La topologie algébrique cherche à associer à une variété, ou plus généralement à un espace topologique $X$, un objet algébrique $G(X)$ — typiquement un groupe ou une collection de groupes — qui décrit (en partie) la « forme » de $X$.
On demande en outre que cette association soit naturelle dans le sens que si $f : X \to Y$ est une application continue, on peut construire un homomorphisme $f_*: G(X) \to G(Y)$ compatible avec les opérations de compositions. En particulier, $G(X)$ est un invariant topologique : si $X$ et $Y$ sont deux espaces topologiques homéomorphes, alors les groupes $G(X)$ et $G(Y)$ sont isomorphes.
On explique ici et là comment, partant de l’exemple des surfaces, Riemann et Betti ont commencé par généraliser la notion d’ "ordre de connexion" d’une surface pour associer aux variétés de dimension quelconque des nombres qui en distinguent certaines. Mais ces notions sont encore vagues et difficiles à formaliser. Un saut conceptuel est réalisé par Poincaré dans son « Analysis Situs » lorsqu’il introduit la notion d’homologie. Toujours dans l’« Analysis Situs », Poincaré introduit également le groupe fondamental, dont on retrace ici la genèse. Enfin, dans le Cinquième complément à l’« Analysis Situs », Poincaré développe une théorie connue de nos jours sous le nom de théorie de Morse, qui consiste à étudier une variété en étudiant les "lignes de niveaux" d’une fonction générique. Ce "cours moderne" propose une présentation de ces trois théories :
Dans l’Analysis Situs et dans le Cinquième complément, Poincaré applique ces théories à l’étude des variétés de dimension $3$, tandis que les Troisième et Quatrième compléments sont consacrés à la topologie des surfaces complexes (de dimension réelle $4$). Nous proposons donc également les cours introductifs suivants :
Enfin, Poincaré développe dans les Premier et Deuxième compléments une version "polyédrale" de l’homologie qui part du principe que les variétés considérées sont triangulées. Nous proposons ici un cours introductif à la notion d’espace PL (piecewise linear) qui contient une démonstration du fait que toute variété lisse peut être triangulée d’une manière essentiellement unique.