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On trouvera ici une liste (bien sûr, loin d’être exhaustive) d’articles fondateurs ou qui présentent une vue d’ensemble d’un domaine des mathématiques lié au contenu du site. Ils devraient permettre aux lecteurs de mieux appréhender le contexte de l’œuvre de Poincaré sur l’Analysis Situs et son influence à plus ou moins long terme.
Plus précisément, cet article est composé de deux sections :
Textes fondateurs
(1758). “Elementa doctrinae solidorum”, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4, p. 109–140 (http://eulerarchive.maa.org), RIS, BibTeX.
C’est là qu’Euler énonça sa célèbre formule reliant les nombres de sommets, arêtes et faces d’un polyèdre convexe, sous la forme $S + H = A + 2$. C’est en mémoire de cela que l’on parle de « caractéristique d’Euler » ou de « caractéristique d’Euler-Poincaré ». À noter qu’Euler ne réussit pas à obtenir une preuve complète de sa formule.
(1771). “Remarques sur les problèmes de situation”, Mémoires de l’Académie royale des sciences, p. 566–574 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/vandermonde.pdf), RIS, BibTeX.
C’est Leibniz qui proposa l’appellation "Analysis Situs" pour une science à venir. Bien peu de savants essayèrent de s’avancer dans cette direction au XVIII-ème siècle. Il y eut bien sûr Euler, mais aussi Vandermonde. Voici un extrait de l’introduction de l’article :
« Quelles que soient les circonvolutions d’un ou de plusieurs fils dans l’espace, on peut toujours en avoir une expression par le calcul des grandeurs ; mais cette expression ne seroit d’aucun usage dans les Arts. L’ouvrier qui fait une tresse, un réseau, des nœuds, ne les conçoit pas par les rapports de grandeur, mais par ceux de situation : ce qu’il y voit, c’est l’ordre dans lequel sont entrelacés les fils. Il seroit donc utile d’avoir un système de calcul plus conforme à la marche de l’esprit de l’ouvrier, une notation qui ne représentât que l’idée qu’il se forme de son ouvrage, & qui pût suffire pour en refaire un semblable dans tous les temps.Mon objet ici n’est que de faire entrevoir la possibilité d’une pareille notation, & son usage dans les questions sur des tissus de fils. [...]
Leibnitz promit un calcul des Situations, & mourut sans rien publier. C’est un sujet où tout reste à faire, & qui mériteroit bien qu’on s’en occupât. »
Henri Lebesgue publia un article intitulé « L’Œuvre mathématique de Vandermonde » dans l’Enseignement Mathématique II 1 (1955), 203—223.
(1847). “Vorstudien zur Topologie”, Göttinger Studien, Göttingen, 1, p. 811–875 (https://archive.org/details/vorstudienzurto00listgoog), RIS, BibTeX.
C’est Listing qui inventa le terme de « topologie », en 1836. Ce texte est le premier qui comporte ce terme dans son titre. Listing y donne des exemples de problèmes qu’il pense être de nature topologique, selon sa caractérisation de 1836 :
« Une définition de la topologie pourrait être : étude des lois qualitatives des relations de lieu. Cette science est susceptible, j’en ai la conviction profonde, d’une méthode de recherche exacte. »
(1898). “Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions d’une grandeur variable complexe”, in Œuvres mathématiques, Gauthier Villars, Paris, p. 1–56, RIS, BibTeX.
C’est là, dans sa thèse, achevée en 1851, que Riemann introduisit la notion de surface qui porte son nom, associée à toute « fonction » holomorphe multivaluée.
(1898). “Théorie des fonctions abéliennes”, in Œuvres mathématiques, Gauthier Villars, Paris, p. 89–162, RIS, BibTeX.
Dans cet article publié initialement en 1857, Riemann reprend avec plus de détails la construction des surfaces qui portent son nom, et y interprète la théorie des intégrales Abéliennes à partir de l’intégration des formes différentielles fermées sur ces surfaces. On y trouve aussi la première définition topologique de la notion de « genre » d’une surface, de nature homologique. Il s’agit de l’un des articles les plus riches du XIX-ème siècle. Mais il est très difficile à lire.
(1898). “Fragment sur l’Analysis Situs”, in Œuvres mathématiques, Gauthier Villars, Paris, p. 414–419, RIS, BibTeX.
Il s’agit du seul texte à notre disposition qui montre que Riemann essaya d’imiter en dimension quelconque son approche homologique de l’étude topologique des surfaces, par coupures successives. Nous décrivons son contenu dans l’article Les idées de Riemann sur l’Analysis Situs en dimension quelconque.
(1859). “On contour and slope lines”, Philosophical Magazine, XVIII, p. 264–268 (http://images.math.cnrs.fr/IMG/pdf/1859-cayley-contour-slope.pdf), RIS, BibTeX.
Il s’agit du plus ancien texte que nous connaissons qui contienne un prototype de la théorie de Morse. Cayley y décrit une modélisation mathématique de la fabrication des cartes topographiques et des propriétés des lignes d’écoulement représentées sur de telles cartes. Nous commentons son contenu dans L’article de Cayley sur les lignes de niveau et de plus grande pente et aussi au passage dans l’article La théorie de Morse, de la topographie à la conjecture de Poincaré en grande dimension.
(1862). “Der Census Räumlicher Complexe”, Abhandlungen der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 10, p. 97–180 (https://eudml.org/doc/135737), RIS, BibTeX.
Il s’agit de la dernière publication de Listing sur le thème de la topologie. Il élabore une approche de la classification à isotopie près des complexes cellulaires de dimension $2$ de l’espace euclidien usuel.
(1871). “Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni”, Annali di Mat. Pura ed Applicata, (2) 4, p. 140–158 (http://rcin.org.pl/Content/35231/WA35_18220_7084_Sopra-gli-spazi.pdf), RIS, BibTeX.
Betti y propose une notion d’ « ordre de connexion » pour des variétés de dimension quelconque. C’est en référence à cet article que Poincaré parlera de « nombres de Betti ». Nous commentons son contenu dans Les discussions entre Riemann et Betti sur l’Analysis Situs.
(1889). “Delle variabili complesse negli iperspazi”, Rend. Accad. dei Lincei Serie IV, V, p. 158–165, RIS, BibTeX.
Dans sa section 6, on trouve la première formulation d’une formule de Stokes pour les variétés à bord de dimension quelconque.
(1889). “Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables”, Journal de Maths. Pures et Appliquées, Série 4, tome 5, p. 135–320 (http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1889_4_5_A7_0.pdf), RIS, BibTeX.
