Des deux approches possibles du groupe fondamental, celle que nous proposons ici est la plus classique. Les éléments du groupe fondamental d’un espace $X$ apparaitront comme des classes d’homotopies de lacets dans $X$. La quasi-totalité des livres d’introduction à la topologie algébrique adopte ce point de vue. Notre présentation, relativement concise, est proche de celle du livre [1], ou encore des notes de cours [2]. On pourra aussi consulter [3] pour une autre approche condensée, [4] pour une approche plus algébrique ou encore [5] pour une approche plus générale via la théorie des groupoïdes.
L’objectif n’est pas ici d’étudier les subtilités topologiques des espaces sur lesquels le groupe fondamental est défini. On supposera donc par la suite que tous les espaces considérés sont « jolis », c’est à dire des variétés ou des CW-complexes. Si vous aimez les espaces un peu plus généraux, tout se passera bien si vous considérez des espaces topologiques séparés et localement connexes par arcs.
On associe donc un groupe « fondamental » à tout espace topologique raisonnable $X$. Cette construction traduit bien la structure de $X$ car
- elle se comporte bien vis-à-vis des fonctions continues (on parle de fonctorialité), en particulier les applications continues induisent des morphismes entre des groupes fondamentaux à la source et au but et ces morphismes se composent bien. Cette propriété découle directement de la définition du groupe fondamental par les lacets
- si la structure de $X$ est apparente, c’est-à-dire si $X$ s’écrit comme quotient d’un espace le plus simple possible $Y$ sous l’action (jolie bien sûr) d’un groupe $\Gamma$ alors le groupe fondamental de $X$ s’identifie à $\Gamma$. Dans ce cas, l’action de $\Gamma$ sur $Y$ fait de $Y\to \Gamma\backslash Y$ un revêtement. Cette propriété est le point de départ de la présentation du groupe fondamental par les revêtements. Dans la présentation par les lacets, elle demande plus de travail.
Définition du groupe fondamental et premières propriétés
Le principal avantage de l’approche « par les lacets » est de permettre une définition rapide du groupe fondamental [6]. Nous le construisons dès notre premier article :
Les propriétés de fonctorialité sont obtenues dans la foulée. On verra également que le groupe fondamental est un invariant plus général qui ne dépend que du type d’homotopie.
Groupe fondamental d’un quotient
On entreprend ensuite de décrire le groupe fondamental d’un espace qui apparaît sous la forme d’un quotient $X=\Gamma\backslash Y$. Dans les bons cas, la projection naturelle de $Y$ sur $X$ est ce que l’on appelle un revêtement.
Une propriété importante est la possibilité de relever les lacets et les homotopies de $X$ à $Y$.
On peut alors déterminer le groupe fondamental de $X$.
Puis décrire une action naturelle du groupe fondamental de $X$ sur la fibre de la projection $Y\to X$.
Le groupe fondamental et les revêtements
On montre alors que tout espace (raisonnable) $X$ peut s’écrire comme quotient d’un espace $Y$ en construisant le revêtement universel de $X$.
On peut alors étudier plus complètement les liens entre le groupe fondamental d’un espace $X$ et les revêtements de $X$. On commence par un outil technique.
On est alors prêt pour établir une classification des revêtements d’un espace donné :
- Classification des revêtements et les revêtements galoisiens.
- Caractérisation d’un revêtement par son action sur la fibre.
On termine en démontrant que la trivialité du groupe fondamental d’un espace (raisonnable) équivaut à l’absence de revêtement connexe non-trivial de cet espace.
Une application classique
Nous terminons par une note légère, avec une application facile et très (trop ?) classique de la notion de groupe fondamental.
[1] Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
[2] Frédéric Paulin, Topologie algébrique élémentaire, Cours ENS, 2009-2010.
[3] André Gramain, Topologie des surfaces, PUF Le mathématicien (1971).
[4] Edwin H. Spanier, Algebraic topology, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981
[5] Ronald Brown, Topology and groupoids, BookSurge, LLC, Charleston, SC, 2006, Third edition. In Elements of modern topology McGraw- Hill, New York, 1968.
[6] alors que, dans l’approche « par les revêtements », il faut d’abord définir les revêtements, munir l’ensemble des revêtements d’un ordre, montrer l’existence et l’unicité d’un élément maximal (le revêtement universel),... avant de définir le groupe fondamental comme groupe d’automorphisme de ce revêtement universel.