert-fibered structure on the link of a normal quasihomogeneous surface singularity are discussed (most proofs in this appendix are only sketched). These geometric structures belong to Thurston’s celebrated list of eight [...] and their natural association with the classification of singularities is gratifying. This set of notes emphasizes the geometry of the subject and may be recommended to the beginner in Seifert manifolds. »
(1983). The geometric topology of 3-manifolds, collection « American Mathematical Society Colloquium Publications 40 », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-1040-5, RIS, BibTeX.
Voici un extrait du review de J.E. Keesling :
« This book is a classic in the study of the geometric topology of $3$-manifolds. Virtually everything that is known about $3$-manifolds from the standpoint of geometric topology is included here. One has wild surfaces, the Schoenflies theorem, triangulation, Dehn’s lemma, the shrinking criterion, linking, the loop theorem, covering spaces, as well as the important side approximation theorem. Many of these results are applications of the side approximation theorem. »
(1984). Elements of algebraic topology, Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, CA, ISBN: 0-201-04586-9, RIS, BibTeX.
Ce livre traite d’homologie simpliciale et singulière et de leur identification. Les axiomes d’Eilenberg-Steenrod y jouent un grand rôle. Il se limite à l’homologie et ne discute pas la théorie de l’homotopie.
(1984). Beginner’s course in topology, collection « Universitext », Springer-Verlag, Berlin, ISBN: 3-540-13577-4 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-61755-3), RIS, BibTeX.
Voici un extrait du review de J.F. Adams :
« The book is easy to read. [...] Many examples are included in the text and at some places indications of results not covered by the book are given. Each section is followed by a set of exercises. Clearly, the book is a first-year graduate text for students oriented towards the advanced theory of differentiable manifolds. »
(1985). The shape of space, collection « Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 96 », Marcel Dekker, Inc., New York, ISBN: 0-8247-7437-X, RIS, BibTeX.
Voici un extrait du review de T. Banchoff :
« This book provides an introduction to the geometry and topology of two- and three-dimensional manifolds assuming a minimal amount of mathematical background. It includes a collection of illustrations, examples and exercises which lead the reader from familiar geometry in the plane to an appreciation of the homogeneous 3-dimensional geometries appearing in Thurston’s work, and finally to consideration of the shape of the physical universe. All students of topology will enjoy this book. »
(1985). Knots, collection « de Gruyter Studies in Mathematics 5 », Walter de Gruyter & Co., Berlin, ISBN: 3-11-008675-1, RIS, BibTeX.
Extrait du review de J.A. Hillman :
« When D. Rolfsen’s book Knots and links appeared in 1976 it became the standard work on knot theory, and for many their introduction to geometric topology. Rolfsen viewed knots and links as key examples in 3-manifold topology, and emphasized the technique of surgery, which leads naturally to higher-dimensional considerations. The present authors have produced an excellent text which is quite different from that of Rolfsen, despite sharing much of its material. Their book concentrates on classical knots and is somewhat more combinatorial and less geometric in tone. »
(1986). À la recherche de la topologie perdue, collection « Progress in Mathematics 62 », Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, ISBN: 0-8176-3329-4, RIS, BibTeX.
Extrait du review de C.W. Stark :
« The editors have performed two valuable services to readers interested in the geometric topology of 4-manifolds by giving an exposition of Rokhlin’s celebrated theorem on signatures of smooth, simply-connected, spin closed 4-manifolds and by putting into print some seminal, hitherto unpublished work of Casson and Gordon. »Valuable, mais... pas facile.
(1987). Classical tessellations and three-manifolds, collection « Universitext », Springer-Verlag, Berlin, ISBN: 3-540-15291-1, RIS, BibTeX.
Extrait du review de R. Fenn :
« The contents of the book given by chapter titles are (1)
$\mathbb{S}^1$-bundles over surfaces. (2) Manifolds of tessellations in the Euclidean plane. (3) Manifolds of spherical tessellations. (4) Seifert manifolds. (5) Manifolds of hyperbolic tessellations. There are also two appendices : (A) on orbifolds and (B) on the hyperbolic plane. The book is written in a readable style with many examples and clear diagrams together with three pages of colour photographs—mineral crystals and tessellations from the Alhambra. »
(1987). On knots, collection « Annals of Mathematics Studies », Princeton University Press, Princeton, NJ, ISBN: 0-691-08434-3, RIS, BibTeX.
Henri Paul aime bien ce livre, qui ressemble parfois à une bande dessinée.
(1987). A topological picturebook, Springer-Verlag, New York, ISBN: 0-387-96426-6, RIS, BibTeX.
Pas tout à fait un livre de mathématiques. Plutôt un livre d’images qui sera utile à tous les topologues, et en particulier aux débutants.Extrait du review de D. Auckly :
« It is a Martin Gardner-type exposition on modern topology. It is a mathematics book loaded with pictures. It is at an undergraduate level, and it should be an enjoyable book. »
(1988). An introduction to algebraic topology, collection « Graduate Texts in Mathematics », Springer-Verlag, New York, ISBN: 0-387-96678-1 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-4576-6), RIS, BibTeX.
Extrait du review de P.J. Kahn :
This book contains the material for a strong first-year course in algebraic topology. It is perhaps midway in completeness and degree of difficulty between the books by M. Greenberg and J. R. Harper Algebraic topology : a first course and E. Spanier Algebraic topology.
(1988). Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston, collection « London Mathematical Society Student Texts 9 », Cambridge University Press, Cambridge, ISBN: 0-521-34203-1 (http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511623912), RIS, BibTeX.
Extrait du review de William Dunbar :
« The authors’ goal is to prove that any homeomorphism of a closed surface with negative Euler characteristic is homotopic either to a homeomorphism of finite order, to a homeomorphism which leaves invariant some "essential’’ closed 1-submanifold, or to a homeomorphism which leaves invariant two (singular) foliations, each with a transverse measure, stretching one measure and shrinking the other by the same factor. [...]Though there are few formal prerequisites, a high level of mathematical maturity on the part of the reader is advisable. It would be an excellent choice for a graduate seminar. »
(1989). The topology of 4-manifolds, Lecture Notes in Mathematics 1374, Springer-Verlag, Berlin, ISBN: 3-540-51148-2 (http://dx.doi.org/10.1007/BFb0089031), RIS, BibTeX.
L’état de l’art juste avant la « révolution des théories de jauges » qui ont permis des résultats insoupçonnés jusque là. Ce livre contient de la « vraie » topologie, dont les fameux mouvements d’anses « de Kirby ».
Les manuels « d’aujourd’hui ».
C’est la période de la diversité, dans laquelle voisinent des traités abstraits d’algèbre homologique et des livres de topologie remplis de dessins. Cette diversité s’accompagne de l’explosion du nombre des publications mathématiques en général, si bien que la liste qui suit ne représente qu’une petite partie de la littérature en topologie algébrique, topologie géométrique ou dans des sujets reliés.
1990
(1990). Topology of 4-manifolds, collection « Princeton Mathematical Series 39 », Princeton University Press, Princeton, NJ, ISBN: 0-691-08577-3, RIS, BibTeX.