Picard y aborde l’étude des cycles de diverses dimensions dans les surfaces algébriques complexes. Il reprend les définitions données par Betti de ses « nombres de connexion » de toutes les dimensions associés à une variété. Dans la section 7 du Chapitre II on trouve énoncé en passant le « théorème de dualité de Poincaré », sans aucune explication.
(1912). “Manifolds of n dimensions”, Annals of Mathematics. Second Series, 14, p. 163–178, doi: 10.2307/1967611 (http://www.jstor.org/stable/1967611), RIS, BibTeX.
Les auteurs imitent la définition de Poincaré des nombres de Betti en y comptant les chaînes modulo $2$. Il s’agit de la première version d’homologie où les chaînes sont considérées avec d’autres coefficients que des nombres entiers.
(1915). “A proof of the invariance of certain constants of analysis situs”, Transactions of the American Mathematical Society, 16, p. 148–154, doi: 10.2307/1988715 (http://www.ams.org/journals/tran/1915-016-02/S0002-9947-1915-1501007-5), RIS, BibTeX.
Alexander prouve en utilisant des chaînes singulières que les nombres de Betti modulo $2$ définis dans l’article précédent ne dépendent pas de la décomposition simpliciale choisie. Il s’agit de la première preuve convaincante de cette invariance. Pour la facilité de la lecture, la preuve est expliquée en dimension $3$.
(1919). “Note on two three-dimensional manifolds with the same group”, Transactions of the American Mathematical Society, 20, p. 339–342, doi: 10.2307/1988806 (http://www.ams.org/journals/tran/1919-020-04/S0002-9947-1919-1501131-0), RIS, BibTeX.
Poincaré avait laissé en suspens le problème de savoir si toute variété close et orientable de dimension $3$ est déterminée, à homéomorphisme près, par son groupe fondamental. Dans le cas d’un groupe trivial, il s’agit de la célèbre « conjecture de Poincaré ». Dans cet article, Alexander exhibe deux variétés de dimension $3$ — des espaces lenticulaires particuliers — qui ne sont pas homéomorphes, mais qui ont des groupes fondamentaux isomorphes.
(1922). “A proof and extension of the Jordan-Brouwer separation theorem”, Transactions of the American Mathematical Society, 23, p. 333–349, doi: 10.2307/1988883 (http://www.ams.org/journals/tran/1922-023-04/S0002-9947-1922-1501206-6), RIS, BibTeX.
Il s’agit du premier théorème de dualité homologique prouvé depuis le théorème de dualité de Poincaré. Alexander établit à l’aide de la notion de nombre d’enlacement de deux cycles disjoints une dualité entre l’homologie d’un complexe plongé dans un espace euclidien et celle de son complémentaire. Depuis, on parle de « dualité d’Alexander ».
(1925). “Relations between the critical points of a real function of n independent variables”, Transactions of the American Mathematical Society, 27, p. 345–396 (http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-03/S0002-9947-1925-1501318-X/S0002 (...)), RIS, BibTeX.
(1929). “The critical points of functions and the calculus of variations in the large.”, Bulletin of the American Mathematical Society, 35, p. 38–54 (http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183493097), RIS, BibTeX.
Les textes fondateurs de Morse sur la théorie qui allait porter son nom.
(1931). “Sur l’analysis situs des variétés à n dimensions”, Journal de Maths. Pures et Appliquées, (9) 10, p. 115–200 (http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1931_9_10_A2_0.pdf), RIS, BibTeX.
de Rham prouve que sur une variété close orientée et lisse, une forme différentielle fermée est déterminée, à une forme exacte près, par ses périodes, c’est-à-dire par ses intégrales sur une base de cycles de même dimension (pour l’homologie à coefficients réels). De plus, il prouva que ces périodes peuvent être arbitrairement prescrites. Quelques années plus tard, lors de l’introduction des « groupes de cohomologie », on allait reformuler cela en disant que la « cohomologie de de Rham » est duale de l’homologie de la variété à coefficients réels.
(1931). “Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen, 104, p. 637–665 (http://www.digizeitschriften.de/en/dms/img/?PID=GDZPPN002274760), RIS, BibTeX.
Hopf y détermine les classes d’homotopie d’applications continues de la sphère de dimension $3$ vers la sphère de dimension $2$. Quelques années plus tard, ses résultats allaient être interprétés comme le fait que $\pi_3(\mathbb{S}^2) \simeq \mathbb{Z}$. La fibration de Hopf est définie dans la section 5 de l’article.
(1933). “On the connection between the fundamental groups of some related spaces”, American Journal of Mathematics, 55, p. 261–267 (http://www.jstor.org/stable/51000091), RIS, BibTeX.
Van Kampen y prouve le théorème qui porte son nom, sur la manière de calculer le groupe fondamental d’un espace à partir d’une décomposition en espaces plus simples.
(1933). “Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume”, Acta Math., 60, p. 147–238 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/seifert3.pdf), RIS, BibTeX.
(1980). “Topology of 3-dimensional fibered spaces”, in Seifert and Threlfall : a textbook of topology., Traduction par Wolfgang Heil, Academic Press, p. 359–422 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/seifthreng.pdf), RIS, BibTeX.
C’est dans cet article que Seifert introduit la notion de fibré qui porte son nom, et qu’il classifia ces fibrés à homéomorphismes préservant les fibrations près.
(1936). “Differentiable Manifolds”, Annals of Mathematics, 37(3), p. 645–680 (http://www.jstor.org/stable/51000091), RIS, BibTeX.
Les variétés considérées par Poincaré dans les paragraphes 1 et 3 de l’Analysis Situs étaient des sous-ensembles de $R^n$. Dans les années 1920 apparut une autre vision de cette notion, intrinsèque, par recollements de cartes. Dans cet article, Whitney prouve entre autres qu’elle n’est pas plus générale que la première : toute variété abstraite peut se plonger dans un espace $R^n$.
(1943). “Homology with local coefficients”, Annals of Mathematics. Second Series, 44, p. 610–627 (http://www.jstor.org/stable/1969099), RIS, BibTeX.
Steenrod développe systématiquement des notions d’homologie et cohomologie « à coefficients locaux », en généralisant des constructions antérieures de De Rham, Reidemeister et Whitney. Si à partir de Poincaré, les chaînes utilisées étaient des sommes formelles de cellules ayant des coefficients dans un groupe fixé une fois pour toutes, ici on permet au groupe de varier d’un point à un autre de l’espace — ce qui annonce la notion de faisceau. Mais, à la différence de ce qui se passera pour les faisceaux, on a ici la contrainte essentielle suivante : les groupes associés aux points d’un même simplexe doivent être canoniquement identifiés. Un exemple fondamental mentionné par Steenrod dans son introduction est le suivant :
« Any fibre bundle over a base space $R$ determines many such systems in $R$ (one for each homology group, homotopy group, etc., of the fibre). »
(1945). “Axiomatic approach to homology theory”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 31, p. 117–120 (https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1078770/pdf/pnas01673-0013.pdf), RIS, BibTeX.
