§IV. Subdivision des Polyèdres

Considérons un polyèdre $V$, à $p$ dimensions, avec ses diverses variétés

$$ a_i^p,a_i^{p-1}, \ldots, a_i^1,a_i^0. $$

Supposons que l’on subdivise chacune des variétés $a_i^p$ en plusieurs autres, que j’appellerai les $b_i^p$ ; soient ensuite $b_i^{p-1}$ les variétés a $p-1$dimensions, qui servent de frontières aux $b_i^p$ ; soient $b_i^{p-2}$ les variétés à $p- 2$ dimensions, qui servent de frontières aux $b_i^{p-1}$ ; et, enfin, $b_i^0$ les variétés à zéro dimensions (sommets), qui servent de frontières aux $b_i^1$ (arêtes).

On aura ainsi un nouveau polyèdre $V'$, qui sera dérivé ; du polyèdre $V$, au sens que j’ai attaché à ce mol à la page 271 de l’Analysis situs.

On peut supposer, d’ailleurs, que si une variété $v_{q-1}$, simplement ou multiplement connexe, sert de frontière à deux variétés $b_j^q$ et $b_k^q$, elle ne forme pas forcément une seule des variétés $b_i^{q-1}$ mais peut être elle-même subdivisée en plusieurs variétés $b_i^{q-1}$. Dans ce cas, pour reprendre la terminologie de la page 272 de l’Analysis situs, ces variétés $b_i^{q-1}$ seront irrégulières et les variétés $b_i^{q-2}$, qui les séparent les unes des autres, seront singulières.

Cela posé, recherchons une classification des variétés $b_i^q$.

Si une variété $b_i^q$ ne fait pas partie d’une des variétés $a_i^q$, elle fera partie d’une des variétés $a_j^{q+1}$, ou d’une des variétés $a_j^{q+2}, \ldots$ ou, tout au moins, d’une des variétés $a_i^p$.

Peut-elle faire partie à la fois de deux variétés $a_j^m$ et $a_k^m$ ?

D’après la façon dont la subdivision a été supposée faite, en ajoutant toujours de nouvelles frontières, sans en supprimer jamais, cela ne pourra arriver que si ces deux variétés $a_j^m$ et $a_k^m$ sont contiguës et ont une frontière commune $a_h^{m-1}$, et si $b_i^q$ fait partie de cette frontière $a_h^{m-1}$.

Je suppose alors que $b_i^q$ fasse partie de $a_j^h$ , et ne fasse partie d’aucune variété $a_k^m$, où $m < h$. La variété $a_j^h$ existe toujours et l’on a $h \geq q$ ; de plus, la variété $a_j^h$ est unique, c’est-à-dire que $b_i^q$ ne peut faire partie à la fois de deux variétés différentes $a_k^h$ et $a_j^h$.

Si donc je conviens de ranger dans une même classe toutes les variétés $b_i^q$, qui font partie de la variété $a_j^h$, sans faire partie d’aucune des variétés $a_k^m$, où $m < h$, toute variété $b_i^q$ fera partie d’une classe et d’une seule. Je pourrai alors représenter $b_i^q$ par une notation à quatre indices

$$ b_i^q= B(q,h,j,k); $$

l’indice $q$ indique le nombre des dimensions de $b_i^q$ ; les indices $h$ et $j$ Indiquent que $b_i^q$ fait partie de la classe $a_j^h$ ; et. l’indice $k$ sert à distinguer les unes des autres les différentes variétés d’une même classe. On a $h \geq q$.

Nous aurons, alors, pour définir le polyèdre $V$ et sa subdivision :

1. Les congruences $(3, q)$, relatives au polyèdre $V$, que j’écrirai

$$\tag{3,q,i} a_i^q=\sum_j\epsilon_{i,j}^q a_i^{q-1};$$

2. Les équations qui donnent la subdivision de la variété $a_i^q$

$$\tag{1,q,i} a_i^q= \sum_k B(q,q,i,k) ;$$

3. Les congruences analogues aux congruences (3), mais relatives au polyèdre $V'$ ; je les écrirai

$$\tag{2,q,h,j,k} B(q,h,j,k) \equiv \sum \zeta B(q-1,h',j',k').$$

Les $\zeta$ sont des nombres égaux à $\pm 1$ ou à $0$ ; ils dépendent des sept indices $q,h,j,k,h',j',k'$, de sorte que je les écrirai, quand cela sera nécessaire, sous la forme

$$ \zeta(q,k,j,k,h,'j',k'). $$

Sous le signe $\sum$, les indices $h',j',k'$ peuvent prendre toutes les valeurs. Observons, cependant, que les $B(q -1)$, qui servent de frontière à $B(q,h,j,k)$, doivent, comme $B(q,h,j,k)$, faire partie de $a_j^h$ ; mais pourront faire partie d’autres variétés $a_{j'}^{h'}$, d’un nombre moindre de dimensions, mais faisant partie de $a_j^h$. On aura donc

$$ h'\leq h, \quad h'\geq q-1. $$

D’ailleurs, si $h'=h$, on aura $j'=j$.

Pour que les relations (1), (2), (3) puissent définir une véritable subdivision, elles doivent satisfaire à certaines conditions. Les relations (1,q,i), (3,q,i) donnent

$$ \tag{α} \sum_k B(q,q,i,k) \equiv \sum \epsilon_{j,i}^q a'^{j-1}_j. $$

Si, dans le premier membre, je remplace $B(q,q,i,k)$ par sa valeur, tirée de (2, q, q, i, k), et $a_j^{q-1}$ par sa valeur tirée de (1, q-1, j), les deux membres devront devenir identique ; [1] voilà une première condition, qui est évidente ; elle n’est d’ailleurs pas suffisante.