Extrait du review de I. Hambleton :
« Part I of this book gives a complete exposition of M. H. Freedman’s extraordinary work on topological embeddings of 2-dimensional disks in 4-manifolds. The presentation is detailed enough for use by graduate students and as a starting point for future research. The main result of this part is a replacement for the “Whitney trick” valid in dimension 4. [...] The aim of Part II is to develop the major applications of the disk embedding theorem to the structure of 4-manifolds, and to survey current knowledge. »
(1990). The geometry of four-manifolds, collection « Oxford Mathematical Monographs », The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, ISBN: 0-19-853553-8, RIS, BibTeX.
L’introduction par Donaldson des théories de jauges a révolutionné notre compréhension des variétés de dimension 4. Il s’agit là du premier manuel sur ce sujet.
(1990). Real algebraic and semi-algebraic sets, collection « Actualités Mathématiques », Hermann, Paris, ISBN: 2-7056-6144-1, RIS, BibTeX.
Une introduction à la géométrie et topologie des sous-ensembles algébriques réels (définis par des systèmes d’équations polynomiales) ou semi-algébriques réels (on permet aussi l’utilisation d’inéquations polynomiales) de $R^n$. Comme l’ouvrage se veut accessible aussi aux ingénieurs, il n’y a pas de théories très sophistiquées. Donc pas beaucoup d’homologie, mais juste ce qu’il faut pour prouver dans un appendice l’inégalité de Smith : la somme des nombres de Betti en homologie modulo $2$ d’un ensemble algébrique réel est inférieure ou égale à la somme analogue de son complexifié.Nous recommandons ce livre aux lecteurs dont la curiosité a été éveillée par notre article Topologie des courbes algébriques planes réelles.
(1992). Topology of real algebraic sets, collection « Mathematical Sciences Research Institute Publications 25 », Springer-Verlag, New York, ISBN: 0-387-97744-9, RIS, BibTeX.
Extrait du review de A. Tognoli :
« This book is almost entirely dedicated to the following problem : Give a topological characterisation of the real algebraic sets [...].[...] if $V$ is a real algebraic set and $S$ a closed algebraic subset, then $S$ can be contracted, algebraically, to a point. This can be called the contraction principle. In this context two interesting results, proved by the authors, are presented in this book : (1) a complete topological characterisation of real algebraic sets, with isolated singularities ; (2) the theorem that any compact PL manifold is homeomorphic to a real algebraic set.
To extend the above results to the general context, it is necessary to understand when a differentiable map between compact manifolds is equivalent to an algebraic map. This problem is open and it seems very difficult. So the theory created by the authors runs as follows : Let us suppose $X$ is a real algebraic set ; then, by Hironaka’s famous result, there exists a nice desingularisation $X_n \to X_{n−1} \to \cdots \to X_1 \to X_0=X$ that can be described using regular algebraic subsets. It follows that if $X$ is homeomorphic to a real algebraic set, then it has such a desingularisation. Conversely, if we start with a triangulated space $X$ that has a topological desingularisation that can be endowed with an algebraic structure, then $X$ itself has an algebraic structure, by a generalisation of the contraction principle.
The core of this book is the exposition of this, very technical, theory. The authors do not reach a complete topological characterisation of the family of real algebraic sets, except for the dimension $2$, but many partial results are obtained. »
Au passage, un peu d’homologie et de cobordisme sont utilisés. Les personnes ayant étudié les articles de notre site sont armées pour étudier ce livre.
(1992). Casson’s invariant for oriented homology $3$-spheres, collection « Mathematical Notes 36 », Princeton University Press, Princeton, NJ, ISBN: 0-691-08563-3, RIS, BibTeX.
Introduction à la théorie de l’invariant de Casson pour les sphères d’homologie entières de dimension $3$. L’invariant est construit à partir d’un scindement de Heegaard de la variété, en étudiant l’espace des représentations du groupe fondamental de la surface formant le bord commun des deux corps en anses dans le groupe $SU(2)$ des quaternions unitaires, et les sous-espaces des représentations qui s’étendent à l’un ou l’autre de ces corps en anses.
(1992). Singularities and topology of hypersurfaces, collection « Universitext », Springer-Verlag, New-York, ISBN: 0-387-97709-0 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-4404-2), RIS, BibTeX.
Permet de découvrir des applications des outils de topologie algébrique expliqués sur notre site à l’étude des intersections complètes à singularités isolées dans les espaces projectifs complexes.Extrait du review de A.G. Aleksandrov :
« One can divide this book into two parts. The first part [...] provides a detailed systematic description of the local topology associated with a hypersurface singularity. The author presents basic tools, methods and many results from the theory of affine hypersurfaces and resolution of singularities, the theory of knots and links, deformation theory and some other areas.[...] The main goal [of the second part] is to describe an approach to the computation of global topological invariants of complex algebraic hypersurfaces in projective or affine spaces based on knowledge of the local topological information of a singularity. First the author goes into the question of how one can compute the fundamental group of a hypersurface complement in a projective space. [...] At the beginning of the next chapter the cohomology structure of a smooth projective complete intersection is considered. The author then investigates the case of a complete intersection with isolated singularities [...]. »
(1992). Arrangements of hyperplanes, collection « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 300 », Springer-Verlag, Berlin, ISBN: 3-540-55259-6 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-02772-1), RIS, BibTeX.
Permet de découvrir des applications des outils de topologie algébrique expliqués sur notre site à l’étude des arrangements d’hyperplans dans des espaces affines ou projectifs.
(1992). An introduction to topology and homotopy, collection « The Prindle, Weber & Schmidt Series in Advanced Mathematics », PWS-KENT Publishing Co., Boston, MA, ISBN: 0-534-92960-5, RIS, BibTeX.
Un livre dont le but est relativement modeste : topologie générale, surfaces, revêtements et groupe fondamental. Il pourra être utile aux débutants.
(1992). Lectures on hyperbolic geometry, collection « Universitext », Springer-Verlag, New York, ISBN: 3-540-55534-X (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-58158-8), RIS, BibTeX.
Extrait du review de Colin C. Adams :
« This book is a welcome addition to the limited literature on hyperbolic manifolds. Since the mimeographed notes on a class taught by Thurston in 1978–79 spread through the topological community, the field of hyperbolic manifolds has seen a tremendous growth. [...] This new book is an advanced introduction to the field, in particular focusing on hyperbolic 3-manifolds and the work of Thurston, together with the related work of Gromov and Jørgensen. [...] This does mean that this book would probably be a difficult source from which to learn the material for the first time. »
Le lecteur qui désire « apprendre le matériel pour la première fois » pourrait commencer par le livre de Bonahon de 2009 cité plus bas.
(1993). Topology and geometry, collection « Graduate Texts in Mathematics 139 », Springer-Verlag, New York, ISBN: 0-387-97926-3 (https://people.math.osu.edu/davis.12/courses/6801-02/BredonGE-Topology_and_G (...)), RIS, BibTeX.
