§V. Influence de la subdivision sur les nombres de Betti réduits

Soit $\sum \alpha B(q,h,j,k)$ une combinaison des variétés $b_i^q$, qui représente une variété fermée à $q$ dimensions, de telle sorte que l’on ait, avec nos notations,

$$ \tag{1} \sum \alpha B(q,h,j,k) \equiv 0 \quad (h\geq q). $$

Parmi les variétés $b_i^q$ qui figurent dans le premier membre de (1), réunissons celles qui appartiennent à une même classe. Soit

$$ \lmoustache \alpha B(q,h,j,k) $$

l’ensemble de celles qui appartiennent à la classe $a_j^k$ ; le signe de sommation $\lmoustache $ signifie, donc, qu’on ne prend que les variétés d’une même classe, tandis que le signe $\sum$ signifie qu’on les prend toutes. On aura alors

$$ \tag{2} \lmoustache \alpha B(q,h,j,k) \equiv \sum \beta B(q-1,h',j',k') $$

c’est-à-dire que la variété à $q-1$ dimensions

$$ \sum \beta B(q-1,h',j',k'). $$

forme la frontière complète de la variété à $q$ dimensions

$$ \lmoustache \alpha B(q,h,j,k). $$

Les variétés $a_{j'}^{h'}$ doivent appartenir à la frontière de a $a_j^h$ ou se confondre avec $a_j^h$ ; en effet, $B(q-1,h',j',k')$ appartient à $a_{j'}^{h'}$ et, d’autre part, à l’une des $B(q,h,j,k)$ qui fait lui-même partie de $a_j^h$, si donc $a_{j'}^{h'}$ ne faisait pas partie de $a_j^h$, $B(q-1,h',j',k')$ ferait partie d’une variété $a_k^m$, partie commune à $a_j^h$ et $a_{j'}^{h'}$, et qui aurait moins de $h'$ dimensions. Cela est contraire à la définition que nous avons donnée des classes.

D’autre part, $a_{j'}^{h'}$, ne peut pas se confondre avec $a_j^h$.

Soit, en effet,

$$ \lmoustache_1 \alpha_1 B(q,h_1,j_1,k_1) = \sum \alpha B(q,h,j,k) - \lmoustache \alpha B(q,h,j,k) $$

l’ensemble des variétés qui figurent dans le premier membre de (1) et qui n’appartiennent pas à la classe $a_j^h$ ; on aura évidemment

$$ \lmoustache_1\alpha_1 B(q,h_1,j_1,k_1) \equiv - \sum \beta B(q-1,h',j',k'). $$

Donc $B(q-1,h',j',k')$ doit faire partie à la fois de $a_j^{h'}$ et de l’une des $B(q,h_1,j_1,k_1)$ et, par conséquent, de l’une des $a_{j_1}^{h_1}$ différentes de $a_j^h$. Si donc $a_{j'}^{h'}$ se confondait avec $a_j^h$,

$$ B(q-1,h',j',k')=B(q-1,h,j,k) $$

devrait appartenir à une variété $a_k^m$ partie commune à $a_j^h$ et $a_{j_1}^{h_1}$. De deux choses l’une : ou bien $a_j^h$ ne ferait, pas partie de $a_{j_1}^{h_1}$, et alors on aurait encore $m < h$, ce qui serait encore contraire à la définition des classes ; ou bien $a_j^h$ ferait partie de $a_{j_1}^{h_1}$, et alors on aurait $h_1 > h$. Supposons que j’ai choisi la classe $a_j^h$, qui correspond au plus grand nombre $h$. Alors on ne pourra pas avoir $h_1 > h$, et $a_{i'}^{h'}$ devra appartenir à la frontière de $a_j^h$.

