§ 2. Homéomorphisme

Considérons une substitution qui change $x_1,x_2,\ldots,x_n$ en $x_1',x_2',\ldots,x_n'$, que j’assujettis seulement aux conditions suivantes.

On a

$$ \tag{4} \begin{array}{cc} x_i'= \phi_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)& (i=1,2,\ldots,n).\\ \end{array} $$

Dans un certain domaine, les fonctions $\phi_i$ sont uniformes, finies et continues ; elles ont des dérivées continues et leur déterminant fonctionnel ne s’annule pas.

Si l’on résout les équations (2) par rapport à $x_1,x_2,\ldots,x_n$, il vient

$$ \begin{array}{cc} x_k= \phi_k'(x_1',x_2',\ldots,x_n')& (k=1,2,\ldots,n).\\ \end{array} $$

et les fonctions $\phi_k'$ satisfont aux mêmes conditions que les fonctions $\phi_i$.

Il est clair que l’ensemble des substitutions qui satisfont à ces conditions forme un groupe, et ce groupe est un des plus généraux que l’on puisse imaginer. La Science dont l’objet est l’étude de ce groupe et de quelques autres analogues a reçu le nom d’Analysis situs.

Il est clair qu’une substitution de ce groupe transformera une variété de $m$ dimensions en une variété de $m$ dimensions, et que la variété transformée sera continue, ou finie, ou illimitée si la variété donnée l’est elle-même (et inversement).

Soient deux variétés d’un même nombre de dimensions définies $V$ et $V'$ respectivement par les conditions

$$ \tag{1} \left\{ \begin{array}{lc} F_{\alpha}=0 & (\alpha = 1,2,\ldots,p),\\ \phi_{\beta}=0 & (\beta = 1,2,\ldots,q),\\ \end{array} \right. $$

et

$$ \tag{1 bis} \left\{ \begin{array}{lc} F_{\alpha}'=0 & (\alpha = 1,2,\ldots,p),\\ \phi_{\beta}'>0 & (\beta = 1,2,\ldots,q').\\ \end{array} \right. $$

Supposons que l’on puisse faire correspondre à un point $x_1,x_2,\ldots,x_n$ de la variété $V$ un point $x_1',x_2',\ldots,x_n'$ de la variété $V'$, de telle sorte que l’on ait

$$ \tag{5} \begin{array}{cc} x_k'= \psi_k(x_1,x_2,\ldots,x_n)& (k=1,2,\ldots,n).\\ \end{array} $$

Je considère le domaine $D$ défini par les inégalités

$$\begin{array}{ccc} F_{\alpha}>-\epsilon& F_{\alpha}<\epsilon& \phi_{\beta}> 0.\\ \end{array}$$

La variété $V$ est évidemment contenue tout entière dans le domaine $D$.

Je suppose que dans le domaine $D$ les fonctions $\psi_k$ sont finies, continues et uniformes, qu’elles ont des dérivées continues et que leur déterminant fonctionnel n’est jamais nul.

Résolvons maintenant les équations (5), nous trouverons

$$ \tag{6} \begin{array}{cc} x_k= \psi_k'(x_1',x_2',\ldots,x_n')& (k=1,2,\ldots,n).\\ \end{array} $$

Je considère le domaine $D'$ défini par les inégalités

$$ \begin{array}{ccc} F_{\alpha}'>-\epsilon& F_{\alpha}'<\epsilon& \phi_{\beta}'> 0.\\ \end{array} $$

et je suppose que dans le domaine $D'$ les fonctions $\psi_k'$ sont finies, continues et uniformes, qu’elles ont des dérivées continues et que leur déterminant fonctionnel n’est pas nul.

Il résulte de ces hypothèses qu’à tout point de $V$ correspond un point de $V'$ et un seul et inversement ; à toute variété $W$ contenue dans $V$ correspondra une variété $W'$, d’un même nombre de dimensions, contenue dans $V'$ ; si $W$ est continue, finie ou illimitée, il en sera de même de $W'$ et inversement.

Si toutes ces conditions sont remplies, nous dirons que les deux variétés $V$ et $V'$ sont équivalentes au point de vue de l’Analysis situs, ou, pour abréger le langage, qu’elles sont homéomorphes, c’est-à-dire de forme pareille.

Je pourrai dire aussi que deux figures plus compliquées, composées d’un nombre quelconque de variétés, sont homéomorphes quand on passera de l’une à l’autre par une transformation de la forme (5).

Ainsi deux polygones d’un même nombre de côtés seront homéomorphes ; deux polyèdres dont les faces seront en même nombre auront le même nombre de côtés et seront semblablement disposées, seront homéomorphes, etc.