§X. Démonstration arithmétique de l’un des théorèmes du paragraphe VII

Voici une manière de former les homologies qui pourra être utile à connaître.

Soit $b_i^0$ un sommet du polyèdre $P'$, situé à l’intérieur d’une case $a_i^3$ du polyèdre $P$. Soit, d’autre part, $a_k^0$ un sommet de $P$, appartenant à la case $a_i^3$. Joignons $b_i^0$ à $a^0_k$ par une ligne que j’appellerai simplement $b_i^0 a_k^0$.

Soit maintenant $b_i^1$ une arête de $P'$, dont les deux extrémités sont $b^0_j$ et $b^0_h$, de telle sorte que l’une des congruences (3) (cf. § II) relatives à $P'$, soit

$$b_i^1 \equiv b_j^0-b_h^0.$$

Soit, d’autre part, $a_i^2$ la face de $P$ qui correspond à l’arête $b_i^1$ de $P'$, et $a^0_k$ un des sommets de $a_i^2$ ; nous aurons l’homologie

$$ \tag{1} b_i^1\sim a_k^0 b_j^0 - a_k^0 b_h^0. $$

Soit $a_i^1$ une arête de P, dont les deux extrémités sont $a_j^0$ et $a_h^0$, de sorte que l’une des congruences (3) relatives à $P$ soit

$$ a_i^1\equiv a_j^0 -a_h^0.$$

Soit $a^3_k$ l’une des cases de P auxquelles appartient $a_i^1$, et $b^0_k$ le sommet correspondant de $P'$ ; on aura l’homologie

$$ \tag{2} a^1_i \sim b^0_ka_j^0 - b_k^0 a_k^0. $$

Je dis maintenant que toutes les homologies entre les $a_i^1$ peuvent se déduire des homologies (2).

En effet, soit $a_i^2$ une face quelconque de $P$, et soit

$$a_i^2 \equiv \sum \epsilon_{i,j}^2 a_j^1$$

la congruence de la forme (3) qui lui correspond ; on en déduit l’homologie

$$ \tag{3} \sum \epsilon_{i,j}^3 a_j^1\sim 0, $$

et nous avons vu au paragraphe VI que toutes les homologies entre les arêtes de $P$ sont des combinaisons de celles qu’on obtient de la sorte.

Soit alors $a_j^1$ l’une des arêtes de $P$ qui figurent dans l’homologie (3), et soit

$$a_i^1 \equiv a_h^0 -a_l^0.$$

Soit d’ailleurs $a_k^3$ l’une des cases dont fait partie $a_i^2$. Nous aurons l’homologie

$$ \tag{2 bis} a_j^1\sim b_k^0 a_h^0 -b_k^0 a_l^0. $$

Si nous additionnons les homologies (2 bis) qui sont de la forme (2), après les avoir multipliées par $\epsilon_{i,j}^2$, tous les termes du second membre disparaîtront en vertu des relations (5) du paragraphe II ; on retrouverait donc l’homologie (3).

C.Q.F.D.

$$ $$

On démontrerait de même que toutes les homologies entre les $b^1_i$ peuvent se déduire des homologies (1).

Nous avons vu plus haut, au paragraphe VII, que si l’on a une congruence

$$ \sum a_i^1 \equiv 0,$$

on peut trouver une autre congruence entre les arêtes de $P'$

$$ \sum b_j^1 \equiv 0,$$

et de telle façon qu’on ait l’homologie

$$ \tag{4} \sum a_i^1\sim \sum b_j^1. $$

Je dis maintenant que cette homologie (4) peut être déduite des homologies (1) et (2).