Citons in extenso la courte introduction de cet article :
« The present paper provides a brief outline of an axiomatic approach to the concept : homology group. It is intended that a full development should appear in book form.The usual approach to homology theory is by way of the somewhat complicated idea of a complex. In order to arrive at a purely topological concept, the student of the subject is required to wade patiently through a large amount of analytic geometry. Many of the ideas used in the constructions, such as orientation, chain and algebraic boundary, seem artificial. The motivation for their use appears only in retrospect.
Since, in the case of homology groups, the definition by construction is so un-wieldy, it is to be expected that an axiomatic approach or definition by properties should result in greater logical simplicity and in a broadened point of view. Naturally enough, the definition by construction is not eliminated by the axiomatic approach. It constitutes an existence proof or proof of consistency. »
(1949). “Combinatorial homotopy I”, Bulletin of the American Mathematical Society, 55, p. 213–245 (http://www.ams.org/journals/bull/1949-55-03/S0002-9904-1949-09175-9/home.htm (...)), RIS, BibTeX.
L’auteur y introduit au passage les CW-complexes, comme un outil plus maniable pour les questions homotopiques que les complexes cellulaires utilisés auparavant.
(1954). “Quelques propriétés globales des variétés différentiables”, Comment. Math. Helv., 28, p. 17-86 (https://eudml.org/doc/139072), RIS, BibTeX.
L’idée fondamentale de l’homologie à la Poincaré est de considérer comme équivalentes deux sous-variétés closes d’une variété donnée lorsque leur « différence » est le bord d’une sous-variété à bord. L’idée fondamental de cet article de Thom est qu’il n’est pas nécessaire pour faire cela d’avoir une variété ambiante ! On obtient alors des analogues absolus des groupes d’homologie, qui allaient être appelés plus tard « groupes de bordisme du point » (voir à ce sujet notre rubrique Introduction à l’homologie via le bordisme). Les résultats de cet article révolutionnèrent la topologie algébrique et différentielle, en permettant par exemple à Hirzebruch de démontrer son théorème de la signature, qui à son tour est la base technique de la découverte par Milnor de « sphères exotiques ».
(1956). “On manifolds homeomorphic to the 7-sphere”, Annals of Mathematics. Second Series, 64, p. 399–405 (http://www.jstor.org/stable/1969983), RIS, BibTeX.
Milnor y construit à l’aide des quaternions des variétés lisses de dimension $7$ qui sont homéomorphes mais pas difféomorphes à la sphère usuelle de dimension $7$ (on les qualifiera par la suite de « sphères exotiques »). Cela montra pour la première fois qu’il y a une différence majeure entre les notions de variétés homéomorphes et difféomorphes.
(1957). “On Dehn’s lemma and the asphericity of knots”, Annals of Mathematics. Second Series, 66, p. 1–26, doi: 10.2307/1970113 (http://dx.doi.org/10.2307/1970113), RIS, BibTeX.
Extrait du review de Ralph H. Fox :
« Although it is not yet possible to evaluate the impact of this important paper on the development of geometric topology, it has already led to renewed attack on the problem of classifying the 3-dimensional manifolds ; significant results have been and are being obtained. A complete solution has suddenly become a definite possibility.Solution of these problems, especially of the Dehn Lemma problem, fills a gap of long standing in our knowledge of 3-dimensional spaces. However, the importance of this paper lies even more in the method used. The geometry of covering spaces is exploited heavily, underscoring again the basic nature of this construction. This is a paper which must be read by every student of 3-dimensional topology. »
Fox ne s’est pas trompé, cet article a déclenché une étape de grandes découvertes dans l’étude topologique des variétés de dimension $3$.
(1960). “The generalized Poincaré conjecture in higher dimensions”, Bulletin of the American Mathematical Society, 66, p. 373–375 (http://www.ams.org/journals/bull/1960-66-05/S0002-9904-1960-10458-2), RIS, BibTeX.
(1961). “Generalized Poincaré’s conjecture in dimensions greater than four”, Annals of Mathematics. Second Series, 74, p. 391–406 (http://www.jstor.org/stable/1970239), RIS, BibTeX.
Le premier article annonce et le deuxième prouve un analogue de la conjecture de Poincaré en grande dimension : toute sphère d’homologie entière lisse et simplement connexe de dimension au moins $5$ est homéomorphe à une sphère usuelle.L’article de Milnor de 1956 cité plus haut montre que l’on ne peut pas remplacer dans cet énoncé la notion d’homéomorphisme par celle de difféomorphisme. Smale combine de manière magistrale la théorie de Morse et l’homologie pour montrer qu’une variété satisfaisant les hypothèses précédentes peut être munie d’une fonction de Morse n’ayant que deux points critiques, un minimum et un maximum. Par un lemme de Reeb utilisé aussi par Milnor dans l’article de 1956, cela entraîne que la variété est homéomorphe à une sphère. Pour avoir plus de détails sur cette preuve, on pourra lire le survol de Cooper de 2008 cité plus bas.
(1982). “The topology of four-dimensional manifolds”, Journal of Differential Geometry, 17, p. 357–453 (https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437136), RIS, BibTeX.
Freedman prouve d’une part que les variétés topologiques closes, simplement connexes et orientées de dimension $4$ sont déterminées par leur forme d’intersection sur le second groupe d’homologie et un invariant dit de Kirby-Siebenmann, lui aussi de nature homologique. D’autre part, il prouve que toute combinaison de tels invariants a priori possible apparaît effectivement. En particulier, il obtient l’analogue de la conjecture de Poincaré en dimension $4$ : toute sphère d’homologie entière lisse et simplement connexe de dimension $4$ est homéomorphe à une sphère usuelle. On ne sait toujours pas si l’énoncé reste vrai en remplaçant « homéomorphe » par « difféomorphe ».
(1983). “An application of gauge theory to four-dimensional topology”, Journal of Differential Geometry, 18, p. 279–315 (https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437665), RIS, BibTeX.
En fort contraste avec les résultats de Freedman de l’article précédent, Donaldson prouve qu’il y a de fortes obstructions sur les formes d’intersection associées aux variétés closes, simplement connexes, orientées et lisses de dimension $4$. Cet article marque l’avènement des « théories de jauge » dans la topologie en basse dimension.