Extrait du review de D.W. Kahn :
« It is a pleasure to review an interesting and original graduate text in topology and geometry. The topics covered include some general topology, smooth manifolds, homology and homotopy groups, duality, cohomology and products. The text is somewhat informal with an occasional offering of two proofs of the same result. Some optional topics are marked with a star, but a good lecturer can use this text to create a fine course at the appropriate level. »
Parmi ces sujets optionnels, on trouve la convergence de Moore-Smith, les groupes de Lie classiques, la transversalité, la théorie de Thom-Pontrjagin, celle des formes différentielles sur les groupes de Lie compacts, les carrés de Steenrod, les classes de Steifel-Whitney et la théorie de l’obstruction.
(1993). Differential manifolds, collection « Pure and Applied Mathematics 138 », Academic Press, Inc., Boston, MA, ISBN: 0-12-421850-4 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/kosinski.pdf), RIS, BibTeX.
Extrait du review de I. Hambleton :
« The book under review takes the reader on a scenic tour of geometric topology from 1950–1970. The mathematics is beautiful and the exposition detailed and lively.The starting point is differentiable structures, vector bundles and tubular neighbourhoods followed by transversality and Morse theory, leading to handle decompositions of smooth manifolds and the h-cobordism theorem. Other high points of the tour include inspection of the groups θm of homotopy spheres, operations on framed manifolds with their connection to homotopy theory and the beginnings of surgery theory. »
(1993). Morse homology, collection « Progress in Mathematics », Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN: 3-7643-2904-1 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-8577-5), RIS, BibTeX.
L’ « homologie de Morse » est une théorie homologique qui travaille à partir d’un complexe de chaînes associé à une fonction de Morse. On pourrait penser qu’il ne s’agit que de la $(n+1)$-ème théorie homologique, mais son intérêt réside surtout dans le fait qu’elle se généralise naturellement aux variétés symplectiques, où le rôle de la fonction de Morse est remplacé par celui de l’action sur l’espace des lacets. Ce livre est l’un des premiers manuels de référence sur l’homologie de Morse.
(1994). Visual geometry and topology, Springer-Verlag, Berlin, ISBN: 3-540-53361-3 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-76235-2), RIS, BibTeX.
Pour ceux qui aiment les images, donc pour les topologues. Voici un extrait du review de N. V. Ivanov :
« In the preface to this book the author describes its nature as “a short ’diary’ ”. This remark is much more to the point than it appears at first sight. The choice of the material and the way it is presented are very idiosyncratic, especially in the second half of the book. Even more so are the graphic illustrations drawn by the author and included in special sections entitled “Visual material”. These graphic works belong to the fine arts much more than to mathematics and touch on a wide variety of non-mathematical ideas. »
(1995). Topology and combinatorics of 3-manifolds, collection « Lecture Notes in Mathematics 1599 », Springer-Verlag, Berlin, ISBN: 3-540-59063-3, RIS, BibTeX.
Extrait du review de C.C. Adams :
« In irreducible, simple (no essential annuli or tori), Haken (compact, containing an orientable incompressible nontrivial surface) $3-$manifolds, it is known that there are only finitely many non-isotopic incompressible surfaces of a given Euler characteristic and that all incompressible surfaces are constructable from a finite set. Haken asked whether any such results are possible for Heegaard surfaces in $3$-manifolds. The main result of this book is to prove that if $N$ is a Haken $3$-manifold with or without boundary, which does not contain a fibered submanifold X that has incompressible boundary in $N$ and that cannot be isotoped into $U( \partial N)$, then the set of all Heegaard surfaces in $N$ of given Euler characteristic is finite and constructable. »
(1995). Introduction to differential and algebraic topology, collection « Kluwer Texts in the Mathematical Sciences », Russian, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, ISBN: 0-7923-3499-X (http://dx.doi.org/10.1007/978-94-017-1959-9), RIS, BibTeX.
Un livre très élémentaire où on reconnaît le « style pédagogique russe ». Excellente initiation à la topologie pour un débutant. Le livre se conclut par une discussion de l’homologie.
(1995). Algebraic topology, collection « Graduate Texts in Mathematics », Springer-Verlag, New York, ISBN: 0-387-94326-9 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-4180-5), RIS, BibTeX.
« This book is a non-standard first course in algebraic topology. »
En effet, ce livre se distingue des autres par le fait qu’il accorde une place considérable à ce qui est à l’origine de la topologie algébrique : les surfaces. On y discute par exemple des surfaces de Riemann et du théorème de Riemann-Roch alors que les complexes simpliciaux n’apparaissent qu’au dernier chapitre, contrairement à la tradition. L’auteur présente son livre en expliquant que son but n’est pas de former des topologues mais d’être utile aux mathématiciens spécialistes dans d’autres disciplines qui ont besoin de topologie.
(1996). The Hauptvermutung book, collection « K-Monographs in Mathematics », Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, ISBN: 0-7923-4174-0 (http://dx.doi.org/10.1007/978-94-017-3343-4), RIS, BibTeX.
La « Hauptvermutung » formulée par Tietze au début du XXème siècle a perturbé les topologues pendant longtemps. En caricaturant, il s’agit de savoir si un espace, par exemple une variété, peut être triangulée de plusieurs manières essentiellement différentes. Ce livre retrace la riche histoire complexe menant à la solution de ce problème.
(1996). A survey of knot theory, Translated and revised from the 1990 Japanese original by the
author. Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN: 3-7643-5124-1, RIS, BibTeX.
Une agréable introduction à la théorie des nœuds. Surfaces de Seifert, invariants classiques, polynômes de Jones, invariants de Vassiliev.
(1996). Knot theory and its applications, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, ISBN: 0-8176-3817-2, RIS, BibTeX.
Un joli livre sur la théorie classique des nœuds. La partie sur la signature est très intéressante.
(1996). Algebraic topology, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, ISBN: 0-486-69131-4, RIS, BibTeX.
Un manuel standard. Groupe fondamental, classification des surfaces, homologie, dualité.
(1997). Knots, links, braids and 3-manifolds, collection « Translations of Mathematical Monographs », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-0588-6, RIS, BibTeX.
Un extrait du review de J. Kania-Bartoszynska :
« This book is an essentially complete elementary introduction to some important aspects of 3-dimensional topology. It covers link invariants (especially those of Jones and Vassiliev), braid theory, Heegaard splittings, surgery, branched coverings, and skein invariants of 3-manifolds. It concludes with a discussion of Jones-Witten invariants of links in 3-manifolds. »
(1997). An introduction to knot theory, collection « Graduate Texts in Mathematics 175 », Springer-Verlag, New York, ISBN: 0-387-98254-X (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-0691-0), RIS, BibTeX.
Un extrait du review de D. McCullough :
« The venerable subject of knot theory was revitalized during the 1980’s by the development of new polynomial invariants, evolving in the 1990’s to new invariants for 3-manifolds. In this text, the author achieves a timely integration of the classical topics and the new developments. »
(1997). Topological modeling for visualization., With appendices by Fomenko and S. V. Matveev, A. V. Bolsinov, O. E. Orël, S. Takahashi, A. G. Belyaev, E. V. Anoshkina and T. Kunii. Springer-Verlag, Tokyo, ISBN: 4-431-70200-8 (http://dx.doi.org/10.1007/978-4-431-66956-2), RIS, BibTeX.