Découpons, en effet, le premier membre de notre congruence $\sum a_i^1\equiv 0$ en un certain nombre de groupes, de telle façon que les arêtes d’un même groupe appartiennent à une même case $a^3_k$. Soit $\sum a_j^1$ l’un de ces groupes ; nous aurons la congruence

$$ \tag{5} \sum a_j^1\equiv a_m^0-a_{p}^0,$$

$a_m^0$ et $a_p^0$ étant les deux extrémités de la ligne formée par l’ensemble des arêtes de ce groupe. Je suppose que toutes ces arêtes appartiennent à la case $a_k^3$. Soit

$$a_j^1\equiv a_h^0 - a_l^0$$

l’une de ces arêtes ; nous aurons l’homologie

$$ \tag{2 ter} a_j^1\equiv b_k^0 a_h^0 - b_k^0a_{l}^0, $$

et en ajoutant toutes ces homologies, on trouverait

$$ \tag{6} \sum a_j^1\sim b_k^0a_m^0 - b_k^0a_{p}^0. $$

Ajoutons d’une part toutes les homologies (6), d’autre part toutes les congruences (5), qui correspondent aux différents groupes. L’addition des congruences (5) doit nous donner la congruence $\sum a_i^1 \equiv 0$ ; il s’en suit que si un sommet $a_m^0$ figure dans une des congruences (5) avec le signe $+$, il devra figurer dans une autre avec le signe $-$. L’addition des homologies (6) nous donnera donc

$$ \tag{7} \sum a_j^1\sim \sum \big( b_k^0 a_m^0 - b_q^0 a_m^0\big). $$

En écrivant cette relation, je suppose que $a_m^0$ figure dans deux des congruences (5), une fois avec le signe $+$ dans la congruence qui correspond à la case $a^3_k$, et une fois avec le signe $-$ dans la congruence qui correspond à la case $a^3_q$.

Observons maintenant que $b_k^0$ et $b_q^0$ sont deux sommets de $P'$, et que ces deux sommets appartiennent l’un et l’autre à la case $b_m^3$. On peut alors trouver une ligne formée d’arêtes de $P'$, appartenant à cette case $b_m^3$, et allant de $b_k^0$ à $b_q^0$. Soit $\sum b^1_s$ cette ligne ; on aura

$$ \tag{5 bis} \sum b_s^1\equiv b_k^0-b_{q}^0. $$

De même que de la congruence (5) des homologies (2 ter), qui sont de la forme (2), nous avons déduit l’homologie (6) ; de même de la congruence (5 bis) et d’homologies de la forme (1), nous pourrons déduire l’homologie

$$ \tag{6 bis} \sum b_s^1\sim a_m^0 b_k^0 - a_{m}^0 b_q^0. $$

A chaque terme du second membre de (7) correspond une homologie (6 bis).

En les additionnant, on trouvera

$$ \tag{7 bis} \sum\sum b_s^1\sim \sum\big(a_m^0 b_k^0 - a_{m}^0 b_q^0\big), $$

d’où

$$ \tag{8} \sum a_j^1 +\sum \sum b^1_s\sim 0, $$

homologie de la forme (4), qui se déduit, comme on le voit, des homologies (1) et (2).

C.Q.F.D.

$$ $$

On peut se demander pourquoi j’ai jugé nécessaire de revenir sur un théorème déjà démontré au paragraphe VII. On le comprendra si l’on se rend compte de la nature géométrique, pour ainsi dire, de la démonstration du paragraphe VII. La présente démonstration a, au contraire, un caractère arithmétique ; elle n’invoque que des propriétés des schémas définis au paragraphe II, et des tableaux construits au paragraphe VIII ; et elle conserverait sa valeur alors même qu’à ces schémas et à ces tableaux ne correspondrait aucun polyèdre.

Qu’avons-nous supposé, en effet ? C’est que si $\alpha^p_0$, $\alpha_1^p$, $\alpha_2^p$ sont les nombres des sommets, des arêtes et des faces appartenant à une même case, et si $\beta_0^p$, $\beta_1^p$, $\beta_2^p$ sont les nombres des cases, des faces et des arêtes auxquelles appartient un même sommet, on a [1]

$$\alpha_0^p- \alpha_1^p +\alpha_2^p = \beta_0^p -\beta_1^p -\beta_2^p=2;$$

et, en outre, que deux sommets quelconques $a_i^0$ et $a_k^0$ sont liés par l’homologie

$$ \tag{9} a_i^0 \sim a_k^0. $$

Or on peut reconnaître si un sommet appartient à une face, par exemple, en appliquant au tableau du paragraphe VIII des règles purement arithmétiques, et l’on peut de la même manière reconnaître si une homologie telle que (9) a lieu.