(2002). “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”, ArXiv:math.DG/0211159 (http://front.math.ucdavis.edu/0211.5159), RIS, BibTeX.
(2003). “Ricci flow with surgery on 3-manifolds”, ArXiv:math.DG/03035109 (http://front.math.ucdavis.edu/0303.5109), RIS, BibTeX.
(2003). “Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds”, ArXiv:math.DG/03075245 (http://front.math.ucdavis.edu/0307.5245), RIS, BibTeX.
La complétion du programme de géométrisation des variétés de dimension $3$, élaboré par Thurston à la fin des années 1970. En particulier, Perelman obtient la preuve de la conjecture de Poincaré.
Textes de survol
(1907). “Analysis Situs”, in Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften III AB 3, B.G. Teubner Verlag, p. 153–220 (http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PID=PPN360609635%7CLOG_0 (...)), RIS, BibTeX.
Il s’agit du premier article de survol de l’analysis situs postérieur aux travaux de Poincaré. Complexes polyédraux, nombres de Betti et invariants de torsion, dualité de Poincaré, homotopie, isotopie, classification des surfaces, groupe fondamental, problème de classification des nœuds.
(1908). “Über die topologische Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten”, Monatshefte für Mathematik und Physik, 19, p. 1–118, RIS, BibTeX.
“On the topological invariants of multidimensional manifolds. Translation by John Stillwell of the German edition of 1908” (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/haupt/Tietze1908.pdf), RIS, BibTeX.
Le deuxième survol de l’analysis situs postérieur aux travaux de Poincaré, le premier étant celui de Dehn et Heegaard mentionné plus haut. Il montre entre autres que les nombres de Betti et les invariants de torsion d’une variété close et orientée de dimension $3$ sont déterminés par son groupe fondamental. À noter l’introduction des variétés lenticulaires dans la section 20.
(1932). “The calculus of variations in the large”, Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Kongresses Zürich, p. 173-188 (http://www.mathunion.org/ICM/ICM1932.1/Main/icm1932.1.0173.0188.ocr.pdf), RIS, BibTeX.
(1942). “What is analysis in the large ?”, The American Mathematical Monthly, 49, p. 358–364 (http://www.jstor.org/stable/2303130), RIS, BibTeX.
Morse lui-même y présente les idées fondamentales de la « théorie de Morse ». On recommande aux lecteurs de ne pas rater dans le deuxième article l’exemple de fonction sur un tore tridimensionnel, construite pour montrer l’existence de « triangles de lumière » rebondissant sur trois courbes du plan.
(1936). “La topologie des espaces représentatifs des groupes de Lie”, L’Enseignement Mathématique, 35, p. 177–200 (http://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1936:35::77), RIS, BibTeX.
Magnifique état des lieux sur la topologie des groupes de Lie connexes, centré sur les groupes de Lie simples compacts. On y apprend en particulier pourquoi leurs groupes fondamentaux sont finis, pourquoi leurs deux premiers nombres de Betti sont nuls et pourquoi leur troisème nombre de Betti n’est jamais nul.
(1936). “La théorie des nœuds”, L’Enseignement Mathématique, 35, p. 201–212 (http://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1936:35::86), RIS, BibTeX.
Les « surfaces de Seifert » sont toujours fondamentales pour étudier les nœuds et les entrelacs dans la sphère de dimension $3$ ou, plus généralement, dans toute sphère d’homologie entière. On découvrira ici comment Seifert lui-même en expliquait l’importance, juste au moment où il créait cet outil.
(1936). “Relations entre la topologie et la théorie des intégrales multiples”, L’Enseignement Mathématique, 35, p. 213–228 (http://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1936:35::87), RIS, BibTeX.
Dans l’article Poincaré et les résidus des intégrales doubles nous examinons comment Poincaré créa une théorie des résidus pour les intégrales doubles à $2$ variables complexes. Il aborda à nouveau dans le §7 de l’« Analysis Situs » une partie des problèmes rencontrés à cette occasion (voir aussi nos Commentaires à ce sujet). La théorie de la cohomologie de De Rham clarifia les liens entre homologie des cycles et intégration, que Poincaré avait ainsi commencé à explorer, sans épuiser le problème de l’extension de la théorie des résidus en dimension quelconque. Dans cet article, de Rham explique comment la combinaison des cycles et des formes différentielles en des objets mixtes, qu’il appelle « courants », permet de progresser dans ce problème. Mentionnons que la notion de courant sera reformulée par Laurent Schwartz à l’aide de sa notion de « distribution ».
(1936). “Quelques résultats récents de la topologie des variétés”, L’Enseignement Mathématique, 35, p. 242–255 (http://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1936:35::96), RIS, BibTeX.
Survol des utilisations de la notion de fibré de Seifert. Il y est question entre autres des variétés lenticulaires (la raison du choix de ce nom étant expliquée à la page 247), de la variété dodécaédrique de Poincaré et de celle de Seifert-Weber. Voici un extrait de la page 252 de l’article :
« Il s’en suit que les espaces de Poincaré fibrés sont univoquement caractérisés par leurs invariants de fibration. Par exemple l’espace dodécaédrique sphérique et le premier espace de Poincaré, découvert par Poincaré lui-même, peuvent être fibrés. Puisque les invariants de fibration, dont nous avons parlé plus haut, sont les mêmes pour les deux espaces, ceux-ci sont homéomorphes. Il est peu probable qu’on eût atteint ce résultat sans la théorie des espaces fibrés. »
(1946). “Some new viewpoints in differential geometry in the large”, Bulletin of the American Mathematical Society, 52, p. 1–30 (http://www.ams.org/journals/bull/1946-52-01/S0002-9904-1946-08487-6), RIS, BibTeX.
Voici un extrait de l’introduction :
« It is the main aim of the present article to emphasize the importance, for the global study of manifolds with a geometric being, of drawing into consideration new topological spaces associated with the manifold. In fact, this idea is important for both local and global aspects of differential geometry. For local problems it is certainly very familiar to Elie Cartan, who introduced the notion of tangent space (“espace tangent”) for his general theory of geometric beings (affine connections, projective connections, conformai connections, and so on). The tangent space in the sense of Cartan is not always the space of tangent vectors and therefore constitutes one of the sources of difficulty for the understanding of his work. On the other hand, recent works on fibre bundles in topology (Stiefel, Whitney, Feldbau, Ehresmann, Pontrjagin, Steenrod, and so on) seem to lay the foundation for a global theory of the ideas of Cartan. It is a conviction of the author that a mingling of these two streams of thought will give the ideas and tools better adaptable to the study of differential geometry in the large than hitherto achieved. The present article will be devoted to a discussion of different aspects of the problem arising from this viewpoint. »
(1961). “La théorie des formes différentielles extérieures et l’homologie des variétés différentiables”, Rend. Mat. e Appl., 20, p. 105–146 (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-10952-2_1), RIS, BibTeX.
de Rham y présente la théorie de de Rham. 🙂 Voici la première phrase de l’article :
« Dans ces leçons, je me suis proposé d’exposer quelques points essentiels de la théorie des formes différentielles et de l’homologie des variétés différentiables, en prenant les choses dès le début, d’une manière aussi simple qu’il a paru possible sans escamoter les difficultés des démonstrations. »
(1961). “The cohomology algebra of a space”, L’Enseignement Mathématique (2), 7, p. 153–178 (http://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1961:7::45), RIS, BibTeX.