Un extrait du review de C. Médan :
« The main goal of this book is to establish a bridge between theoretical aspects of modern geometry and topology on the one hand and computer experimental geometry on the other. The most useful theoretical tools (which, among others, include classification of surfaces, critical points and Morse functions, homology) are gathered in the first part. These notions are clearly explained, using many examples and illustrations, so that they are within the reach of everyone. In each chapter, after the theoretical ideas, applications to modern experimental computer geometry are given. »
(1997). A user’s guide to algebraic topology, collection « Mathematics and its Applications », Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, ISBN: 0-7923-4292-5 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4615-6309-9), RIS, BibTeX.
Un extrait du review de D. M. Davis :
« This book differs considerably from most algebraic topology texts, in its choice of which details to present and in its informality. It seems to be slanted toward physicists in its emphasis on fiber bundles and Lie groups of interest to physicists, and in its omission of or casual approach to many proofs. It assumes no prior knowledge of the reader, but expects the reader to go to other sources to fill in many details. »
(1997). Introduction to homotopy theory, collection « Fields Institute Monographs », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-0690-4, RIS, BibTeX.
Peu ou pas de preuves dans ce livre de 180 pages, mais une grande efficacité. Son but est de permettre un accès rapide aux livres plus techniques sur la théorie de l’homotopie. Le reviewer considère qu’il s’agit en quelque sorte d’une version moderne du « Student guide » d’Adams, cité plus haut.
(1997). From calculus to cohomology. de Rham cohomology and characteristic classes, Cambridge University Press, CambridgeI, ISBN: 0-521-58059-5, RIS, BibTeX.
Extrait du review de Mark V. Losik :
« This book presents the de Rham cohomology theory and its various applications to the topology of smooth manifolds, in particular, to the theory of characteristic classes via curvature. The authors have succeeded very well in presenting a clear, easily acceptable account of the fundamentals, and with well-chosen examples, in illustrating some of its uses. The book is essentially self-contained and suitable for students with a fairly modest background in calculus and linear algebra. »
(1999). Algèbre et théories galoisiennes, collection « Nouvelle bibliothèque mathématique », Cassini, Paris, ISBN: 2842250052, RIS, BibTeX.
Extrait de la présentation sur le site de l’éditeur :
« Il s’agit d’une nouvelle édition, revue et augmentée, d’un ouvrage depuis longtemps épuisé et toujours très demandé. Ce livre a compté dans la formation de nombreux chercheurs, aujourd’hui en exercice, qu’il a initiés au langage et à la philosophie de Grothendieck. La géométrie algébrique moderne, qui est l’une des réalisations majeures des mathématiques du XXe siècle, et qui est en grande partie l’œuvre d’Alexandre Grothendieck, est une théorie d’accès difficile : elle demande un changement de point de vue et, par rapport à la pratique habituelle des mathématiciens, un nouveau saut dans l’abstraction. L’une des preuves de la puissance du nouveau langage introduit par Grothendieck est le fait qu’il permet de traiter en employant les mêmes termes des questions de géométrie et des questions de théorie des nombres, et surtout d’éclairer les unes par les autres. L’un des principaux mérites du livre des Douady – tacite, car cela n’est apparu en pleine lumière qu’avec le recul des années – est de procurer une voie d’accès à ces sphères élevées en étudiant une situation où les deux aspects, algèbre et théorie des nombres d’une part, géométrie de l’autre, sont pour le débutant sinon intuitifs, du moins relativement faciles à saisir.La première partie expose ce que chaque étudiant de maîtrise (ou agrégatif) doit savoir sur les anneaux et les modules, et contient un exposé de la théorie des catégories, ce qu’on ne trouve que rarement dans les livres d’algèbre de ce niveau. C’est dans la deuxième partie que réside toute l’originalité du livre, celle qui traite en parallèle la théorie de Galois et celle des revêtements, et concrétise l’analogie entre elles en étudiant les surfaces de Riemann. »
On raconte que la première version de ce livre a été écrite par Adrien Douady pour le compte de Nicolas Bourbaki qui souhaitait un volume sur le groupe fondamental. Il semble que Nicolas n’a pas beaucoup aimé ce texte et il aura fallu attendre encore avant qu’un texte de Bourbaki ne voie le jour (voir plus bas).
Henri Paul ne sait que penser de ce livre. D’une part, il est d’une lourdeur extrême et bien peu engageant. Mais d’autre part, il aborde le groupe fondamental, "par les revêtements" et il faut reconnaître que bien peu de livres choisissent ce point de vue, qui plaisait à Poincaré, comme nous l’avons vu.
(1999). 4-manifolds and Kirby calculus, collection « Graduate Studies in Mathematics », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-0994-6 (http://dx.doi.org/10.1090/gsm/020), RIS, BibTeX.
Un extrait du review de N.N. Saveliev :
« Twenty years ago, R. Mandelbaum published an exposition of the topology of 4-manifolds [Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 2 (1980), no. 1, 1–159], which provided a comprehensive survey of the results and methods in this area known by the early 1980s. Shortly thereafter, the area was revolutionized, first by Freedman’s classification of topological 4-manifolds, and then by Donaldson and Seiberg-Witten gauge theory. In the years that followed, the face of 4-dimensional topology has changed so dramatically that the state of knowledge of two decades ago looks now, in many aspects, like a desert of nearly complete ignorance. The book under review introduces the current state of 4-manifold topology ; it is almost unique in that it does so from the point of view of differential topology. »
(1999). A concise course in algebraic topology, collection « Chicago Lectures in Mathematics », University of Chicago Press, Chicago, IL, ISBN: 0-226-51182-0, RIS, BibTeX.
Un extrait du review de R. M. Vogt :
« The notion of a spectrum and the fact that generalized homology and cohomologies can be represented by spectra has shifted the foundations of algebraic topology and has put homotopy theoretical methods at its center. The present book is one of the few textbooks that takes this development into consideration. »
(1999). Nœuds, Éditions du Seuil, Paris, ISBN: 2-02-032089-4, RIS, BibTeX.
(2002). Knots, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN: 0-674-00944-4, RIS, BibTeX.
Ce petit livre destiné à un « grand public » est une excellente introduction à la théorie moderne des nœuds (y compris les invariants de Jones et ceux de Vassiliev). Très agréable à lire (même s’il contient quelques typos qui peuvent gêner la lecture).
2000
(2001). Introduction to topology, collection « Student Mathematical Library », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-2162-8 (http://dx.doi.org/10.1090/stml/014), RIS, BibTeX.
Un petit livre efficace qui reprend un cours à l’université indépendante de Moscou. Une bonne manière de faire connaissance rapidement avec la topologie algébrique contemporaine...
(2001). Topology of surfaces, knots and manifolds. A first undergraduate course, John Wiley & Sons, Inc., ISBN: 0-471-35544-5 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-0105-9), RIS, BibTeX.
Une première approche concrète de la topologie, par les surfaces et les entrelacs.
(2001). Rational homotopy theory, collection « Graduate Texts in Mathematics », Springer-Verlag, New York, ISBN: 0-387-95068-0 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-0105-9), RIS, BibTeX.