La congruence (2) entraîne l’homologie

$$ \tag{3} \sum \beta B(q-1,h',j',k') \sim 0; $$

comme, d’autre part, $a_j^h$ est simplement connexe et que toutes les variétés $B(q-1,h',j',k')$ sont situées sur la frontière de $a_j^h$, le premier membre de , représentant une variété fermée à $q-1$ dimensions, située sur cette frontière, formera la frontière complète d’une variété à $q$ dimensions

$$ \sum \gamma B(q, h'',j'',k''), $$

également située sur la frontière de $a_j^h$. (Il y aurait exception si l’on avait $h=q$.) De sorte qu’on aura la congruence

$$ \tag{4} \sum \beta B(q-1,h',j',k') \equiv \sum \gamma B(q,h'',j'',k''). $$

D’ailleurs, comme $B(q,h'',j'',k'')$ est sur la frontière de $a_j^h$ il en sera de même de $a_{j''}^{h''}$ ; car si $B(q,h'',j'',k'')$ fait partie à la fois de $a_{j''}^{h''}$ et d’une variété $a_{j'_0}^{h''}$, faisant partie de la frontière de $a_{j'}^h$ ; ou bien $a_{j''}^{h''}$ ne fait pas partie de $a_{j'}^{h'}$, et alors $B$ devrait faire partie de $a_k^m$ où $m < h''$ et nous avons vu que cela était impossible.

On a donc

$$ h'' < h. $$

Les congruences (2) et (4) donnent

$$ \lmoustache \alpha B(q,h,j,k) \equiv \sum \gamma B(q,h'',j'',k''), $$

et, comme toutes les variétés qui figurent dans cette congruence font partie de $a_j^h$, ou de sa frontière, comme, d’autre part, $a_j^h$ est simplement connexe, on aura l’homologie

$$ \lmoustache \alpha B(q,h,j,k) \sim \sum \gamma B(q,h'',j'',k''). $$

On peut donc remplacer, dans le premier membre de (1), l’ensemble des termes $\lmoustache \alpha B(q, h,j,k)$ par l’ensemble des termes

$$ \sum \gamma B(q,h'',j'',k''). $$

Si l’on opère de même pour toutes les classes correspondantes à une même valeur de $h$, la plus grande de toutes, on aura remplacé le premier membre de (1) par

$$ \sum \alpha_2 B(q,h_2,j_2,k_2), $$

où la plus grande valeur de $h_2$ sera plus petite que la plus grande valeur de $h$. On aura, d’ailleurs, l’homologie

$$ \sum \alpha B(q,h,j,k) \sim \sum \alpha_2 B(q, h_2,j_2, k_2). $$

En continuant de la sorte, on pourra diminuer encore la plus grande valeur de $h$. On ne sera arrêté que quand on aura partout $h=q$.

On peut donc, finalement, remplacer le premier membre de (1) par

$$ \sum \alpha_0 B(q,q,j_0,k_0), $$

et l’on aura, d’ailleurs

$$ \tag{5} \sum \alpha B(q,h,j,k) \sim \alpha_0 B(q,q,j_0,k_0), $$

$$ \tag{6} \sum \alpha_0 B(q,q,j_0,k_0) \equiv 0. $$

Cela posé, dans le premier membre de (6) prenons les congruences qui appartiennent à une classe déterminée $a_{j_0}^h$ ; soit

$$ \lmoustache \alpha_0 B(q,q,j_0,k_0), $$

Nous aurons

$$ \tag{7} \lmoustache \alpha_0 B(q,q,j_0,k_0) \equiv \sum \beta_0 B(q-1,h'_0,j'_0,k'_0). $$

Nous verrions que, comme plus haut, que $a_{j_0}^{h'_0}$ doit faire partie de la frontière de $a_{j_0}^q$, d’où $h'_0

Soit alors

$$ \tag{8} a_{j_0}^q= \sum B(q,q,j_0,k_0) $$

l’équation (1,q,$j_0$), qui définit la subdivision de la variété $a_{j_0}^q$ et soient $B(q,q,j_0,1)$ et $B(q,q,j_0,2)$ deux variétés, figurant dans le second membre de (8) ; je dis qu’elles devront figurer dans le premier membre de (6) avec le même coefficient $\alpha_0$.

Supposons, d’abord, que ces deux variétés soient limitrophes ; parmi les variétés à $q-1$ dimensions qui leur serviront de frontière commune, il y eu aura, au moins, une qui n’appartiendra pas à la frontière de $a_{j_0}^q$, qui fera, par conséquent, partie de la classe $a_{j_0}^q$.

