Commentaires sur le §IV du premier complément

Poincaré introduit ici une subdivision $P'$ du polyèdre $P$, dans le but de prouver que les nombres de Betti réduits sont invariants par subdivision. Intuitivement, subdiviser $P$ consiste simplement à découper les cellules de $P$ en des cellules plus petites. Ces découpages font apparaître de nouvelles faces de toutes les dimensions. Poincaré note $B(q,h,j,k)$ la $k$-ième face de dimension $q$ de $P'$ contenue dans la $j$-ième face de dimension $h$ de $P$.

Une $q$-cellule $a_q^j$ de $P$ se décompose en $q$-cellule plus petites de $P'$ ce que Poincaré note par la relation

$$a_q^j \equiv \sum_k B(q,q,j,k).$$

Il s’opère ici un glissement d’une simple relation d’inclusion topologique à une relation algébrique entre les chaînes de $P$ et celles de $P'$. En termes modernes, on définirait l’application linéaire (de subdivision) $C_\bullet (P) \to C_\bullet (P')$ qui à une $q$-cellule de $P$ associe la somme des $q$-cellules de $P'$ qui la compose (avec orientations compatibles).

Poincaré formule bien évidemment cet énoncé en termes de congruences. La démonstration est immédiate.

Un morphisme de complexe qui n’est pas induit par une application de subdivision.

Noter que l’on peut construire un morphisme de complexes $C_\bullet (P) \to C_\bullet (Q)$ surjectif sans que $Q$ soit isomorphe à une subdivision de $P$. On peut prendre pour $P$ une triangulation de la sphère et pour $Q$ le polyèdre obtenu en remplaçant un triangle de $P$ par un tore privé d’un triangle.

$$ $$

L’aspect fondamental de la proposition est que l’application de subdivision induit un morphisme entre les groupes d’homologie $H_\bullet (P)$ et $H_\bullet (P')$. L’objet des deux paragraphes suivants est alors de prouver que ce morphisme est un isomorphisme, voir ici et là.