Un livre de référence sur (la partie algébrique) de la théorie de Sullivan de l’homotopie rationnelle. Les lecteurs intéressés par ce livre le seront aussi probablement par le livre de Felix, Oprea et Tanré publié en 2008, cité plus bas.
(2001). Lecture notes in algebraic topology, collection « Graduate Studies in Mathematics », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-2160-1 (http://dx.doi.org/10.1090/gsm/035), RIS, BibTeX.
Extrait du review de D. Shimamoto :
« This is a textbook for a second-year graduate course in topology, highlighting the basic tools of homotopy theory. The authors remark that, at their home institution, most topology research students are in geometric topology, and the book does emphasize the geometric origins of homotopy theory, as opposed to a more abstract, categorical approach. Prerequisites are the fundamental group, covering spaces (especially covering transformations), CW-complexes, singular homology and cohomology, and some elementary notions from differential topology, such as transversality. »Excellents chapitres sur le bordisme et les suites spectrales.
(2002). An introduction to Morse theory, collection « Translations of Mathematical Monographs », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-1022-7, RIS, BibTeX.
Un livre moderne sur la théorie de Morse, en dimension finie, avec des applications aux inégalités de Morse et aux décompositions de Heegard.
(2002). Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN: 0-521-79160-X, RIS, BibTeX.
Ce livre est l’une des meilleures options pour l’étudiant d’aujourd’hui. Les exemples abondent, les preuves sont complètes et détaillées, le formalisme n’est jamais exagéré. Parmi les sujets abordés : groupe fondamental, homologie, dualité de Poincaré. On y trouve peu de variétés de dimension 3 et pas de surfaces complexes.À noter que cet excellent livre est en accès libre sur internet.
(2002). Algebraic topology from a homotopical viewpoint, collection « Universitext », Springer-Verlag, New York, ISBN: 0-387-95450-3 (http://dx.doi.org/10.1007/b97586), RIS, BibTeX.
Il s’agit d’un livre non standard. L’idée principale est de mettre l’homotopie plutôt que l’homologie au centre de la discussion. L’homologie est définie à partir de l’homotopie des puissances symétriques, à la Dold-Thom. C’est un choix qui peut paraître étrange mais qui est extrêmement original et qui semble efficace. Henri Paul ne le recommande pas cependant aux débutants qui ont besoin de définitions plus concrètes.
(2003). Algebraic topology. A primer, collection « Texts and Readings in Mathematics », Hindustan Book Agency, New Delhi, ISBN: 81-85931-44-5, RIS, BibTeX.
Le titre est bien choisi : a primer. En effet, ce petit livre, pas trop ambitieux, peut être très utile au débutant. On y traite de groupe fondamental, d’homologie simpliciale, de revêtements, et d’homologie singulière, « sans faire de chichi » :-)
(2003). A mathematical gift. I, collection « Mathematical World », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-3282-4 (http://dx.doi.org/10.1090/mawrld/019), RIS, BibTeX.
(2004). A mathematical gift. II, collection « Mathematical World », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-3283-2 (http://dx.doi.org/10.1090/mawrld/020), RIS, BibTeX.
À strictement parler, il ne s’agit pas de topologie algébrique, mais ces petits livres peuvent servir de motivation à l’étudiant débutant. Caractéristique d’Euler-Poincaré, champs de vecteurs, théorie de la dimension, naissance du concept de variété. Vraiment bien faits !
(2004). Topologie, revêtements, groupe fondamental, collection « Notes de cours, Strasbourg » (http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/courstopalg.pdf), RIS, BibTeX.
Excellentes notes de cours, en français, sur les thèmes évoqués dans le titre. Pas d’homologie.
(2004). Knot theory, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, ISBN: 0-415-31001-6 (http://dx.doi.org/10.1201/9780203402849), RIS, BibTeX.
Une présentation moderne de la théorie des nœuds, tout particulièrement des invariants de Vassiliev. Accessible aux débutants.
(2004). Compact complex surfaces, collection « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics », Second, Springer-Verlag, Berlin, ISBN: 3-540-00832-2 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-57739-0), RIS, BibTeX.
Une excellente présentation de la classification de Kodaira des surfaces complexes. On peut penser que Poincaré aurait beaucoup aimé.
(2004). Lectures on Morse homology, collection « Kluwer Texts in the Mathematical Sciences », Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, ISBN: 1-4020-2695-1 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4020-2696-6), RIS, BibTeX.
Comme le titre l’indique, il s’agit d’un livre qui traite de l’homologie de Morse. Le livre est élémentaire et peut servir d’introduction à l’homologie de Floer qui est le développement contemporain naturel de l’homologie de Morse.
(2004). Singular points of plane curves, collection « London Mathematical Society Student Texts 63 », Cambridge University Press, Cambridge, ISBN: 0-521-83904-1 (http://dx.doi.org/10.1017/CBO97805116175606), RIS, BibTeX.
Permet de découvrir des applications de la topologie algébrique (à la fois homologiques et homotopiques) à l’étude des singularités de courbes complexes planes.
(2005). The wild world of 4-manifolds, collection « Kluwer Texts in the Mathematical Sciences », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 0-8218-3749-4 (http://bookstore.ams.org/fourman), RIS, BibTeX.
Extrait du review de V.S. Krushkal :
« Modern 4-manifold topology has so many different aspects that it is difficult to imagine a single manuscript covering its various results and the techniques involved in their proofs. This book attempts to do just that.[...] In conclusion, I would like to say that this book would serve as a nice informal introduction to the world of $4$-manifolds. The author records many spectacular results in the subject, such as the existence of exotic $\mathbb{R}^4$’s and examples of infinite families of homeomorphic but not diffeomorphic closed $4$-manifolds, and he gives the reader a taste of the techniques involved in the proofs, geometric topology, gauge theory and complex and symplectic structures. »
(2006). Elements of combinatorial and differential topology, collection « Graduate Studies in Mathematics », American Mathematical Society (AMS), Providence, ISBN: 3-03719-023-X (http://dx.doi.org/10.1090/gsm/074), RIS, BibTeX.
Livre introductif qui va aussi loin que possible sans introduire d’homologie : topologie des graphes planaires (théorèmes de Steinitz, Kuratowski, Whitney, théorie du polynôme chromatique...), des immersions de cercles dans le plan, théorie du degré et application au théorème de Borsuk-Ulam, classification des surfaces, CW-complexes, équivalence d’homotopie et théorème de Whitehead, classification homotopique des espaces lenticulaires de dimension quelconque, théorie de Morse et attachements d’anses, exemples de fonctions de Morse sur des groupes linéaires et les Grassmanniennes, groupes fondamentaux de complémentaires de nœuds ou de la sphère cornue d’Alexander dans l’espace affine réel et de courbes algébriques dans le plan projectif complexe... Contient de nombreux exercices et figures.
(2006). Lectures on algebraic topology, collection « EMS Series of Lectures in Mathematics », European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN: 3-03719-023-X (http://dx.doi.org/10.4171/023), RIS, BibTeX.
