La publication de l’Analysis Situs et de ses compléments est jalonnée de cinq notes aux Comptes rendus de l’Académie des sciences, dont le principal objectif est d’annoncer des résultats développés plus en détails dans les mémoires ultérieurs. Nous les regroupons ici, accompagnées pour certaines d’un bref commentaire.
La première de ces cinq notes, intitulée Sur l’Analysis Situs et publiée le 31 octobre 1892, annonce les préoccupations mathématiques de Poincaré qui seront développées quelques années plus tard dans le mémoire fleuve Analysis Situs. Il s’agit chronologiquement du premier travail sur la topologie publié par Poincaré. Dans cette note, Poincaré se penche sur les nombres de Betti et sur la question de savoir si ces nombres caractérisent une variété compacte (à homéomorphisme près). Il montre que ce résultat connu comme vrai pour les surfaces ne se généralise pas en dimension supérieure en construisant des exemples de variétés qui ont les mêmes nombres de Betti, mais dont les groupes fondamentaux ne sont pas isomorphes.
- Nous décrivons cette note en détail.
La deuxième note, intitulée Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres est parue le 17 juillet 1893. Dans cette note, Poincaré généralise à tous les polyèdres et en toute dimension le célèbre résultat d’Euler qui affirme que dans un polyèdre convexe, le nombre des sommets, plus celui des faces, moins celui des arêtes est égal à deux. Il montre que la somme (indexée par la dimension) alternée du nombre de faces d’une dimension donnée sera toujours égale à $0$ dans le cas d’un polyèdre de dimension impaire et donnera un nombre dépendant uniquement des invariants de Betti pour un polyèdre de dimension paire.
Nous accompagnons cette note d’un commentaire :
La troisième note, publiée le 13 mars 1899 et intitulée Sur les nombres de Betti, répond brièvement à une critique faite par le mathématicien danois Poul Heegaard concernant le théorème de dualité énoncé dans l’Analysis Situs. Poincaré y explique comment sa définition des nombres de Betti diffère de celle adoptée originellement par Betti.
Nous expliquons brièvement cette différence dans le commentaire de cette note.
La quatrième note, intitulée de nouveau Sur l’Analysis Situs, est parue le 4 novembre 1901. Elle étudie les groupes fondamentaux des surfaces complexes compactes définies par une équation algébrique du type $z^2=F(x,y)$, annonçant le troisième complément à l’Analysis Situs.
La cinquième et dernière note, intitulée Sur la connexion des surfaces algébriques, traite de la topologie (et plus particulièrement des nombres de Betti) des surfaces complexes compactes. Parue le 9 décembre 1901, elle annonce le quatrième complément à l’Analysis Situs où toutes ces considérations seront plus amplement développées.