Commentaires sur le §V du premier complément

Dans ce paragraphe Poincaré montre la proposition suivante.

Poincaré montre en fait l’énoncé (plus fort) suivant :

$$ $$

Commentaire sur la démonstration de Poincaré.

Rappelons que selon la définition que Poincaré donne des nombres de Betti réduits, on a toujours $b_q (P' ) \geq b_q (P)$. Poincaré se contente donc de montrer que l’application de subdivision $C_\bullet (P) \to C_\bullet (P')$ induit un morphisme surjectif $H_\bullet (P) \to H_\bullet (P' )$ en homologie. Poincaré prouve donc que tout $q$-cycle de la subdivision $P'$ est homologue à un $q$-cycle dans l’image de l’application de subdivision. Sa démonstration consiste à « pousser récursivement » le $q$-cycle de $P'$ dans le $q$-squelette de $P$.

Dans la démonstration qui suit on montre comment faire fonctionner cette idée pour démontrer que l’application $H_\bullet (P) \to H_\bullet (P' )$ est en fait un isomorphisme.

$$ $$

Démonstration. Notons $F= (F_q)$ l’application de subdivision. De sorte que, en termes plus modernes, chaque $F_q$ est une application linéaire de $C_q = C_q (P)$ vers $C_q ' = C_q (P')$ qui associe à toute $q$-cellule $\sigma \in P$ la somme

$$F_q (\sigma) = \sum_{\substack{\sigma ' \in (K') {}^{(q)} \\ |\sigma' | \subset |\sigma|}} \pm \sigma',$$

où le signe $\pm$ est $+$ si les orientations de $\sigma$ et $\sigma '$ sont compatible et $-$ sinon.

On démontre par récurrence sur $m=\mathrm{dim} (P)$ que le morphisme de complexe $F : C_\bullet (P) \to C_\bullet (P')$ est un quasi-isomorphisme.

Démonstration. Il s’agit de montrer que si $c \in Z_q (P)$ et $F(c) = \partial d'$ avec $d' \in C_{q+1} (P')$ alors il existe $d \in C_{q+1} (P)$ telle que $\partial d = \partial d'$.

On commence par remarquer que pour toute $(q+1)$-cellule $\sigma' \in P'$, il existe une unique cellule $\sigma \in P$ de dimension minimale telle que $|\sigma '| \subset |\sigma |$. On pose $h_{\sigma '} := \mathrm{dim} \sigma$. Noter que $h_{\sigma ' } \geq q+1$.

Démonstration. On écrit $d' = \sum_{\sigma '} d_{\sigma '} ' \sigma '$. Soit

$$h=\mathrm{sup} \left\{ h_{\sigma '} \; | \; \sigma ' \in (P' )^{(q+1)} , \ d_{\sigma '} ' \neq 0 \right\}.$$

Supposons $h > q+1$ (sinon il n’y a rien à démontrer). Soit $\sigma_0 ' \in (P' )^{(q+1)}$ avec $d_{\sigma_0 '} ' \neq 0$ et $h_{\sigma_0 ' } = h$ et soit $\sigma_0$ la cellule de dimension $h$ de $P$ qui contient $\sigma_0 '$. Le fait suivant est assez intuitif.

Démonstration.

On a

$$\partial d' (\sigma_0 ) = \partial d' + \partial ( d' (\sigma_0 ) - d' ) .$$

Or le support de $\partial d' (\sigma_0 )$ est contenu dans $|\sigma_0|$ et dans le membre de droite on a :

• $\partial d' = \partial d$ qui est une $q$-chaîne de $P$, et
• $d'(\sigma_0) - d'$ qui est une chaîne $P'$ dont le support est contenu dans les réalisations géométriques de cellules de $P$ de dimension $\leq h$ et différentes de $\sigma_0$.

Il s’en suit que le support de $\partial d' (\sigma_0 )$ est nécessairement contenu dans $|\partial \sigma_0 |$.

C.Q.F.D.

$$ $$

Par récurrence sur la dimension de $P$, on peut supposer le théorème connu pour tout complexe de dimension strictement inférieure à la dimension de $P$. En particulier on peut le supposer connu pour la subdivision induite par $P'$ du complexe $\partial \sigma_0$ (de réalisation géométrique $|\partial \sigma_0|$ PL-homéomorphe à la sphère $\mathbb{S}^{h-1}$). Mais $h-1$ étant strictement supérieur à $q$ il découle du calcul de l’homologie de la sphère $\mathbb{S}^{h-1}$ munie de sa structure PL canonique (bord d’un $h$-simplexe) que le $q$-cycle $\partial d' (\sigma_0 )$ borde une $(q+1)$-chaîne $e' (\sigma_0)$ de support contenu dans $|\partial \sigma_0 |$. On a donc :

$$\partial (d' - d'(\sigma_0 ) + e' (\sigma_0 )) = \partial d '.$$

En continuant comme cela on se ramène à $h=q$.

