Commentaires sur le §2 de l’Analysis Situs (Homéomorphisme)

Au §1, Poincaré a défini quels types d’espaces l’intéressent : ce sont les variétés à $m$ dimensions (il y reviendra au §3). Il doit maintenant préciser à quelle condition deux variétés à $m$ dimensions seront considérées comme équivalentes du point de vue de l’Analysis Situs.

Un groupe de substitutions

Poincaré commence par définir un « groupe de substitutions ». Les « substitutions » considérées par Poincaré vont d’un ouvert de $\mathbb{R}^n$ dans un autre, sont « uniformes, finies » (autrement dit, ce sont des applications au sens moderne du terme), « continues », « elles ont des dérivées continues, et leur déterminant fonctionnel ne s’annule pas » (en termes modernes : leur différentielle est inversible en tout point). Ces substitutions sont donc des difféomorphismes locaux entre ouverts de $\mathbb{R}^n$. Poincaré ne suppose pas explicitement que ces difféomorphismes locaux sont injectifs, mais cette hypothèse est implicite. En effet, il écrit : « Il est clair que l’ensemble des substitutions qui satisfont ces conditions forment un groupe » et plus loin « Il résulte de ces hypothèses qu’à tout point de $V$ correspond un point de $V′$ et un seul et inversement ». En résumé :

On notera que ces substitutions ne forment pas un groupe stricto sensu, mais plutôt un pseudo-groupe, puisqu’elles n’ont pas toutes les mêmes espaces de départ et d’arrivée.

Poincaré déclare que l’Analysis Situs est la science dont l’objet est l’étude de ce (pseudo-)groupe de transformations. On notera l’influence du programme d’Erlangen de F. Klein, selon lequel « une géométrie, c’est un groupe de transformation ».

Variétés homéomorphes

Les « substitutions », telles que définies ci-dessus, transforment des ouverts de $\mathbb{R}^n$ en ouverts de $\mathbb{R}^n$. Il faut maintenant utiliser des substitutions pour définir des transformations entre « variétés à $m$ dimensions » (c’est-à-dire, en termes modernes, entre sous-variétés de $\mathbb{R}^n$).

Considérons deux « variétés à $m$ dimensions » $V$ et $V'$ dans $\mathbb{R}^n$ définies, comme au §1, par des systèmes d’(in-)équations

$$\left\{ \begin{array}{l} F_1=0,\dots,F_p=0,\\ \phi_1>0,\dots,\phi_q>0 \end{array}\right. $$

et

$$\left\{ \begin{array}{l} F_1'=0,\dots,F_p'=0,\\ \phi_1'>0,\dots,\phi_{q'}'>0 \end{array}\right. $$

Pour $\epsilon>0$, Poincaré considère les ouverts $D$ et $D'$ de $\mathbb{R}^n$ définis par les systèmes d’inéquations

$$\left\{ \begin{array}{l} |F_1|<\epsilon,\dots,|F_p|<\epsilon,\\ \phi_1>0,\dots,\phi_q>0 \end{array}\right. $$

et

$$ \left\{\begin{array}{l} |F_1'|<\epsilon,\dots,|F_p'|<\epsilon,\\ \phi_1'>0,\dots,\phi_{q'}'>0 \end{array}\right. $$

Il dit alors que les variétés $V$ et $V'$ sont équivalentes au point de vue de l’Analysis Situs, ou homéomorphes, si les ouverts $D$ et $D'$ sont (pour $\epsilon$ assez petit) images l’un de l’autre par une substitution $\Psi$ du type introduit précédemment (c’est-à-dire, en termes modernes, si les ouverts $D$ et $D'$ sont difféomorphes), qui envoie de plus $V$ sur $V'$.

Lorsque les variétés $V$ et $V'$ sont fermées au sens moderne (c’est-à-dire compactes et sans bord), il est facile de voir [1] que, pour $\epsilon$ assez petit, les ouverts $D$ et $D'$ sont difféomorphes respectivement à $V\times \mathbb{R}^{n-m}$ et $V'\times \mathbb{R}^{n-m}$ (on dit que $D$ et $D'$ sont des voisinages tubulaires de $V$ et $V'$). Ainsi, les ouverts $D$ et $D'$ sont difféomorphes si et seulement si les variétés $V$ et $V'$ le sont. Notons que cela provient du fait, déjà noté dans nos commentaires du §1, que les variétés définies par Poincaré ont des fibrés normaux trivialisables. Ce ne sera plus le cas pour la définition plus générale donnée par Poincaré dans §3.

En résumé :

Poincaré le dit clairement : deux variétés « homéomorphes » sont équivalentes au point de vue de l’Analysis Situs. Autrement dit, l’Analysis Situs, telle que la définit Poincaré, est, en termes modernes, l’étude des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$ à difféomorphisme près. Il est important de noter que Poincaré ne demande jamais que les « substitutions » qu’il considère s’étendent à $\mathbb{R}^n$. Ceci signifie qu’il veut étudier les « variétés à $m$ dimensions » d’un point de vue intrinsèque. Il les définit comme des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$ car il ne sait pas définir une notion de variété abstraite, mais il ne veut pas s’intéresser à la manière dont ces sous-variétés sont plongées dans $\mathbb{R}^n$.