Livre court, d’une centaine de pages. Présente l’homologie avant le groupe fondamental. Ne discute pas la dimension 3 ou les surfaces complexes. Présentation efficace qui met l’emphase sur l’aspect algébrique.
(2007). Ricci flow and the Poincaré conjecture, collection « Clay Mathematics Monographs », American Mathematical Society, Providence, RI ; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, ISBN: 978-0-8218-4328-4, RIS, BibTeX.
La rédaction d’une preuve de la conjecture de géométrisation de Thurston, suivant les idées de Perelman. Cette conjecture entraîne en particulier celle de Poincaré.
(2007). Elements of homology theory, collection « Graduate Studies in Mathematics », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 978-0-8218-3812-9 (http://dx.doi.org/10.1090/gsm/081), RIS, BibTeX.
Ce livre compare les différentes théories homologiques. Son originalité se situe dans les derniers chapitres puisqu’on y aborde les classes caractéristiques à travers la théorie de l’obstruction, ce qui n’est pas fréquent. Le dernier chapitre « Miscellany » est très varié : invariants de Arf, invariants polynomiaux associés aux nœuds etc.
(2008). Combinatorial algebraic topology, collection « Algorithms and Computation in Mathematics », Springer, Berlin, ISBN: 978-3-540-71961-8 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5), RIS, BibTeX.
Extrait de la préface :
« Perhaps the major novelty is the general shift of focus from the category of posets to the category of acyclic categories. Correspondingly, the entire Chapter 10 is devoted to the development of the fundamental theory of acyclic categories and of the topology of their nerves, which in turn are no longer abstract simplicial complexes, but rather regular triangulated spaces.Also, Chapter 11 is designed to give quite a different take on discrete Morse theory. The theory is broken into three major branches : combinatorial, topological, and algebraic ; each one with its own specifics. A very new feature here is the recasting of discrete Morse theory for posets in terms of poset maps with small fibers. »
On y trouve de très nombreux exemples de classes de complexes définis à partir d’objets combinatoires : ensembles partiellement ordonnés, graphes, matroïdes, arbres phylogénétiques, morphismes de graphes, etc.
(2008). Algebraic topology, collection « EMS Textbooks in Mathematics », European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN: 978-3-03719-048-7 (http://dx.doi.org/10.4171/048), RIS, BibTeX.
Selon le review de D.M. Davis :
« This is a very thorough and carefully-written text. It should challenge Hatcher’s text for the high-end market ; i.e., for use at major universities. The approach is more formal than Hatcher’s, more of a theorem-proof exposition than his. There are very few pictures, and not many illustrative examples, e.g., of covering spaces or homology calculations. There are, however, many challenging exercises, called “problems”. »Le livre couvre l’essentiel de la topologie algébrique : groupe fondamental, revêtements, variétés, fibrés, dualité, classes caractéristiques et bordisme. En revanche, la classification des surfaces n’est abordée que superficiellement et on ne discute ni des 3-variétés ni des surfaces complexes.
(2008). Algebraic models in geometry, collection « Oxford Graduate Texts in Mathematics 17 », Oxford University Press, Oxford, ISBN: 978-0-19-920651-3, RIS, BibTeX.
Voici un extrait du review de S.B. Smith :
« A fundamental goal of algebraic topology is the development of computable algebraic invariants which can faithfully detect important geometric properties of spaces. A notable example in this regard is rational homotopy theory. By the seminal work of D. Quillen, the homotopy category of simply connected rationalized CW complexes is equivalent to a purely algebraic category [Ann. of Math. (2) 90 (1969), 205–295]. Another version of this remarkable result was obtained by D. Sullivan [Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 47 (1977), 269–331 (1978)], who extended the domain to rationalized “nilpotent” spaces (CW complexes with nilpotent homotopy systems).[...] In the thirty years since the appearance of Sullivan’s paper, the promise of minimal models as a tool for geometry has been richly fulfilled. Minimal models and related techniques have found significant applications in diverse areas including toral actions on manifolds, curvature of Riemannian manifolds, blow-ups in symplectic geometry, configuration spaces, and, most recently, the Chas-Sullivan loop product. The book under review provides an impressively comprehensive account of these and many other developments. »
Pour spécialistes !
(2009). Poincaré’s legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part II, American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 978-0-8218-4885-2, RIS, BibTeX.
Contient principalement une explication détaillée de la preuve par Perelman de la conjecture de Poincaré.
(2009). Low-dimensional geometry, collection « Student Mathematical Library 49 », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 978-0-8218-4816-6 (http://dx.doi.org/10.1090/stml/049), RIS, BibTeX.
Extrait du review de Carlo Petronio :
« The research field now named geometric topology was initiated in the late 1970s by the revolutionary work of Thurston, who first showed the central role that geometry, and particularly hyperbolic geometry, can play in the understanding of 3-dimensional objects (manifolds, knots and links, orbifolds, graphs, and more). After Thurston’s pioneering and fundamental results, the topic had spectacular developments over four decades, leading to exceptional achievements, as also witnessed by the many Fields Medals awarded to mathematicians working in the field.The beautiful volume under review provides a smooth introduction to the idea of employing geometry to face matters of topology in low dimensions, starting from elementary facts in two dimensions and eventually approaching the deepest ones in three dimensions. The book is written in a rather unconventional manner, in that it assumes very little mathematical knowledge and it provides a definition of virtually every concept it employs. »
2010
(2010). Geometrisation of 3-manifolds, collection « EMS Tracts in Mathematics », European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN: 978-3-03719-082-1 (http://dx.doi.org/10.4171/082), RIS, BibTeX.
L’un des quelques livres qui contiennent une preuve complète de la géométrisation de Perelman/Thurston.
(2010). Théorie de Morse et homologie de Floer, collection « Savoirs Actuels (Les Ulis) », EDP Sciences, Les Ulis ; CNRS Éditions, Paris, ISBN: 978-2-7598-0518-1, RIS, BibTeX.
(2014). Morse theory and Floer homology, collection « Universitext », Springer, London ; EDP Sciences, Les Ulis, ISBN: 978-1-4471-5495-2 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4471-5496-9), RIS, BibTeX.
Une présentation autocontenue et très pédagogique, recommandée pour les débutants.
(2010). Differential algebraic topology. From stratifolds to exotic spheres, collection « Graduate Studies in Mathematics 110 », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 978-0-8218-4898-2 (http://dx.doi.org/10.1090/gsm/110), RIS, BibTeX.
Extrait du review de M. Kranjc :
« This book is an introduction to algebraic topology using the framework of differential topology. In order to end up with the usual homology and cohomology, at least for “nice” spaces, the author considers bordism classes of a certain type of stratified spaces called stratifolds (instead of taking bordisms of manifolds). Homology classes of a space $X$ are represented by continuous mappings of compact stratifolds into $X$, while cohomology classes of a manifold $M$ (only cohomology of manifolds is studied) are smooth proper mappings of (not necessarily compact) stratifolds into $M$. »
(2010). Topologie algébrique, Dunod, RIS, BibTeX.
Ce livre a plusieurs originalités.