C.Q.F.D.

$$ $$

D’après le lemme on peut donc supposer que

$$d' = \sum_{\sigma '} d_{\sigma '} ' \sigma ' \in C_{q+1} (P' ) \mbox{ avec } d_{\sigma '} ' \neq 0 \Rightarrow h_{\sigma ' } = q+1.$$

On peut alors facilement vérifier le second lemme suivant.

Démonstration.

Considérons la chaîne

$$d' (\sigma ) := \sum_{|\sigma '| \subset |\sigma |} d_{\sigma '} ' \sigma '.$$

Le support de $\partial d' (\sigma )$ est contenu dans $|\partial \sigma |$. Si $\sigma_1 '$ et $\sigma_2 '$ sont deux cellules adjacentes de $P'$ dont les réalisations géométriques sont contenues dans $|\sigma |$, on a donc $d_{\sigma_1 '} ' = d_{\sigma_2 '} '$. Mais si $\sigma_1 '$ et $\sigma_2 '$ sont deux cellules de $P'$ dont les réalisations géométriques sont contenues dans $|\sigma |$, on peut les relier par une suite de cellules deux à deux adjacentes. Le lemme s’en déduit.

C.Q.F.D.

$$ $$

Notons alors $d_\sigma$ la valeur commune des $d_{\sigma '} '$ pour $|\sigma '| \subset |\sigma |$. On lui associe la chaîne $d:=\sum_\sigma d_\sigma \sigma$ de $P$. Celle-ci vérifie : $d' = F (d)$. Et, puisque $F$ est un morphisme de complexes, on a $\partial d' = F(\partial d)$ et $F$ est injective en homologie.

C.Q.F.D.

$$ $$

Pour démontrer la surjectivité, on aura besoin du cas particulier suivant du théorème. [1]

Démonstration.

On peut supposer que $P'$ est une subdivision simpliciale du complexe simplicial réduit à un unique simplexe (et à ses faces). On utilise alors la notion de collapsabilité : soient $\sigma$ et $\tau$ deux simplexes d’un complexe simplicial $K$ telles que

• $\tau$ est maximal dans $K$,
• $\sigma$ est une face maximale de $\tau$,
• $\tau$ est le seul simplexe maximal de $K$ contenant $\sigma$.

On appelle collapse élémentaire le complexe simplicial $K_0 = K \setminus \{ \sigma , \tau \}$.

Démonstration. Soit $n = \mathrm{dim} \sigma = \mathrm{dim} \tau -1$. On a :

$$C_\bullet (K) = C_\bullet ' \oplus C_\bullet (K_0 ),$$

où $C_{n+1} ' = \mathbb{Z} [\tau ]$ et $C_n ' = \mathbb{Z} [\partial \tau ]$ et $0$ ailleurs. Puisque $C_\bullet '$ a une homologie triviale, le fait s’en déduit.

C.Q.F.D.

$$ $$

On aurait envie de montrer que $P'$ peut être réduit à un point par une suite de collapses élémentaires, autrement dit que $P'$ est collapsable. Mais c’est faux en général : il existe une triangulation de la boule de dimension $3$ qui n’est pas collapsable ! [2]

On s’en sort grâce au fait élémentaire suivant.

On peut alors « collapser verticalement » $P''$ sur la face opposée au sommet. Par récurrence on conclut que $P'$ possède une subdivision $P''$ collapsable. Mais la proposition (injectivité) implique que $H_\bullet (P')$ s’injecte dans $H_\bullet (P'')$. Le lemme s’en déduit.

C.Q.F.D.

$$ $$

Commentaires sur cette première partie de la démonstration du théorème

1. Insistons : Poincaré ne cherche pas à démontrer la proposition (injectivité). Sa définition des nombres de Betti réduits rend immédiate l’inégalité $b_q (P' ) \geq b_q (P)$. Il considère également comme immédiat que les nombres de Betti d’une boule sont ceux d’un point. Ce dernier point est nettement plus problématique comme le montre la subtilité du lemme ci-dessus ; en un sens c’est même le coeur de la démonstration. Quoiqu’il en soit Poincaré se concentre sur la surjectivité. Nous détaillons sa preuve ci-dessus (qui est très proche de la preuve de l’injectivité donnée ci-dessus).

