Commentaires sur le §12 de l’Analysis Situs (Groupe fondamental)

Le groupe fondamental est d’abord introduit par Poincaré comme groupe de monodromie. Suivons-le et considérons un système $\mathcal{F}$ de $\lambda n$ équations aux dérivées partielles

$$\frac{\partial y_\alpha }{\partial x_i} = \mathcal{F}_{\alpha , i } (x_1 , \ldots , x_n ; y_1 , \ldots , y_{\lambda} ),$$

où les fonctions différentiables $\mathcal{F}_{\alpha , i}$, $1 \leq \alpha \leq \lambda$, $1 \leq i \leq n$, sont définies sur un ouvert $D \times \mathbb{R}^{\lambda}$. [1]

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Pour ceux qui aiment les champs de plans, voire même les connexions

En termes plus modernes, le système $\mathcal{F}$ définit un champs de $n$-plans (de même classe que la classe de différentiabilité des $\mathcal{F}_{\alpha , i}$) sur $D \times \mathbb{R}^{\lambda}$. Le champ de plans est engendré par les champs de vecteurs

$$X_i := \frac{\partial}{\partial x_i} + \sum_\alpha \mathcal{F}_{\alpha , i} \frac{\partial}{\partial y_\alpha} \quad (i = 1 , \ldots , n)$$

sur $D \times \mathbb{R}^{\lambda}$. [2]

La projection $D \times \mathbb{R}^{\lambda} \to D$ est une fibration. En suivant le point de vue introduit par Ehresmann dans les années 1940, on appelle connexion un champ de $n$-plans $\mathcal{F}$ sur $D \times \mathbb{R}^{\lambda}$ transverse aux fibres. Une connexion est dite linéaire si les fonctions

$$\mathcal{F}_i = (\mathcal{F}_{1 , i} , \ldots , \mathcal{F}_{\lambda , i}) : D \times \mathbb{R}^\lambda \to \mathbb{R}^\lambda \quad (i=1 , , \ldots , n)$$

vérifient :

$$\mathcal{F}_i (p , L(q)) = L (\mathcal{F}_i (p,q )) \quad \forall L \in \mathrm{GL}(\lambda , \mathbb{R}).$$

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Le système $\mathcal{F}$ est dit intégrable si les équations (dites d’intégrabilité)

$$\frac{\partial \mathcal{F}_{\alpha , i}}{\partial x_j} + \sum_\beta \frac{\partial \mathcal{F}_{\alpha , i}}{\partial y_\beta} \mathcal{F}_{\beta , j} = \frac{\partial \mathcal{F}_{\alpha , j}}{\partial x_i} + \sum_\beta \frac{\partial \mathcal{F}_{\alpha , j}}{\partial y_\beta} \mathcal{F}_{\beta , i}$$

sont satisfaites pour tous $\alpha , i , j$ sur $D \times \mathbb{R}^\lambda$.

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Pour ceux qui aiment les crochets (de Lie)

En termes plus modernes, le système $\mathcal{F}$ est intégrable si pour tous $i,j$, le crochet de Lie $[X_i , X_j ]$ est nul. En effet, on a :

$$[X_i , X_j ] = \sum_{\alpha} \left\{ \left( \frac{\partial \mathcal{F}_{\alpha , i} }{\partial x_j} - \frac{\partial \mathcal{F}_{\alpha , j } }{\partial x_i} \right) + \sum_{\beta} \left( \frac{\partial \mathcal{F}_{\alpha , i} }{\partial y_\beta} \mathcal{F}_{\beta , j} - \frac{\partial \mathcal{F}_{\alpha , j}}{\partial y_\beta} \mathcal{F}_{\beta , i} \right) \right\} \frac{\partial}{\partial y_\alpha },$$

de sorte que l’on retrouve bien les équations d’intégrabilité.

Une connexion intégrable est aussi appelée connexion plate.

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Le théorème suivant --- qui motive la définition d’un système intégrable --- était « bien connu » en 1895.

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Une vision plus « moderne »

Demander que le champ de $\lambda$-plans $\mathcal{F}$ soit intégrable revient donc à demander qu’il existe un feuilletage sur $D \times \mathbb{R}^\lambda$ tel que l’application qui à un point $(p,q)$ de $D \times \mathbb{R}^\lambda$ associe l’espace tangent en $(p,q)$ à la feuille passant par $(p,q)$ définisse notre champs de plans. On retrouve ainsi la manière moderne d’énoncer le Théorème de Frobenius.

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Supposons maintenant que le système $\mathcal{F}$ soit tel que le voisinage $N_{(p,q)}$ de $p$ donné par le théorème de Frobenius puisse être choisi indépendamment de $q$ et notons ce voisinage $N_p$. [3] Étant donné deux points $p_1$ et $p_2$ dans $D$ suffisamment proches pour que $N_{p_1}$ et $N_{p_2}$ s’intersectent, on obtient une substitution, c’est-à-dire une bijection, $S_{12} : \mathbb{R}^\lambda \to \mathbb{R}^\lambda$ telle que

$$F^{(p_1 , q)} = F^{(p_2 , S_{12} (q))}$$

sur $N_{p_1} \cap N_{p_2}$.

