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> Textes originaux > Analysis Situs > § 5. Homologies Cette page présente la transcription d’une section des Œuvres Complètes de Poincaré. Vous pouvez retrouver nos commentaires par ici. § 5. Homologies |
Considérons une variété $V$ à $p$ dimensions ; soit maintenant $W$ une variété à $q$ dimensions $(q \leq p)$ faisant partie de $V$. Supposons que la frontière complète de $W$ se compose de $\lambda$ variétés continues à $q-1$ dimensions.
Nous exprimerons ce fait par la notation
$$v_1+v_2+\dots+v_\lambda\sim 0.$$
Plus généralement la notation
$$k_1v_1+k_2v_2\sim k_3v_3+k_4v_4,$$
où les $k$ sont des entiers et les $v$ des variétés à $q-1$ dimensions, signifiera qu’il existe une variété $W$ à $q$ dimensions faisant partie de $V$ et dont la frontière complète se composera de $k_1$ variétés peu différentes de $v_1$, de $k_2$ variétés peu différentes de $v_2$, de $k_3$ variétés peu différentes de la variété opposée à $v_3$ et de $k_4$ variétés peu différentes de la variété opposée à $v_4$.
Les relations de cette forme pourront s’appeler des homologies.
Les homologies peuvent se combiner comme des équations ordinaires. Nous emploierons aussi la notation suivante ; supposons que l’on ait
$$k_1v_1+k_2v_2+\dots+k_pv_p\sim w_1+w_2+\dots+w_q$$
et que les variétés $w_1,w_2,\dots,w_q$ fassent partie de la frontière de $V$ ; nous écrirons quelquefois [1]
$$k_1v_1+k_2v_2+ \dots +k_pv_p\sim \epsilon.$$
[1] Nous avons corrigé deux coquilles de Poincaré, qui melange $p$ et $q$ et qui oublie les points de suspension dans la formule suivante.