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> Groupe fondamental > Groupe fondamental par les lacets > Action du groupe fondamental sur la fibre d’un revêtement Action du groupe fondamental sur la fibre d’un revêtement |
Le théorème de relèvement des homotopies permet de décrire une action du groupe fondamental sur la fibre d’un revêtement, appelée monodromie. Dans le cas d’un quotient sous l’action topologiquement libre d’un groupe Γ cette action correspond à l’action de Γ.
Étant donné un lacet γ basé en x0, on peut définir une application Fx0→Fx0 « de transport le long de γ » en associant à y0∈Fx0 l’extrémité de l’unique relevé de γ issu d’un point y0. En faisant varier les lacets γ, on obtient une action du groupe fondamental de X sur la fibre Fx0.
Soit p:Y→X un revêtement et x0∈X un point-base. Soit Fx0=p−1{x0} la fibre en x0 de p. Si γ∈Ω(X,x0) est un lacet et y0∈Fx0, on définit y0⋅γ∈Fx0 comme l’extrémité ˜γ(1) de l’unique relevé ˜γ de γ tel que ˜γ(0)=y0.
Alors y0⋅γ ne dépend que de la classe d’homotopie [γ]∈π1(X,x0) du lacet γ et cette construction définit une action à droite du groupe fondamental de X sur la fibre Fx0
Fx0×π1(X,x0)→Fx0
appelée monodromie.
Le fait que l’action soit à droite signifie que, pour tout point y de la fibre Fx0, et toute paire g,g′ d’éléments de π1(X,x0), on a
y⋅(gg′)=(y⋅g)⋅g′.
Cette propriété inhabituelle vient de la différence d’ordre dans les lois de groupe sur π1(X,x0) et σ(Fx0) : la composition g∘f des fonctions est obtenue en appliquant d’abord f puis g alors que la concaténation γ∗γ′ est (à homotopie près) en suivant d’abord γ puis γ′. L’action est donc naturellement à droite, ou, si l’on préfère, la fonction naturellement associée ϕ:π1(X,x0)→σ(Fx0) est un anti-morphisme : ϕ(gg′)=ϕ(g′)∘ϕ(g).
On verra dans cet article que cette action du groupe fondamental de la base sur la fibre contient essentiellement toute la structure du revêtement.
Si X est le quotient d’un espace simplement connexe sous l’action topologiquement libre d’un groupe Γ, on a vu ici que π1(X,x0) et Γ sont isomorphes. Si y0 est un point de la fibre de x0, notre isomorphisme ϕ est décrit par la relation ϕ([γ])⋅y0=y0⋅[γ].
Les propriétés suivantes découlent directement de la définition de l’action du groupe fondamental sur la fibre.
Soit p:(Y,y0)→(X,x0) un revêtement connexe.
- Alors p∗(π1(Y,y0)) est le stabilisateur de y0 sous l’action de π1(X,x0).
- Soit g∈π1(X,x0). Alors p∗(π1(Y,y0⋅g))=g⋅p∗(π1(Y,y0))⋅g−1.
Un revêtement est connexe par arcs si et seulement si l’action du groupe fondamental sur la fibre est transitive.
Ces propriétés permettent de retrouver le résultat suivant déjà prouvé ici : si un revêtement p est connexe par arcs alors p est un homéomorphisme si et seulement si p∗ est un isomorphisme. En effet, si p est un homéomorphisme alors p∗ est un isomorphisme et si p n’est pas un homéomorphisme, la fibre en x0 contient au moins deux points distincts y0 et y0⋅g. Ainsi g n’est pas dans le stabilisateur de y0 et p∗ n’est pas surjective.
Action sur la fibre et morphismes de revêtements
L’action du groupe fondamental sur la fibre se comporte également bien vis à vis des morphismes de revêtements : si F est un morphisme de revêtement entre q:(T,t0)→(X,x0) et p:(Y,y0)→(X,x0)
\xymatrix{(T,t_0)\ar[rr]^{F}\ar[rd]_{q}&& (Y,y_0)\ar[ld]^{p} \\ & (X,x_0)& }
et si h∈π1(X,x0) alors F(t0⋅h)=y0⋅h.
Plus généralement, si (F,f) est un morphisme de revêtements entre q:(T,t0)→(Z,z0) et p:(Y,y0)→(X,x0)
(T,t0)F→(Y,y0)q↓p↓(Z,z0)f→(X,x0)
et si h∈π1(Z,z0) alors F(t0⋅h)=y0⋅f∗(h).
Considérons C le bouquet de deux cercles notés a et b.
L’action du groupe fondamental π1(C,x0) sur un revêtement est déterminée par les actions de [a] et [b]. Il y a trois permutations de l’ensemble à trois éléments à conjugaison près : l’identité, une transposition et un cycle de longueur 3. À isomorphisme près, il existe donc 11 revêtements à trois feuillets du bouquet de deux cercles.
Parmi ces revêtements, 7 sont connexes. Ils correspondent bien aux cas où l’action du groupe fondamental est transitive.
On voit ici expérimentalement que toutes les actions possibles sont réalisées par un revêtement. Cette propriété est vraie en général et expliquée dans cet article).
L’étude du groupe fondamental par les lacets se poursuit avec la construction du revêtement universel qui permet de décrire tout espace raisonnable comme un quotient.