Survol des avancées dans la résolution du problème de déterminer la structure des algèbres de cohomologie des complexes cellulaires ou des variétés.
(1962). “The topology of normal singularities of an algebraic surface”, Séminaire Bourbaki, 8 (http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1962-1964__8__129_0), RIS, BibTeX.
Hirzebruch décrit les idées principales de la preuve d’un théorème de Mumford, montrant que l’on ne peut pas obtenir de contre-exemple à la conjecture de Poincaré comme bord (ou link) d’une singularité isolée de surface algébrique complexe : si on intersecte cette surface avec une sphère de rayon suffisamment petit centrée au point singulier, et que cette intersection est simplement connexe, alors elle est homéomorphe à une sphère. Notons qu’à la dernière page Hirzebruch remarque que le bord de la singularité à l’origine de la surface d’équation $x^2 + y^3 + z^5 =0$, qui n’est autre que la sphère de Brieskorn $\Sigma(2,3,5)$, est homéomorphe au quotient de la sphère de dimension trois par le groupe binaire icosaédrique, ou groupe des icosions.Nous recommandons de compléter cette lecture par celle de l’article de Brieskorn de 2000 cité plus bas.
(1962). “A quick trip through knot theory”, in Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961), Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., p. 120–167 (http://www.math.uic.edu/~kauffman/QuickTrip.pdf), RIS, BibTeX.
Ce « voyage rapide » permet de découvrir l’état de la recherche en théorie des nœuds au début des années 1960 : l’utilisation du « calcul différentiel de Fox » pour étudier le groupe fondamental du complémentaire du nœud, ainsi que les revêtements cycliques de la sphère ramifiés le long de celui-ci.
(1963). “A survey of some recent developments in differential topology”, Bulletin of the American Mathematical Society, 69, p. 131–145 (http://www.ams.org/journals/bull/1963-69-02/S0002-9904-1963-10901-5), RIS, BibTeX.
À la suite de la découverte par Milnor de l’existence de « sphères exotiques » en dimension $7$, puis de la preuve par Smale de l’analogue de la conjecture de Poincaré en dimension au moins $5$ (voir leurs articles fondateurs de 1956 et 1960—61 cités plus haut), la topologie différentielle a vécu une période de développements incroyables aux alentours de 1960. Smale décrit ici certains des résultats qu’il jugeait les plus importants dans cette direction de recherche.Les lecteurs curieux de découvrir comment a évolué la topologie différentielle après 1965 pourront lire l’article de Milnor de 2011 cité plus bas.
(1974). “The topology of real projective algebraic varieties”, Russian Mathematical Surveys, 29, p. 1–79, RIS, BibTeX.
Pour les lecteurs ayant apprécié notre article Topologie des courbes algébriques planes réelles. Ce survol complètera celui de Viro de 1974 cité plus bas. Voici un extrait du review de Viatcheslav Kharlamov :
« For a long time the study of the topology of real algebraic varieties as originated by A. Harnack, K. Rohn, D. Hilbert and other mathematicians was an isolated and insufficiently developed field of mathematics. It was only in 1971–1972 that V. I. Arnold and V. A. Rohlin found a way to include it into the modern theory of algebraic and differential topology. The paper under review is a nearly exhaustive survey of results from 1876 to 1974 on the topology of real algebraic varieties. It may be divided into two parts. One of them (§§ 2–7, 11) deals with methods and results of “classical” nature. The other part (§§ 8–10) is devoted to the modern methods due to Arnold and Rohlin. Most of the results are supplied with proofs. Several conjectures are formulated. »
(1975). “On the shape of a curve”, Advances in Mathematics, 16, p. 144–159 (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870875901474), RIS, BibTeX.
Bott réalise le tour de force de mener le lecteur novice dans le domaine de la topologie ou de la géométrie algébriques de la question de savoir combien de racines a un polynôme donné à coefficients réels jusqu’aux conjectures de Weil, en passant par les notions de surface de Riemann, caractéristique d’Euler-Poincaré, cohomologie de De Rham et formule des points fixes de Lefschetz.
(1976). “Variations on a theorem of Abel”, Inventiones Mathematicae, 35, p. 321–390 (https://publications.ias.edu/sites/default/files/variationsonatheorem.pdf), RIS, BibTeX.
Les travaux d’Abel sur les intégrales que Jacobi a qualifiées d’« Abéliennes » ont été fondamentaux pour le développement de nombreuses branches de la géométrie. Par exemple, ce sont eux qui ont mené Riemann à étudier l’Analysis Situs des surfaces qui portent son nom. Griffiths explique ici aux lecteurs initiés à la géométrie algébrique complexe ce qu’a démontré Abel concernant les intégrales qui portent son nom, et comment ses travaux peuvent constituer une source d’inspiration encore 150 ans après leur élaboration.
(1977). “The multiplicity of a holomorphic map at an isolated critical point”, in Real and complex singularities (Proc. Ninth Nordic Summer School/NAVF Sympos. Math., Oslo, 1976), Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn, p. 405–474, RIS, BibTeX.
Riemann construisit ses surfaces comme des revêtements ramifiés d’ouverts du plan des nombres complexes. Aux points de ramification, ces revêtements sont définis par des germes de fonctions holomorphes à une variable $z \mapsto f(z)$. Les applications holomorphes dont il est question dans le titre de cet article sont des généralisations à un nombre quelconque de variables :$$(z_1, ..., z_n) \mapsto (f_1(z_1, ..., z_n), ..., f_n(z_1, ..., z_n))$$
telles que l’origine est un point isolé du lieu des zéros communs de $f_1, ..., f_n$. Orlik examine divers points de vue sur la manière d’attribuer une multiplicité à ce zéro commun. Certains sont homologiques ou cohomologiques.