2. Nous donnons ici une preuve plus directe du théorème basée sur une idée de Larry Siebenmann elle aussi inspirée (mais de manière plus lointaine) par les idées de Poincaré. Reste qu’un avantage notable de la preuve ci-dessus est qu’elle fonctionne dans le contexte purement simplicial.

$$ $$

Ce que montre réellement Poincaré dans ce paragraphe peut être résumé dans la proposition suivante.

Démonstration. Soit

$$c' := \sum_{\sigma ' \in (K' )^{(q)}} c_{\sigma '} \sigma ' \in Z_q (P')$$

un $q$-cycle de $P'$. Il s’agit de montrer que $c'$ est homologue à un $q$-cycle de $P$.

On commence comme pour la preuve de l’injectivité : pour toute $q$-cellule $\sigma' \in P'$, il existe une unique cellule $\sigma \in P$ de dimension minimale telle que $|\sigma '| \subset |\sigma |$. On pose $h_{\sigma '} := \mathrm{dim} \sigma$. Noter que $h_{\sigma ' } \geq q$. On a un analogue du premier lemme :

Démonstration. Soit

$$h = \mathrm{sup} \left\{ h_{\sigma '} \; | \; \sigma' \in (P' )^{(q)} , \ c_{\sigma '} \neq 0 \right\}.$$

Supposons $h >q$. Soit $\sigma_0 ' \in (P')^{(q)}$ avec $c_{\sigma_0 '} \neq 0$ et $h_{\sigma_0 '} = h$ et soit $\sigma_0$ la cellule de dimension $h$ de $P$ telle que $|\sigma_0 ' | \subset |\sigma_0 |$. Le bord de la chaîne $c' (\sigma_0 ) = \sum_{|\sigma '| \subset |\sigma_0 |} c_{\sigma '} \sigma '$ a son support contenu dans $|\partial \sigma_0 |$. Il s’en suit que $\partial c' (\sigma_0 )$ définit un $(q-1)$-cycle dans le complexe $(\partial \sigma_0 )'$ égal à la subdivision de $\partial \sigma_0$ induite par $P'$. Mais le complexe $(\partial \sigma_0 )'$ est de dimension $h-1 < \mathrm{dim} (P)$ et par récurrence on peut supposer le théorème démontré pour le complexe $\partial \sigma_0$ (de réalisation géométrique homéomorphe à la sphère $\mathbb{S}^{h-1}$) et la subdivision $(\partial \sigma_0 )'$. Or $h$ est strictement supérieur à $q$ donc le $(q-1)$-cycle $\partial c' (\sigma_0 )$ dans $(\partial \sigma_0 )'$ est en fait un bord et il existe une $q$-chaîne $d' (\sigma_0)$ de support contenu dans $|\partial \sigma_0 |$ telle que $\partial c' (\sigma_0 ) = \partial d' (\sigma_0)$. La chaîne $d'(\sigma_0 ) - c' (\sigma_0 )$ définit donc un cycle dans $\sigma_0 '$ et le troisième lemme ci-dessus implique que c’est un bord. La chaîne $c'- c'(\sigma_0 ) + d' (\sigma_0 )$ est donc homologue à $c'$. En continuant ainsi on se ramène à $h=q$, ce qui conclut la démonstration du lemme.

C.Q.F.D.

$$ $$

On peut finalement conclure la démonstration de la proposition (surjectivité) : on peut maintenant en effet supposer que

$$c_{\sigma '} \neq 0 \Rightarrow h_{\sigma '} = q$$

et le second lemme ci-dessus implique que les $c_{\sigma '}$ avec $|\sigma ' | \subset |\sigma |$ ont tous la même valeur $c_{\sigma}$. On a donc

$$c'= F(\sum_\sigma c_\sigma \sigma ) $$

et $F$ est surjective en homologie.

C.Q.F.D.

$$ $$

Le théorème est donc démontré et les nombres de Betti réduits $b_q (P)$ ne dépendent pas de la cellulation (puisque deux cellulations ont une subdivision commune).

C.Q.F.D.

$$ $$

Pour finir ce paragraphe, Poincaré conclut très rapidement que les nombres de Betti réduits, relatifs au polyèdre $V$, sont équivalents aux nombres de Betti proprement dit. Pour cela, il dit simplement que si $W$ est une sous-variété fermée de dimension $q$, on peut subdiviser $q$ de façon à ce que $W$ soit un cycle de la subdivision et renvoie au paragraphe XI.