Le premier complément à l’Analysis Situs, simplement intitulé Complément à l’Analysis Situs, est paru en 1899 dans les Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. [1].
Le but de ce deuxième mémoire est de clarifier les concepts et les preuves de l’Analysis Situs et de répondre au questionnement que ce mémoire a soulevé dans la communauté mathématique. Dès l’introduction Poincaré évoque l’article du mathématicien danois Poul Heegaard qui réfute le théorème de dualité affirmant que les nombres de Betti également distants des extrêmes sont égaux, ainsi que sa preuve. Nous discutons plus en détails de cette controverse dans la rubrique Commentaires du premier complément.
Poincaré explique comment la définition des nombres de Betti qu’il a adopté dans l’Analysis Situs diffère de celle donnée originellement par Betti. Il soutient la validité de son théorème si l’on définit les nombres de Betti comme les rangs des parties libres des groupes d’homologie (ou encore les rangs des groupes d’homologie à coefficients rationnels), sans tenir compte de la torsion qui peut exister dans ces groupes.
Poincaré concède néanmoins que sa preuve initiale est incorrecte et donne dans ce mémoire une nouvelle preuve en introduisant un moyen combinatoire de calculer les nombres de Betti : l’homologie polyédrale. L’idée, détaillée dans les trois premiers paragraphes, consiste à fixer une décomposition polyédrale de la variété et à ne "compter" que les sous-variétés que l’on peut former à partir des faces de cette décomposition. Le calcul de ces nouveaux nombres de Betti réduits se ramène alors à des calculs d’algèbre linéaire.
Les paragraphes 4,5 et 6 sont consacrés à la preuve du fait que ces nombres de Betti réduits sont indépendants de la décomposition polyédrale choisie et qu’ils ont finalement les mêmes valeurs que les nombres de Betti calculés dans le mémoire Analysis Situs.
Les paragraphes 7 à 10 sont consacrés à la nouvelle preuve de son théorème de dualité. Il commence par associer à chaque polyèdre $P$ un polyèdre dual $P'$ : aux $q$-faces de $P$ correspondent des $(n-q)$-faces de $P'$ ($n$ étant la dimension de la variété ambiante). Poincaré démontre ensuite que le $k$-ième nombre de Betti réduit de $P$ est égal au $(n-k)$-ième nombre de Betti réduit de $P'$, ce qui l’amène à conclure que "les nombres de Betti équidistants des extrêmes sont égaux".
Enfin, le onzième et dernier paragraphe de ce premier complément traite de la question de l’existence d’une triangulation pour chaque variété. Nous discutons plus amplement de cette question dans la rubrique Triangulation des variétés du cours moderne.
[1] Complément à l’Analysis Situs, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. 13, p. 285—343 (1899)