(1979). “From triangles to manifolds”, American Mathematical Monthly, 86, p. 339–349, doi: 10.2307/2321093 (https://math.la.asu.edu/~kawski/classes/apm581/09sprg/chern.pdf), RIS, BibTeX.
Voici le review de Richard L. Bishop :
« In this expository article the author traces the development of geometry surrounding the Euler characteristic. The paper starts simply enough, with the Euclidean theorem that the sum of the exterior angles of a triangle is $2 \pi$. In the end it encompasses most of the topics popular in differential topology and global analysis, in particular, characteristic classes and the index of elliptic operators. Thus, the author emphasizes the relation between local analytic invariants and global topological invariants, much of which originated in his own work. Although enjoyable for experts, it is evidently written for those with a limited knowledge of geometry and topology, carefully avoiding overly technical material. Once again, the author has produced a masterful piece of exposition which deserves the gratitude of all who find geometry fascinating. »
(1979). “The topological theory of defects in ordered media”, Reviews of Modern Physics, 51, p. 591–648, doi: 10.1103/RevModPhys.51.591, RIS, BibTeX.
On y découvre comment la théorie du groupe fondamental permet d’étudier les défauts dans les milieux physiques continus. Aucune connaissance topologique préalable n’est requise.
(1979). “Eight faces of the Poincaré homology 3-sphere”, in Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), Academic Press, New York-London, p. 113–146 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/kirbysch.pdf), RIS, BibTeX.
Nous nous sommes inspirés de cet article pour réaliser le contenu de notre rubrique Variété dodécaédrique de Poincaré. Y sont présentés à la curiosité du lecteur ayant une certaine maturité en topologie de dimension $3$ (avoir étudié la rubrique précédente suffit amplement !) huit points de vue sur la sphère d’homologie de Poincaré.
(1979). “Fifteen characterizations of rational double points and simple critical points”, L’Enseignement Mathématique. IIe Série, 25, p. 131–163 (http://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1979:25::59), RIS, BibTeX.
La sphère d’homologie de Poincaré est un cas particulier de sphère de Brieskorn, comme nous l’expliquons dans l’article La sphère de Brieskorn $\Sigma(2,3,5)$ est la sphère d’homologie de Poincaré. Il s’agit donc du bord d’une singularité isolée de surface de l’espace complexe de dimension $3$. Cette singularité, notée $E_8$, fait partie de l’une des classes de singularités de surfaces qui admettent le plus de caractérisations : les singularités Kleinéennes, appelées aussi points doubles rationnels. Durfee décrivit 15 caractérisations des singularités Kleinéennes dans cet article qui demande des connaissances de base en homologie et géométrie algébrique, mais pas en théorie des singularités.
(1981). “The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz”, Topology, 20, p. 15–51, doi: 10.1016/0040-9383(81)90013-6 (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938381900136), RIS, BibTeX.
Dans son livre « L’Analysis Situs et la géométrie algébrique » de 1925, Lefschetz étendit en dimension quelconque les considérations de Poincaré sur l’homologie des surfaces algébriques complexes décrites dans le Quatrième complément à l’Analysis Situs. Lamotke présente les résultats de Lefschetz de manière moderne, en expliquant clairement lesquels n’ont jamais pu être prouvés complètement en suivant l’approche de Lefschetz. Il s’agit essentiellement du « théorème de Lefschetz difficile », qui n’a été prouvé qu’en utilisant la théorie de Hodge.
(1982). “Lectures on Morse theory, old and new”, Bulletin of the American Mathematical Society. New Series, 7, p. 331–358, doi: 10.1090/S0273-0979-1982-15038-8, RIS, BibTeX.
(1988). “Morse theory indomitable”, Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques, 68, p. 99–114, RIS, BibTeX.
Bott a été l’un des grands maîtres de la théorie de Morse. Le premier article est une présentation des principales utilisations de cette théorie faites jusqu’en 1980, et le deuxième explique que, au vu de la quantité de nouvelles utilisations et réinterprétations obtenues après 1980, on peut raisonnablement dire que « la théorie de Morse est indomptable ».
(1982). “Hyperbolic geometry : the first 150 years”, Bulletin of the American Mathematical Society. New Series, 6, p. 9–24 (http://www.ams.org/journals/bull/1982-06-01/S0273-0979-1982-14958-8), RIS, BibTeX.
Il s’agit d’un rapide survol du développement de la géométrie hyperbolique à partir des travaux fondateurs de Bolyai-Lobachevsky et jusqu’aux travaux de Thurston sur la structure topologique des variétés de dimension $3$.
(1982). “The word problem and the isomorphism problem for groups”, Bulletin of the American Mathematical Society. New Series, 6, p. 33–56 (http://www.ams.org/journals/bull/1982-06-01/S0273-0979-1982-14963-1), RIS, BibTeX.
Contient un historique concis des problèmes du mot et de l’isomorphisme pour les groupes de présentation finie, ainsi qu’une preuve simplifiée du fait qu’aucun des deux n’est résoluble. L’importance de ces résultats pour la topologie est décrite ainsi dans le premier paragraphe de l’article :
« If the fundamental problem of mathematics is to decide when two things are the same, then the fundamental problem of group theory is to decide when two groups are isomorphic. This problem was first stated, for finitely presented groups, by Tietze [1908], and proved unsolvable by Adian and Rabin 50 years later. Using their result, Markov [1958] proved the unsolvability of the fundamental problem of topology ; the homeomorphism problem. Of course, combinatorial group theory and topology grew up together, and their connection via the fundamental group was well known ; the bridge between them and logic is the word problem for groups, proved unsolvable by Novikov in 1955. »
(1983). “The geometries of 3-manifolds”, Bulletin of the London Mathematical Society, 15, p. 401–487 (http://www.math.lsa.umich.edu/~pscott/8geoms.pdf), RIS, BibTeX.
Voici les premières lignes de l’introduction :
« The theory of 3-manifolds has been revolutionised in the last few years by work of Thurston. He has shown that geometry has an important role to play in the theory in addition to the use of purely topological methods. The basic aim of this article is to discuss the various geometries which arise and explain their significance for the theory of 3-manifolds. The idea is that many $3$-manifolds admit ’nice’ metrics which give one new insight into properties of the manifolds. »
(1985). “The number of faces of simplicial polytopes and spheres”, in Discrete geometry and convexity (New York, 1982), New York Acad. Sci., New York, p. 212–223 (http://dedekind.mit.edu/~rstan/pubs/pubfiles/54.pdf), RIS, BibTeX.
