Commentaires sur le §III du premier complément

Étant donné un polyèdre $P$ associé à une cellulation lisse d’une variété (lisse) $V$, Poincaré introduit dans ce paragraphe les nombres de Betti réduits $b_q (P)$ associés à cette cellulation. L’idée est de compter uniquement les « sous-variétés » formées de $q$-faces du polyèdre $P$. Cela fournit un cadre algébrique simple car les groupes considérés sont de type fini. Les sous-variétés orientées de dimension $q$ deviennent des combinaisons linéaires de $q$-faces, la réunion de deux variétés devient une somme, et le renversement de l’orientation correspond à une multiplication par $-1$. Mais il y a un prix à payer. Les « variétés » considérées ne sont ni lisses ni plongées, et il n’est pas clair que ce que compte Poincaré à la fin ait un rapport avec les nombres de Betti tels qu’il les a définis dans au §6 de l’Analysis Situs.

La définition topologique du « bord » d’une sous-variété formée de $q$-faces n’est plus suffisante dans ce cadre, mais il en existe maintenant une version combinatoire : c’est l’opérateur linéaire introduit au paragraphe précédent, et noté $\partial$ dans le cours moderne, qui va de l’ensemble des combinaisons linéaires de $q$-faces dans l’ensemble des combinaisons linéaires de $(q-1)$-faces, et qui à une $q$-face orientée associe la somme de ses $(q-1)$-cellules de bord. Le résultat principal démontré par Poincaré au §II, et commenté ici, est que $\partial \circ \partial =0$. On peut donc lui associer des groupes d’homologies. Le $q$-ième nombre de Betti réduit $b_q (P)$ est alors défini comme dimension du $q$-ième groupe d’homologie rationnelle.

Un commentaire sur la définition de Poincaré des nombres de Betti réduits.

En fait si Poincaré travaille bien avec des cycles cellulaires dans $Z_q (P)$ il ne demande pas que les homologies soient cellulaires, autrement dit il ne considère pas réellement le quotient $Z_q (P) / B_q(P)$. Il autorise toutes les homologies, de sorte qu’il est évident pour lui que $b_q \geq b_q (P)$ où $b_q = b_q (V)$ est le nombre de Betti « défini » au §7 de l’Analysis Situs.

Noter que si $c \in B_q (P)$ il existe une chaîne $f \in C_{q+1} (P)$ telle que $\partial (f) =c$ et le cycle $c$ est homologue à $0$ au sens du §5 de l’Analysis Situs. Dans le §VI de ce premier complément Poincaré « démontre » la réciproque suivante :

$$ $$

Si un $q$-cycle cellulaire $c \in Z_q (P)$ borde une « sous-variété » de dimension $q+1$ (au sens du §5 de l’Analysis Situs) , alors $c$ borde une $q$-chaîne cellulaire, autrement dit $c \in B_q (P)$.

$$ $$

Il s’ensuit que $B_q (P)$ réalise bien l’ensemble des homologies possibles entre $q$-cycles cellulaires. On préfère donc définir ici les nombres de Betti réduits directement comme dimensions des groupes d’homologie rationnelle $H_\bullet (P)$. On revient sur la subtilité évoquée ci-dessus dans nos commentaires sur le §VI.

$$ $$

Démonstration.

L’ensemble des $q$-cycles cellulaires est constitué des $q$-chaînes $c \in C_q (P)$ tels que $\partial (c) = 0$ (ou $c \equiv 0$).

Poincaré introduit alors le nombre $\alpha_q '$ de $q$-cellules de $P$ considérées à congruence près et le nombre $\alpha_q ''$ de $q$-cellules de $P$ considérées modulo homologie, autrement dit

$$\alpha_q ' = \mathrm{dim} (C_q (P) / \mathrm{ker} \partial ) \quad \mbox{et} \quad \alpha_q '' = \mathrm{dim} (C_q (P) / \mathrm{im} \partial ) .$$

Alors $\alpha_q - \alpha_q '' = \mathrm{dim} (\mathrm{im} \partial ) = \alpha_{q+1} '$ et $b_q (P) = \alpha_q '' - \alpha_q '$ (et aussi $\alpha_m = \alpha_m ' +1$ et $\alpha_0 ''=1$) et la formule d’Euler-Poincaré se déduit du calcul de la somme alternée des équations $\alpha_q = \alpha_{q+1} ' + \alpha_q ''$.

C.Q.F.D.

$$ $$