- Pour une raison inconnue, il semble avoir échappé à Mathematical Reviews.
- Il est écrit en français et la liste que vous avez sous les yeux montre à quel point cela devient rare.
- La couverture indique "Cours et exercices corrigés, master, capes, agreg". Henri Paul, qui aime beaucoup la topologie algébrique, se demande s’il est raisonnable d’espérer que les professeurs chargés de l’enseignement des maths à nos enfants maîtrisent la topologie algébrique ?
- La première phrase du livre : "savez-vous que sur la Terre il existe toujours deux lieux antipodaux ayant même température et même altitude ?". Cela suffit-il pour motiver un lecteur ?
- Henri Paul aime le fait que ce livre parle du "groupe de Poincaré" plutôt que du groupe fondamental.
Il s’agit d’un livre relativement élémentaire, à tonalité très algébrique : groupe de Poincaré, revêtements, homologie singulière etc.
(2010). Computational topology, American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 978-0-8218-4925-5, RIS, BibTeX.
Un manuel du 21ème siècle... Comme le titre l’indique, tous les concepts sont introduits en simultané avec leur aspect calculatoire. Pour ne citer qu’un exemple, ce livre est l’un des rares qui abordent la théorie relativement récente de l’homologie persistante.
(2010). Triangulations, collection « Algorithms and Computation in Mathematics », Springer-Verlag, Berlin, ISBN: 978-3-642-12970-4 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12971-1), RIS, BibTeX.
Les triangulations ne servent pas qu’à faire de la topologie algébrique. Voici un extrait de la préface :
« Triangulations appear in many different parts of mathematics and computer science since they are the natural way to decompose a region of space into smaller, easy-to-handle pieces. From volume computations and meshing to algebra and topology, there are many natural situations in which one has a fixed set of points that can be used as vertices for the triangulation. Typically one wants to find an optimal triangulation of those points or to explore the set of their all triangulations. The given points may represent the “sites” for a Delaunay triangulation computation, the test points for a surface reconstruction, or a set of monomials, represented as lattice points in $\mathbb{Z}^d$ , in an algebraic-geometric meaning.A central theme of this book is to use the rich geometric structure of the space of triangulations of a given set of points to solve computational problems (e.g., counting the number of triangulations or finding optimal triangulations with respect to various criteria), and for setting up connections to novel applications in algebra, computer science, combinatorics, and optimization. »
(2011). An invitation to Morse theory, collection « Universitext », Second edition, Springer, New York, ISBN: 978-1-4614-1104-8 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4614-1105-5), RIS, BibTeX.
Une excellente présentation de la théorie de Morse, en dimension finie. On note surtout la partie dédiée à la théorie complexe, autrement dit de Picard-Lefschetz, qui joue un rôle important dans ce site.
(2011). Algebraic topology of finite topological spaces and applications., collection « Lecture Notes in Mathematics 2032 », Springer, Heidelberg, ISBN: 978-3-642-22002-9, RIS, BibTeX.
Extrait du review de F. Ushitaki :
« Needless to say, a finite topological space is a finite set with a topology. One may think such a space is not so interesting, except when determining the number of finite spaces or homotopy types. However, finite topological spaces have more interesting topological properties than one may think at first. For example, every finite topological space is weak homotopy equivalent to the realization of some simplicial complex [...].The book is self-contained and well written. It is understandable and enjoyable to read. »
(2011). Introduction to homotopy theory, collection « Universitext », Springer, New York, ISBN: 978-1-4419-7328-3 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4419-7329-0), RIS, BibTeX.
Un aspect important de la topologie algébrique est totalement ignoré dans ce site : la dualité, dite de Eckmann-Hilton, entre homotopie et homologie. Les groupes d’homotopie $\pi_n(X)$ sont les classes d’homotopie d’applications ${\bf S}^n \to X$. Les groupes d’homotopie des sphères sont compliqués alors que leurs groupes d’homologie sont très simples. Dualement, les groupes de cohomologie $H^n(X, {\bf Z})$ correspondent aux classes d’homotopie d’applications $X \to K({\bf Z}, n)$ vers un espace d’Eilenberg-MacLane dont l’homotopie est simple mais l’homologie est compliquée. Ce livre est consacré à ce genre de dualité : fibration/cofibration etc.
(2012). A primer on mapping class groups, collection « Princeton Mathematical Series », Princeton University Press, Princeton, NJ, ISBN: 978-0-691-14794-9, RIS, BibTeX.
Une « bible » qui sera très utile aux étudiants avancés.
(2012). More concise algebraic topology, collection « Chicago Lectures in Mathematics », University of Chicago Press, Chicago, IL, ISBN: 978-0-226-51178-8, RIS, BibTeX.
Le sous-titre « localization, completion, and model categories » montre que le but de ce livre est éloigné de ce site.
(2012). Transversalité, courants et théorie de {M}orse. Un cours de topologie différentielle., Éditions de l’École Polytechnique, Palaiseau, ISBN: 978-2-7302-1585-5, RIS, BibTeX.
Extrait du review de D. Andrica :
« The last chapter, Morse theory, is devoted to some fundamental aspects in the study of critical points. It is very well organized and contains eight sections presenting the main results in the following directions : the gradient of Morse function, the Palais-Smale condition, mini-max principle, the first applications of the Morse model, the Thom-Smale complex and homology, elements of algebraic topology on manifolds, and the Heegaard decomposition. »
(2013). A guide to the classification theorem for compact surfaces, collection « Geometry and Computing », Springer, Heidelberg, ISBN: 978-3-642-34363-6 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-34364-3), RIS, BibTeX.
Comme le titre l’indique, il s’agit d’une présentation moderne de la topologie des surfaces.
(2014). Invitation à la topologie algébrique (deux tomes), collection « Graduate Studies in Mathematics », Cépaduès éditions, RIS, BibTeX.
Un excellent manuel en français, en deux tomes. Homologie, cohomologie, variétés, dualité. De manière surprenante, le groupe fondamental et les revêtements sont traités de manière extrêmement rapide.
(2014). Introduction to 3-manifolds, collection « Graduate Studies in Mathematics », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 978-1-4704-1020-9, RIS, BibTeX.
Un excellent manuel qui propose à l’étudiant débutant une approche moderne de la topologie de dimension 3, à la lumière de la géométrie hyperbolique par exemple.
(2014). The Poincaré conjecture, collection « Clay Mathematics Proceedings », American Mathematical Society, Providence, RI ; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, ISBN: 978-0-8218-9865-9, RIS, BibTeX.
Comme on le sait, la conjecture de Poincaré, qui concluait le cinquième complément de Analysis Situs, a été résolue en 2003 par Perelman. Ce livre reprend sept conférences autour de ce thème, prononcées lors d’un colloque à Paris en 2010. Certaines de ces conférences peuvent être utiles au débutant, en particulier l’article historique de John Morgan.
(2014). Mod two homology and cohomology, collection « Universitext », Springer, Cham, ISBN: 978-3-319-09353-6 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-09354-3), RIS, BibTeX.
