Poincaré, dans la Note de 1892, s’emballe en annonçant que deux variétés ayant des groupes fondamentaux isomorphes sont homéomorphes ! Les espaces lenticulaires sont les premiers exemples. Ils illustrent en outre parfaitement les notions de scindement de Heegaard et de chirurgie de Dehn dans des cas simples.
Définition
On voit la $3$-sphère $\mathbb{S}^3$ comme l’ensemble des points de $\mathbb{C}^2$ satisfaisant
$$|z_1|^2+|z_2|^2=1.$$
Fixons deux entiers premiers entre-eux : $p\geq 2$ et $1\leq q\leq p-1$. Il correspond à ce choix une action linéaire du groupe cyclique d’ordre $p$ sur $\mathbb{C}^2$, définie par
$$(z_1,z_2)\mapsto(e^{2i\pi/p}z_1,e^{2iq\pi/p}z_2).$$
Puisque $p$ et $q$ sont premiers entre-eux, cette action est libre en dehors du point $(0,0)$. Par ailleurs, l’action laisse $\mathbb{S}^3$ invariante et l’action induite sur la $3$-sphère préserve la métrique ronde.
Cette action du groupe cyclique $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ sur $\mathbb{S}^3$ étant finie et libre, l’application quotient
$$\mathbb{S}^3 \to \mathbb{S}^3 / (\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})$$
est un revêtement.
La base de ce revêtement, notée $L(p,q)$, est une variété sphérique [1] (par construction) appelée espace lenticulaire.
Exemple. On a $L(2,1)=\mathbb{RP}^3$.
Il découle directement de la définition de $L(p,q)$ que son groupe fondamental est cyclique d’ordre $p$.
Cette construction des espaces lenticulaires de dimension $3$ peut être évidemment étendue à toute dimension impaire en remplaçant $\mathbb{S}^3$ par $\mathbb{S}^{2n-1}\subset \mathbb{C}^n$. Dans ce cas l’action est déterminée par $n$ paramètres entiers : $p\geq 2$, $1\leq q_i \leq p-1$, pour $i=1,\dots,n-1$, où chaque $q_i$ ($i=1,\ldots,n-1$) est premier avec $p$.
Classification
Dans l’article
on énonce le théorème de classification, à homéomorphisme près, des espaces lenticulaires. Il s’en suit qu’il existe des $3$-variétés ayant des groupes fondamentaux isomorphes et qui ne sont pas pour autant homéomorphes et n’ont même pas le même type d’homotopie : c’est le cas de $L(5,1)$ et $L(5,2)$, par exemple.
On explique ensuite que la sphère $\mathbb{S}^3$ et les espaces lenticulaires sont exactement les variétés qui admette une décomposition de Heegaard de genre $1$ ou encore qui peuvent être obtenues par chirurgie de Dehn le long du nœud trivial.
Espaces lenticulaires comme espaces d’identification d’un polyèdre
Dans un second article
on construit un domaine fondamental pour l’action du groupe cyclique $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ sur $\mathbb{S}^3$. Cela permet de réaliser les espaces lenticulaires comme espaces d’identification d’un polyèdre et accessoirement de comprendre l’origine du terme lenticulaire. On retrouve ainsi d’une autre manière que les espaces lenticulaires admettent une décomposition de Heegaard de genre égal à 1.
[1] C’est-à-dire une variété localement modelée sur la sphère, voir Le théorème du domaine fondamental.