Considérons maintenant une sous-variété $W$ dans $D$ avec un point base fixé $b$. Le long de tout lacet [4] $C$ dans $W$ basé en $b$, on peut choisir une suite de points $b=p_1, p_2 , \ldots , p_{t-1} , p_t =b$, deux à deux suffisamment proches pour que les bijections $S_{i(i+1)}$ ($i=1 , \ldots , t-1$) soient bien définies. Considérons alors la bijection $S_{12} S_{23} \cdots S_{(t-1)t}$ obtenue en composant ces transformations. Cette bijection ne dépend pas du choix des $p_i$ mais seulement du lacet $C$, on la note donc $S_C$. En notant $C_1 C_2$ la juxtaposition de deux lacets $C_1$ et $C_2$, on a en outre : $S_{C_1 C_2} = S_{C_1} S_{C_2}$. L’ensemble des transformations $S_C$ forme un groupe $G_{\mathcal{F}}$, appelé groupe de monodromie du système intégrable $\mathcal{F}$, sur la variété $W$, en le point $b$. [5]

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Et la notion d’homotopie ?

Poincaré ne dispose pas de la notion d’homotopie. Celle-ci est remplacée par la notion de « lacet » (sic). En effet, chez Poincaré, un lacet désigne un chemin partant de $b$, suivi d’une « petite boucle » (triviale en homotopie donc) elle-même suivie du chemin initiale parcouru en sens inverse. Il suffit à Poincaré de remarquer que la transformation $S_C$ associée à un tel lacet est la transformation identité.

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Lien avec la théorie des revêtements

Un système intégrable $\mathcal{F}$ définit un feuilletage de $D \times \mathbb{R}^\lambda$. On peut alors munir l’ensemble $D \times \mathbb{R}^\lambda$ de la topologie des feuilles. On notera abusivement $\mathcal{F}$ l’espace topologique ainsi obtenu. La projection $\mathcal{F} \to D$, ou encore plus simplement sa restriction à n’importe quelle feuille de $\mathcal{F}$, est un exemple de revêtement de $D$ : en restriction à chaque composante connexe de la préimage d’un ouvert connexe suffisamment petit $N_p \subset D$ la projection est un homéomorphisme sur son image $N_p$.

On peut plus généralement étendre ces définitions à toute sous-variété $W \subset D$ en considérant des portions de feuilles, etc., au-dessus de $W$. L’animation suivante illustre par exemple cela pour $W=\mathbb{S}^1$ dans l’exemple considéré ci-dessus.

On ne considère ici qu’une seule feuille plutôt que le feuilletage $\mathcal{F}$ tout entier. Le revêtement de $\mathbb{S}^1$ ainsi obtenu est équivalent au revêtement exponentiel $\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{C}$ défini par $x \mapsto e^{2i\pi x}$.

La définition du groupe de monodromie $G_{\mathcal{F}}$ s’étend naturellement à tout revêtement $\mathcal{F} \to W$ ; on l’appelle alors groupe du revêtement.

Poincaré pense au revêtement $\mathcal{F}$ comme à une fonction multivaluée $F$ (par exemple $\mathrm{tan}^{-1} (y/x)$ dans l’exemple précédent) ayant, pour tout petit ouvert $N_p \subset W$, des branches différentiables $F^{p,q} : N_p \to \mathbb{R}^\lambda$ (ou sections au-dessus de $N_p$ de $\mathcal{F} \to W$) qui prennent des valeurs distinctes $F^{p,q} (x)$ pour tout $x \in N_p$. Il définit alors le groupe $G_{\mathcal{F}}$ comme l’ensemble des permutations $S_C$ de ces branches obtenues en les « suivant » le long de tous les lacets $C$ basés en un point base $b$.

Le lien entre fonctions multiformes, monodromie, revêtement et groupe fondamental fait l’objet de deux cours filmés.

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Motivé par l’exemple des groupes de monodromie qu’il vient de considérer, Poincaré propose de définir une relation d’équivalence $\equiv$ sur l’ensemble des lacets (contours fermés chez Poincaré) d’une variété $W$, ainsi qu’une loi de composition interne $+$ sur les classes d’équivalences de lacets. On prendra garde au fait que la loi $+$ n’est pas nécessairement commutative. Poincaré pose en effet :

$$C_1 + C_2 \equiv C_1 C_2.$$

Plus généralement, si $A$ et $B$ sont deux combinaisons (formelles) entières de lacets basés en $b$, la relation $A \equiv B$ est engendrée par les relations élémentaires suivantes :

$$A \equiv B \Leftrightarrow B \equiv A,$$

$$(A \equiv B \mbox{ et } C \equiv D ) \Rightarrow A+C \equiv B + D,$$

 [6]

$$2A \equiv A+A,$$

$$2A -3B \equiv 0 \Leftrightarrow 2A \equiv 3B,$$

etc. et bien sûr Poincaré pose $C \equiv 0$ pour tout « lacet » en son sens.

