Vous ne trouverez pas ici un cours de topologie en dimension 3 [1] mais une série d’articles visant à décrire quelques constructions importantes en dimension 3. L’objectif principal est de fournir les outils nécessaires à la lecture de la rubrique Exemples de dimension 3.
1. La plupart des constructions que nous décrivons font intervenir des recollements de variétés de dimension 3 à bord le long de surfaces. La topologie de la variété ainsi obtenue ne dépend en fait que de l’homéomorphisme de recollement modulo isotopie et conjugaison. Nous expliquons cela dans l’article :
2. Plusieurs exemples de dimension $3$ étudiés par Poincaré dans l’Analysis Situs sont des espaces d’identification de polyèdres. Dans l’article qui suit, nous présentons cette construction et nous caractérisons les recollements qui donnent bien des variétés.
3. La sphère $\mathbb{S}^3$ peut s’identifier au groupe des quaternions de norme $1$, introduit par William Hamilton. Pour cette raison, les quaternions interviennent fréquemment en topologie de dimension 3. Le lien entre l’algèbre des quaternions et la géométrie fait l’objet de l’article :
4. Le Théorème du domaine fondamental, qui remonte aux mémoires de Poincaré sur les groupes fuchsiens, fait le lien entre topologie et géométrie : il permet de réaliser certains recollements de polyèdres comme quotients d’un espace géométrique modèle (comme la sphère $\mathbb{S}^3$) par un groupe discret de transformations isométriques de cet espace.
5. Dans le cinquième complément à l’Analysis Situs, comme Poul Heegaard avant lui, Poincaré considère une autre manière de construire des variétés de dimension 3 : par recollement de deux corps en anses. Une telle description s’appelle un scindement de Heegaard. Nous décrivons cette construction dans l’article :
6. Une variété obtenue comme recollement d’un polyèdre admet une décomposition en anses naturelle que nous décrivons dans l’article :
7. Une même variété admet une infinité de décompositions en anses différentes, décrites par différents diagrammes de Heegaard. Un certain nombre d’opérations élémentaires permet de passer d’un diagramme à un autre.
8. Enfin, les chirurgies de Dehn permettent de construire des variétés de dimension 3 à partir d’un entrelacs dans $\mathbb{S}^3$. Bien qu’on ne trouve aucune trace de cette construction chez Poincaré, nous verrons que c’est une manière efficace de construire de nombreuses sphères d’homologie.
Notons que de nombreuses autres constructions sont abordées dans les exemples de dimension 3. Mentionnons en particulier certains Fibrés sur le cercle, les Fibrés en cercles et fibrés de Seifert ou certains Revêtements ramifiés.