Dans cet article de survol on pourra découvrir comment les techniques homologiques, combinées avec de la géométrie commutative ou algébrique des années 1970, permettent de caractériser d’une part le nombre maximal de faces d’un complexe simplicial homéomorphe à une sphère en fonction de sa dimension et du nombre de sommets, d’autre part les multiplets formés par les nombres de faces de toutes les dimensions des polyèdres convexes dont toutes les faces sont des simplexes. La question reste ouverte pour les polyèdres convexes généraux.
(1986). “Progress in the topology of real algebraic varieties in the last six years”, Russian Mathematical Surveys, 41, p. 55–82, RIS, BibTeX.
Pour les lecteurs ayant apprécié notre article Topologie des courbes algébriques planes réelles. Ce survol complètera celui de Gudkov de 1974 cité plus haut.
(1988). “The geometries of 3-manifolds”, American Mathematical Monthly, 95, p. 195–242 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/kauffmannew.pdf), RIS, BibTeX.
Voici un extrait de l’introduction :
« In this article I will concentrate on a diagrammatic approach to invariants of knots. I will talk about connections with graph theory, physics, and other topics. In the process I shall construct the Jones polynomial and its associated algebra. I will also discuss generalizations of the Jones polynomial due to myself and others. [...] We’ll also explain how proofs of some old conjectures about alternating knots emerge from this work [...]. »
(1988). “New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds”, in The mathematical heritage of Hermann Weyl (Durham, NC, 1987), collection « Proc. Sympos. Pure Math. 48 », Amer. Math. Soc., Providence, RI, p. 285–299 (http://dx.doi.org/10.1090/pspum/048/974342), RIS, BibTeX.
Extrait du review de Pankaj Topiwala :
« This is an introductory article such as only this author could have written. In one sweep, he surveys the recent peaks of progress in 3- and 4-dimensional topology, due mainly to Donaldson and Floer, with ideas of Taubes and Witten. The central theme is to study the quantum field theory of gauge fields on a manifold to discover its topology. »
(1991). “Division algebras and topology”, in Numbers, collection « Graduate Texts in Mathematics, 123 », Springer-Verlag, New York, p. 281–302 (http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1005-4), RIS, BibTeX.
Sur notre site nous faisons une introduction aux quaternions. Il s’agit d’une algèbre à division sur le corps des nombres réels : tout élément non-nul est inversible des deux côtés. Hirzebruch explique les idées principales de la preuve du fait qu’une algèbre à division est nécessairement de dimension $1, 2, 4$ ou $8$ en tant qu’espace vectoriel réel. Cette preuve utilise en continu des outils de topologie algébrique : homologie et cohomologie, classes caractéristiques de Stiefel-Whitney et K-théorie.
(1995). Handbook of algebraic topology, North-Holland, Amsterdam, ISBN: 0-444-81779-4 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/handbat.pdf), RIS, BibTeX.
Ce recueil de survols peut être vu comme un pendant de topologie algébrique de celui de topologie géométrique paru en 2002 sous la direction de Robert J. Daverman et Richard B. Sher cité plus bas. Voici un extrait de la préface écrite par Ioan M. James :
« Henri Poincaré may be regarded as the father of Topology. Of course many of the ideas which he developed originated earlier, with Bernhard Riemann above all. But in his monumental “Analysis Situs” Poincaré organized the subject for the first time. In the centenary year of its publication it seems appropriate to dedicate this Handbook to his memory.In Poincaré’s work the discussion is mainly conducted in geometric terms. It was not until much later that the value of a more algebraic approach became recognized. By the thirties the terms “Algebraic Topology” and “Geometric Topology” had come into use, although the two parts of the subject remained closely related, as they do to this day. This Handbook deals only with the algebraic side.
Since Algebraic Topology is still developing rapidly any attempt to cover the whole subject would soon be out-of-date. So instead of a comprehensive overview, which would be bound to occupy several volumes, it seemed better to put together a collection of articles, dealing with most of the areas in which research is active at the present time. »
En parcourant la table des matières, on découvre qu’en 1995 la topologie algébrique est essentiellement consacrée à des questions homotopiques.
(1996). “All the way with Gauss-Bonnet and the history of mathematics”, American Mathematical Monthly, 103, p. 457–469 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/gottliebgb.pdf), RIS, BibTeX.
Voici un extrait de l’introduction :
« In this paper I show how the basic concept of angle leads naturally to the basic topological ideas of degree of mapping and of the Euler-Poincaré Number.
My story spans the history of mathematics. It concerns what may be the most widely known non-obvious theorem of mathematics and it contains the same stunning generalization that characterizes the recent history of the Euler-Poincaré number. In fact, it concerns one of the most important and earliest of the applications of the Euler-Poincaré number. »
(1996). “Patchworking algebraic curves disproves the Ragsdale conjecture”, The Mathematical Intelligencer, 18, p. 19–28 (https://www.math.stonybrook.edu/~oleg/math/papers/1996-Pw4Intellig1.pdf), RIS, BibTeX.
Voici le review d’Eugenii Shustin :
« The article describes in detail an exciting construction of real plane algebraic curves, providing counterexamples to the 90-year-old conjecture by Ragsdale on oval arrangements of real plane curves of even degree. This construction, found by I. Itenberg, is a version of a general method of building real algebraic varieties, discovered by O. Viro 17 years ago. The construction procedure is as follows : given a triangulation, an integral polygon and a distribution of signs at integral points of the polygon, this information defines a broken line in the plane. The basic Viro theorem states that under certain combinatorial conditions on the triangulation, there exists a real plane algebraic curve with the given polygon as its Newton polygon, and whose ovals are located in the plane as components of the broken line constructed. »Nous recommandons cet article aux lecteurs alléchés par notre article Topologie des courbes algébriques planes réelles. La méthode de Viro est toujours l’outil le plus puissant pour construire des hypersurfaces algébriques réelles à topologie plongée connue dans les espaces projectifs réels.
(1998). “How to see 3-manifolds”, Classical and Quantum Gravity, 15, p. 2545–2571 (http://dx.doi.org/10.1088/0264-9381/15/9/004), RIS, BibTeX.
Voici le review de Colin C. Adams :
« In Fall of 1997, there was a conference on cosmology and topology held at Case Western Reserve, where the essential question discussed was, “Is the spatial universe hyperbolic, and if so, how would one recognize this fact ?”This paper is W. Thurston’s contribution to the proceedings of that conference. In it, he gives a nontechnical overview of the current state of affairs in 3-manifold topology from the point of view of geometries that can be put on manifolds, and discusses what the experience is like if one is inside a manifold or orbifold. What do we see ? How do we recognize the singular set ? How do we recognize high Dehn surgeries ? Explicit examples from Jeff Weeks’ hyperbolic structures program SNAPPEA are utilized to illustrate the points. The exposition is impressionistic and not intended to be rigorous. »
(2000). “Singularities in the work of Friedrich Hirzebruch”, in Surveys in Differential Geometry, Volume 7, Int. Press, Sommerville, MA, p. 17–60 (http://intlpress.com/site/pub/files/_fulltext/journals/sdg/2002/0007/0001/SD (...)), RIS, BibTeX.