La relation $\equiv$ que Poincaré cherche à définir est bien entendu la relation d’homotopie et la loi $+$ est la concaténation des chemins.

Une relation supplémentaire et une erreur de Poincaré

Poincaré ajoute aussi les relations $\partial \Sigma \equiv 0$, pour toute sous-variété orientée de dimension $2$ dans $W$ ! C’est une erreur grossière qu’il ne fait plus par la suite (sans plus de commentaires bien entendu :) ) : en général $\partial \Sigma$ est seulement homologue à $0$ et pas homotope comme le montre par exemple l’exemple d’un tore privé d’un disque.

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Tout groupe de monodromie $G_{\mathcal{F}}$ vérifie les relations fondamentales :

1. $C \equiv C_1 + C_2 \Rightarrow S_C = S_{C_1} S_{C_2}$, et
2. $C\equiv 0 \Rightarrow S_C = \mathrm{Id}$.

On peut donc « imaginer » un groupe $G$, dépendant de la variété $W$ et du point base $b$, [7] constitué d’éléments $S_C$ vérifiant la relation (1) et la relation plus forte

$$\tag{2'} C\equiv 0 \Leftrightarrow S_C = \mathrm{Id}.$$

Poincaré remarque que le morphisme naturel $G \to G_{\mathcal{F}}$ est toujours surjectif mais pas nécessairement injectif : il peut arriver qu’un chemin fermé $C$ ne soit pas décomposable en un produit de lacets (donc que $C \equiv 0$) et que pourtant la substitution associée dans le groupe $G_{\mathcal{F}}$ soit l’identité.

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Commentaires sur le « on peut imaginer » de Poincaré

On peut interpréter de plusieurs manière le raccourci de Poincaré. L’interprétation la plus naturelle pour un lecteur moderne est certainement l’existence d’un groupe abstrait défini par générateurs et relations. C’est toutefois une manière peut-être un peu trop moderne de comprendre cette phrase. [8] Une autre interprétation, plus forte, serait que Poincaré sous-entend qu’il existe un système intégrable $\mathcal{F}$ dont le groupe de monodromie $G_{\mathcal{F}}$ vérifie (2’) [9] ou, l’énoncé intermédiaire : il existe un revêtement universel $\mathcal{F} \to W$, c’est-à-dire un revêtement pour lequel (2’) est vérifiée, ou de manière équivalente $G_{\mathcal{F}} \cong G$.

Dans ses travaux sur l’uniformisation des surfaces, Poincaré avait déjà démontré l’existence d’un revêtement universel pour les surfaces, il est donc probable que la dernière interprétation du « on peut imaginer » soit la bonne. Le calcul des groupes fondamentaux des différents exemples du §10 dans le paragraphe suivant est compatible avec cette interprétation comme le montre le calcul général du groupe fondamental d’une variété polyédrique détaillé ici ; calcul qui suit de près les travaux antérieurs de Poincaré sur les groupes fuchsiens (en particulier le théorème du domaine fondamental). Surtout : Poincaré identifie explicitement le groupe fondamental de son sixième exemple au groupe de monodromie $G_T$ du revêtement $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 / G_T$.

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Lacets ou groupe de monodromie ?

Cette manière de penser le groupe fondamental comme groupe de monodromie plutôt que par les lacets est détaillée ici et fait l’objet de quatre cours filmés. Il est instructif de comparer les avantages et inconvénients de ces deux méthodes.

L’approche par la monodromie est plus conceptuelle et admet de nombreuses généralisations plus algébriques, par exemple pour des variétés algébriques définies sur des corps quelconques, même finis, pour lesquels l’approche par les lacets n’est pas praticable.

L’approche par les lacets est plus pratique et calculatoire, elle est souvent choisie dans les manuels de topologie algébrique pour introduire le groupe fondamental et elle est particulièrement utile pour les calculs en dimension 2 et 3. Un point clé pour identifier les deux approches est la proposition suivante qui était certainement connue de Poincaré.

De cette manière on peut donc définir le groupe fondamental $G$ comme le groupe de monodromie d’un revêtement universel $\mathcal{F} \to W$. Il opère proprement et librement sur $\mathcal{F}$ et on a $\mathcal{F} /G \cong W$. On peut montrer que tout difféomorphisme $W \to W'$ se relève en un difféomorphisme $\mathcal{F} \to \mathcal{F}'$ qui commute aux transformations de revêtements. On en déduit en particulier que $\mathcal{F}/G \cong \mathcal{F}' / G'$ si et seulement si $G$ et $G'$ sont conjugués dans le groupe des difféomorphismes de $\mathcal{F}$.

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Poincaré remarque que, contrairement au cas des homologies, on a besoin d’un point base pour définir la relation $\equiv$. [10] En dehors de cela Poincaré énonce essentiellement la proposition suivante, souvent appelée Théorème d’Hurewicz [11] :

Démonstration. Cela découle des définitions des $1$-homologies et des relations $\sim$ et $\equiv$, et du fait que toute courbe fermée orientée $C$ est homologue au lacet $ACA^{-1}$, où $A$ est un chemin quelconque du point base $b$ à un point de $C$.

C.Q.F.D.

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