Commentaires de la note "Sur les nombres de Betti"

Heegaard a objecté que le théorème de dualité énoncé dans l’Analysis Situs était faux en général en exhibant un « contre-exemple » [1]. Dans cette Note Poincaré répond à Heegaard. Il commence par faire remarquer que la variété que considère Heegaard est l’un des exemples qu’il considère lui-même dans l’Analysis Situs. Il fait ensuite remarquer que cet exemple n’est un contre-exemple que si l’on utilise la première définition ci-dessous des nombres de Betti.

Le $q$-ième nombre de Betti d’une variété $V$ est le nombre maximum de sous-variétés de dimension $q$ fermées orientées $\nu_q$ dans $V$, où

1. pour Betti, les $\nu_q$ sont « distinctes » s’il n’existe pas de sous-variété $\omega$ orientée de dimension $q+1$ dont le bord $\partial \omega$ est égal à la réunion de certaines $\nu_q$, alors que
2. dans l’Analysis Situs, les $\nu_q$ sont dites « distinctes » s’il n’existe pas de sous-variété $\omega$ orientée de dimension $q+1$ dont le bord $\partial \omega$ est égal à la réunion de certaines $\nu_q$ avec de possibles répétitions.

Avec cette seconde définition, c’est-à-dire celle de l’Analysis Situs, le théorème de dualité est bien correct et Poincaré annonce qu’il en donnera une nouvelle démonstration dans un article plus long. [2]

Commentaire sur les deux définitions des nombres de Betti

En termes modernes, pour Betti le $q$-ième nombre de Betti est le nombre de générateurs (+1) du $q$-ième groupe d’homologie alors que pour Poincaré c’est le rang (+1) de la partie libre du $q$-ième groupe d’homologie.

Ainsi au sens de Betti $b_1 (\mathbb{RP}^3)= 1 \neq 0 = b_2 (\mathbb{RP}^3)$ alors qu’au sens de Poincaré (qui est aussi le sens moderne) $b_1 (\mathbb{RP}^3) = 0 = b_2 (\mathbb{RP}^3)$.