Commentaires de la note "Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres"

La note

L’intérêt principal de cette note aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences est sa date de publication : le 17 juillet 1893. Il s’agit donc de l’une de deux seules notes concernant l’Analysis Situs publiées par Poincaré avant la publication du mémoire principal, datant de 1895.

La première note, datant d’octobre 1892, a été discutée ici et montrait que dès cette date Poincaré avait une idée claire de la définition du groupe fondamental. Cette deuxième note montre quant à elle que Poincaré avait également compris la dualité qui porte son nom à cette date.

On peut se demander ce qui a poussé Poincaré à publier cette note, visiblement écrite à la va-vite, et sans la moindre démonstration (un peu plus d’un mois après la naissance de son fils Léon) ?

Quoi qu’il en soit, on trouve dans cette note les affirmations suivantes.

1/ En appelant $\alpha_i$ le nombre de faces d’un polyèdre de dimension $i$, la somme alternée

$$\alpha_0 - \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 + \dotsc \pm \alpha_n$$

est une constante qui ne dépend pas de la manière dont le polyèdre est décomposé en faces, autrement dit ne dépend que du polyèdre à homéomorphisme près.

A vrai dire, ce que Poincaré entend par « polyèdre » n’est pas clair. Le contexte semble indiquer qu’il s’agit d’une variété. Cette constante s’appelle aujourd’hui la caractéristique d’Euler du polyèdre (et caractéristique d’Euler-Poincaré dans la littérature francophone).
Poincaré ne semble pas considérer la caractéristique d’un polyèdre qui ne serait pas une variété ?

2/ Cette caractéristique d’Euler peut s’exprimer en fonctions des nombres de Betti $P_i$ comme

$$3 - P_1 + P_2 - \dots - P_{n-1}$$

si la dimension $n$ est paire et

$$ - P_1 + P_2 - \dots + P_{n-1},$$

si $n$ est impair.

Rappelons le décalage de 1 entre les $P_i$ et les les nombres de Betti $b_i$ tels que nous les définissons aujourd’hui : $P_i=b_i+1$. Comme $b_0=b_n=1$ pour une variété connexe et orientable, on retrouve la forme moderne du théorème en termes de la somme alternée des $b_i$.

3/ L’affirmation que la caractéristique est nulle en dimension impaire « comme les nombres de Betti $P_q$ et $P_{n-q}$ sont égaux ». Autrement dit, cette affirmation contient la dualité de Poincaré. On peut s’étonner de la formulation qui laisse entendre que l’égalité entre les nombres de Betti $b_i =b_{n-i}$ était déjà connue de Poincaré depuis un certain temps et que l’affirmation nouvelle est que la caractéristique est nulle en dimension impaire.

Tout cela sera repris dans le premier mémoire et ses compléments (voir les commentaires ici. Le commentaire est ici) et la présentation moderne ici.

La même année

L’année 1893 n’est pas la plus productive de Poincaré, toutes proportions gardées ! On sera cependant impressionné par la diversité des thèmes des notes qu’il présente cette même année à l’Académie.

« Sur une objection à la théorie cinétique des gaz »

« Sur la théorie cinétique des gaz »

« Sur les transformations birationnelles des courbes algébriques »

« Sur la propagation de l’électricité »

Il prononce également deux conférences liées d’une certaine manière à l’Analysis Situs.

« Le continu mathématique »

« Mécanisme et expérience ».

Le théorème d’Euler

Le « théorème » d’Euler selon lequel $S-A+F=2$ pour les nombres $S,A,F$ de sommets, d’arêtes et de faces d’un polyèdre convexe était bien connu en 1893. Son histoire est intéressante. [1]

Pour résumer, Euler publie deux articles sur la question en 1750-51 et (références E230 et E231 dans l’archive Euler), sans preuve convaincante.

C’est Legendre qui en donnera la première preuve en 1794 dans ses Eléments de Géométrie (page 226). Cette preuve est remarquable car elle préfigure en quelque sorte le théorème de Gauss-Bonnet pour une métrique polyédrale. Partant d’un polyèdre convexe, on considère les normales sortantes aux faces, comme des point sur la sphère unité. Lorsqu’on tourne autour d’un sommet, les faces que l’on rencontre cycliquement définissent un certain nombre de ces points sur la sphère unité, qui eux-mêmes définissent un polygone sphérique. La convexité entraîne que ces polygones sphériques recouvrent la sphère sans se chevaucher. Il suffit alors d’exprimer l’aire de la sphère comme la somme des aires de ces polygones, et d’utiliser la formule de Girard pour un triangle sphérique pour obtenir le théorème d’Euler.

Aujourd’hui, on trouvera 17 preuves différentes ici.

Même s’il semble indiscutable qu’Euler est le premier à avoir énoncé de théorème, son expression sous la forme d’une somme alternée, sa généralisation en toutes dimensions, et son lien avec les nombres de Betti sont dus à Poincaré si bien que les francophones ont bien raison de parler de caractéristique d’Euler-Poincaré.

Dans ses recherches sur les systèmes dynamiques sur les surfaces, dès 1880, Poincaré avait établi que si un champ de vecteurs sur la sphère de dimension 2 ne présente que des points singuliers de types nœuds, foyers et cols, « le nombre de nœuds et de foyers surpasse de 2 le nombre des cols ». On trouve bien évidemment là l’interprétation de la caractéristique d’Euler-Poincaré comme la somme des indices des points singuliers d’un champ de vecteurs. Bien entendu, en 1880 Poincaré ne suspectait pas encore la grande généralisation qu’il apporterait à ce concept bi-dimensionel.