On y apprend des choses passionnantes sur la sphère d’homologie de Poincaré et son interprétation en tant que sphère de Brieskorn, sur la construction de sphères exotiques comme bords de singularités de Brieskorn-Pham, sur la construction de surfaces algébriques complexes aux propriétés spéciales et sur bien d’autres aspects de la topologie des variétés algébriques complexes.
(2002). Handbook of geometric topology, North-Holland, Amsterdam, ISBN: 0-444-82432-4 (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/handgt.pdf), RIS, BibTeX.
Ce recueil de survols peut être vu comme un pendant de topologie géométrique de celui de topologie algébrique paru en 1995 sous la direction de Ioan M. James cité plus haut. Voici un extrait de la préface écrite par les éditeurs :
« Geometric Topology focuses on matters arising in special spaces such as manifolds, simplicial complexes, and absolute neighborhood retracts. Fundamental issues driving the subject involve the search for topological characterizations of the more important objects and for topological classification within key classes. Undoubtedly the most famous question of them all is the still unsettled Poincaré Conjecture, dating from 1904, which posits that any simply-connected compact 3-manifold (without boundary) is topologically the 3-sphere. This is a prototypical problem for the subject : within a given class (3-manifolds), do elementary topological properties (simple-connectedness and compactness) yield a strong global conclusion (being the 3-sphere) ? »L’année suivante Perelman prouvait la conjecture de Poincaré par des techniques profondes d’analyse géométrique ...
(2004). “René Thom’s work on geometric homology and bordism”, Bulletin of the American Mathematical Society, 41, p. 341–350 (http://www.ams.org/journals/bull/2004-41-03/S0273-0979-04-01026-2/home.html), RIS, BibTeX.
Survol des travaux de Thom sur le bordisme, et discussion de leur importance. Notons que l’un de nos articles est entièrement consacré à des travaux de Thom. Et son premier article est commenté vers la fin de notre texte historique sur la théorie de Morse.
(2005). “Introduction to residues and resultants”, in Solving polynomial equations, collection « Algorithms Comput. Math. », Springer, Berlin, p. 1–61 (http://mate.dm.uba.ar/~alidick/papers/chapter1cd.pdf), RIS, BibTeX.
Une introduction à la théorie moderne des résidus et à ses liens avec la théorie des résultants (les deux notions se notent bien parfois « res » !), pour les lecteurs curieux de savoir ce qui s’est passé depuis l’article de Poincaré de 1886 que nous commentons dans Poincaré et les résidus des intégrales doubles.
(2006). “The Poincaré conjecture”, in The millennium prize problems, Clay Math. Inst., Cambridge, MA, p. 71–83 (http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf), RIS, BibTeX.
L’un des grands maîtres de la topologie différentielle décrit les principales étapes de la lignée de recherche centrée autour de la conjecture de Poincaré, en partant de certaines approches inabouties, passant par les preuves des analogues de la conjecture en dimension au moins $4$ par Smale, Stallings, Zeeman et Freedman, puis par la conjecture de géométrisation de Thurston et finissant en mentionnant la preuve de Perelman, obtenue en développant considérablement une stratégie due à Anderson.
(2008). “Topology around the Poincaré conjecture”, Notices of the South African Mathematical Society. Mededelings van die Suid-Afrikaanse Wiskundevereniging, 39, p. 31–43 (http://web.math.ucsb.edu/~cooper/49.pdf), RIS, BibTeX.
Cet article explique les idées essentielles de la preuve par Smale de l’analogue de la conjecture de Poincaré en dimension au moins $5$, grâce à son élaboration de la théorie de Morse. Il peut être lu à la suite de notre article La théorie de Morse, de la topographie à la conjecture de Poincaré en grande dimension.
(2009). “The Hesse pencil of plane cubic curves”, L’Enseignement Mathématique. 2e Série, 55, p. 235–273, doi: 10.4171/LEM/55-3-3 (https://arxiv.org/abs/math/0611590), RIS, BibTeX.
Nous avons inclus cet article de survol sur les propriétés du pinceau de Hesse afin d’accompagner l’article Le pinceau de cubiques de Hesse.
(2010). “Topologie, théorie des groupes et problèmes de décision”, Gazette des Mathématiciens, 125, p. 41–75 (http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2010/125/smf_gazette_125_41-75.pdf (...)), RIS, BibTeX.
Extrait du review de Michel Coornaert :
« This paper [...] celebrates results of Max Dehn published between 1910 and 1914. These results profoundly influenced the developments of combinatorial group theory and low-dimensional topology in the last century. After giving a brief account of Dehn’s mathematical life, [...] the author concentrates on the following topics : Dehn’s formulation of the three fundamental decision problems in combinatorial group theory (the word problem, the conjugacy problem, and the isomorphism problem for finitely generated groups) ; knot theory, Dehn’s lemma, and other basic results in 3-dimensional topology ; Cayley graphs of groups and their characterization among labeled graphs (including a nice geometric description of Cayley graphs of torus knot groups) ; construction of homology 3-spheres via Dehn surgery and gluing of knot complements ; Dehn’s algorithm for solving the word problem in surface groups ; the important observation that any finitely presented group is the fundamental group of a finite 2-complex and of a closed orientable 4-manifold. »
(2011). “Differential topology forty-six years later”, Notices of the American Mathematical Society, 58, p. 804–809, RIS, BibTeX.
Il s’agit d’un survol des principaux résultats de la topologie différentielle entre 1965 et 2011. On pourra le lire à la suite du survol de Smale de 1963 cité plus haut.
(2013). “Links of complex analytic singularities”, in Surveys in differential geometry 18, Int. Press, Somerville, MA, p. 157–193 (http://intlpress.com/site/pub/files/_fulltext/journals/sdg/2013/0018/0001/SD (...)), RIS, BibTeX.
Nous expliquons sur notre site que la sphère d’homologie de Poincaré est homéomorphe au bord (link) d’une singularité de Brieskorn. Plus généralement, et en toutes dimensions, quelles sont les variétés qui peuvent apparaître comme bords de singularités isolées de variétés algébriques complexes ? Cet article explique l’état des lieux sur la question, qui est encore amplement ouverte. On y apprendra entre autres que tout groupe de présentation finie se réalise comme groupe fondamental d’un tel bord en dimension complexe trois.