Soit $ B(q-1,q,j_0,1)$ cette variété : elle n’appartiendra pas à aucune autre des variétés $B(q,q,j_0,k)$.

Soit alors

$$ \tag{9} \begin{cases} B(q,q,j_0,1)\equiv \epsilon b_i^{q-1}\\ B(q,q,j_0,2)\equiv \epsilon b_i^{q-1}\\ B(q,q,j_0,k)\equiv \epsilon b_i^{q-1} (k>2) \end{cases} $$

les congruences (2, q, q,j_0,1), (2,q,q,j_0,2), (2,q,q ;j_0,k) qui nous font connaître les frontières des variétés $B(q,q,j_0)$. Voyons avec quel coefficient $\epsilon$ la variété $B(q-1,q,j_0,1)$ figurera dans ces congruences.

D’après ce que nous venons de voir, ce sera avec le coefficient $+1$ dans la première, avec le coefficient $-1$ dans la seconde, avec le coefficient zéro dans les autres.

Soient donc $\alpha_1$ et $\alpha_2$, les valeurs des coefficients $\alpha_0$, correspondantes aux deux variétés $B(q,q,j_0,1)$ et $B(q,q,j_0,2)$.

La combinaison des congruences (9) nous fournira une congruence

$$ \tag{10} \lmoustache \alpha_0 B(q,q,j_0,k_0)\equiv \epsilon b_i^{q-1}, $$

qui devra être identique à (7), et le coefficient $\epsilon$, avec lequel figurera $B(q-1,q,j_0,1)$ dans le second membre de (10), sera évidemment $\alpha_1-\alpha_0$. Mais $B(q-1,q,j_0,1)$ ne peut pas figurer dans le second membre de (7), puisque nous avons vu que dans ce second membre on doit avoir $\alpha_1-\alpha_2=0$.

Ainsi les deux variétés $B(q,q,j_0)$ et $B(q,q,j_0,2)$ devront avoir même coefficient $\alpha_0$ si elles sont limitrophes. Cela sera encore vrai, si elles ne le sont pas, parce que $a_{j_0}^q$ étant d’un seul tenant, on pourra passer d’une de ces variétés à l’autre par une suite d’autres variétés analogues, chacune d’elles étant limitrophe de celle qui la précède.

Donc le coefficient $\alpha_0$ est le même pour toutes nos variétés. D’où

$$ \lmoustache \alpha_0 B(q,q,j_0,k_0)= \alpha_0 \sum B(q,q, j_0,k_0) = \alpha_0 a_{j_0}^q. $$

La congruence (6) et l’homologie (5) peuvent donc s’écrire

$$ \tag{5 bis} \alpha B(q,h,j,k) \sim \sum \alpha_0 a_{j_0}^q $$

$$ \tag{6 bis} \sum \alpha_0 a_{j_0}^q \equiv 0. $$

Si un nombre quelconque de congruences de la forme (1) sont distinctes, c’est-à-dire si aucune combinaison linéaire de leurs premiers membres n’est pas homologue à zéro je dis que les congruences (6 bis) seront également distinctes et réciproquement.

En effet, la comparaison des relations (1), (5 bis) et (6 bis) montre que si l’on a

$$ \sum \alpha B(q,h,j,k) \sim 0, $$

on aura également

$$ \sum \alpha_0 a_{j_0}^q \sim 0, $$

et réciproquement.

Il résulte de là que si les $a_i^q$ et les $b_i^q$ sont simplement connexes, les nombres de Betti réduits sont les mêmes pour les deux polyèdres $V$ et $V'$.

Soit maintenant $W$ une variété quelconque, fermée, à $q$ dimensions, située sur $V$. On peut toujours construire un polyèdre $V$, dérivé de $V$, au sens de la page 271 de l’Analysis situs, et tel que $W$ soit une combinaison des $b_i^q$.

Nous devons donc conclure que : si les $a_i^q$ sont simplement connexes, les nombres de Betti réduits, relatifs au polyèdre $V$, sont identiques aux nombres de Betti proprement dits, définis de la seconde manière.