L’homologie et la cohomologie modulo 2 sont bien plus intuitives que leurs analogues à coefficients dans un anneau quelconque : pas besoin d’orienter les choses. Ce livre est probablement le seul qui fait délibérément le choix de se limiter aux coefficients modulo 2. On y gagne en clarté et en pédagogie, mais bien sûr on y perd en généralité.
(2014). Basic algebraic topology, CRC Press, Boca Raton, FL, ISBN: 978-1-4665-6243-1, RIS, BibTeX.
Groupe fondamental, homologie, dualité, suites spectrales, classes caractéristiques. L’auteur recommande :
« This book is intended for a two-semester first course in algebraic topology, though I would recommend not to try to cover the whole thing in two semesters. A glance through the contents page will tell the reader that the selection of topics is quite standard whereas the sequencing of them may not be so. »
(2014). Fundamentals of algebraic topology, collection « Graduate Texts in Mathematics », Springer, New York, ISBN: 978-1-4939-1843-0 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4939-1844-7), RIS, BibTeX.
La parole est à l’auteur :
« In writing this book we have attempted to provide the reader with a guide to the fundamental results of algebraic topology, but we have not attempted to provide an exhaustive treatment. »
(2014). Introductory lectures on manifold topology : signposts, collection « Surveys of Modern Mathematics 7 », International Press, Somerville, MA ; Higher Education Press, Beijing, ISBN: 978-1-57146-287-9, RIS, BibTeX.
La parole est aux auteurs :
« The purpose of this book is to introduce to advanced graduate students and other interested mathematicians some of the basic technique and results from manifold topology. It is assumed that the reader is familiar with algebraic topology through cup products and Poincaré duality as well as with fiber bundles and characteristic classes. »
Y sont étudiés entre autres les théorèmes du h-cobordisme et du s-cobordisme, les groupes et la torsion de Whitehead, les sphères exotiques, le théorème fondamental de la K-théorie algébrique, l’exemple d’Edwards-Cannon et le Hauptvermutung.
(2015). Morse theory, smooth and discrete., World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, ISBN: 978-981-4630-96-2 (http://dx.doi.org/10.1142/9360), RIS, BibTeX.
Extrait du review de J.A. Vilches :
« As its title clearly indicates, this book is devoted to the introduction of Morse theory in a double sense : its first part covers the classical smooth version of this theory established by M. Morse in the 1920’s and the second part is focused on the study of its discrete counterpart, the so-called discrete Morse theory, introduced by R. Forman in the mid 1990’s. Throughout almost a century, classical Morse theory has earned an outstanding place in mathematics. This is due not only to the power of its results, but also to its many applications in either pure or applied mathematics. On the other hand, the discrete approach has become a very successful theory, establishing a fruitful research field with many applications ranging from robotics to medical imagery, just to name two. »
(2015). Persistence theory : from quiver representations to data analysis, collection « Mathematical Surveys and Monographs », American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN: 978-1-4704-2545-6 (http://dx.doi.org/10.1090/surv/209), RIS, BibTeX.
Un livre très accessible sur la théorie de Morse « calculatoire » et l’homologie persistante.
(2015). 3-manifold groups, collection « EMS Series of Lectures in Mathematics », European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN: 978-3-03719-154-5, RIS, BibTeX.
Extrait du review de T. Koberda :
« The book under review gives a detailed survey of certain facets of the very extensive theory of 3-manifold groups. The authors concentrate on results around and following from Perelʹman’s proof of the full Geometrization Conjecture, Kahn and Marković’s proof of the Surface Subgroup Conjecture, Wise’s theory of groups with quasi-convex hierarchies, and Agol’s proof of Thurston’s Virtual Haken Conjecture and Virtual Fibered Conjecture. »
(2016). Homotopical topology, collection « Graduate Texts in Mathematics », Second edition, Springer, ISBN: 978-3-319-23487-8 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-23488-5), RIS, BibTeX.
Quatrième de couverture :
« Updates a popular textbook from the golden era of the Moscow school of I. M. Gelfand. Presents material concisely but rigorously. Illuminates the subject matter with a range of technical and artistic illustrations, along with a wealth of examples and computations meant to provide a treatment of the topic that is both deep and broad. Contains an entirely new chapter on K-theory and the Riemann-Roch theorem. »Recommandé par Henri Paul...
(2016). 4-manifolds, collection « Oxford Graduate Texts in Mathematics 25 », Oxford University Press, Oxford, ISBN: 978-0-19-878486-9, RIS, BibTeX.
Présentation de l’ouvrage par l’éditeur :
« This book presents the topology of smooth 4-manifolds in an intuitive self-contained way, developed over a number of years by Professor Akbulut. The text is aimed at graduate students and focuses on the teaching and learning of the subject, giving a direct approach to constructions and theorems which are supplemented by exercises to help the reader work through the details not covered in the proofs.The book contains a hundred colour illustrations to demonstrate the ideas rather than providing long-winded and potentially unclear explanations. Key results have been selected that relate to the material discussed and the author has provided examples of how to analyse them with the techniques developed in earlier chapters. »
(2016). Differential topology, collection « Cambridge Studies in Advanced Mathematics 156 », Cambridge University Press, Cambridge, ISBN: 978-1-107-15352-3 (http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781316597835), RIS, BibTeX.
Extrait de l’introduction :
« The original draft of this book was written at a time when differential topology was new and exciting, and there were no books on the topic. While there now exist introductory accounts and books on particular areas of differential topology, there does not seem to be any other that does justice to the breadth of the subject. »Thèmes du livre : lissages des coins et voisinages tubulaires, transversalité, décompositions en anses et théorème du h-cobordisme, immersions et plongements, chirurgie et applications à l’étude des types d’homotopie des complexes à dualité de Poincaré et des variétés, cobordisme.
(2016). Éléments de Mathématiques, topologie algébrique, Chapitres 1 à 5, Springer, New York, RIS, BibTeX.
On y traite de revêtements et de groupes fondamentaux dans le style de... Bourbaki (évidemment bien différent de celui de ce site).Un volume des Éléments qui s’est fait attendre pendant un certain nombre de décennies. Qu’on en juge : Dans les archives du groupe Bourbaki, datant d’avril 1944, on lit ceci :
« Bien que n’ayant pas déclenché d’événements sensationnels, le récent Congrès Bourbaki qui s’est tenu à Paris du 6 au 8 avril 1944 n’en a pas moins réalisé un progrès important et depuis longtemps souhaité : le démarrage de la Topologie algébrique. »
Oui, c’était il y a plus de 70 ans...
(2016). A Singular Mathematical Promenade, arXiv:1612.06373 (http://front.math.ucdavis.edu/1612.06373), RIS, BibTeX.
Voici le résumé de l’auteur :
« This is neither an elementary introduction to singularity theory nor a specialized treatise containing many new theorems. The purpose of this little book is to invite the reader on a mathematical promenade. We will pay a visit to Hipparchus, Newton and Gauss, but also to many contemporary mathematicians. We will play with a bit of algebra, topology, geometry, complex analysis and computer science. Hopefully, some motivated undergraduates and some more advanced mathematicians will enjoy some of these panoramas. »Henri Paul adore ces panoramas décrits par l’un de ses collaborateurs !