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Le théorème de classification des revêtements permet de montrer l’équivalence entre les définitions d’espaces « les plus simples possibles » dans les théories du groupe fondamental par les revêtements et par les lacets, à savoir
- les espaces simplement connexes : les espaces n’admettant pas de revêtement connexe non trivial
- les espaces $1$-connexes : les espaces dans lesquels tous lacet est homotope à un lacet constant.
Soit $p : (Y,y_0)\to (X,x_0)$ un revêtement connexe. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
- Le groupe fondamental de $Y$ est trivial.
- Tout revêtement connexe $(Y,y_0)$ est trivial (i.e. est un homéomorphisme).
- Tout revêtement connexe $q: (Z,z_0)\to (X,x_0)$, il existe un morphisme de revêtements pointés
$$\xymatrix{ (Y,y_0) \ar[dr]_{p} \ar[rr]&& (Z,z_0) \ar[dl]^{q} \\ & (X,x_0) & }$$
La propriété iii indique que le revêtement $p: (Y,y_0)\to (X,x_0)$ est « au-dessus » de tou. les autres.
Démonstration du théorème.
$i\Rightarrow iii.$ Supposons que $\pi_1(Y,y_0)$ est trivial et considérons un revêtement connexe $q: (Z,z_0)\to (X,x_0)$. Alors, par le théorème de classification des revêtements, $X$ s’écrit $\Gamma\backslash Y$ et il existe un sous-groupe $\Lambda$ de $\Gamma$ tel que $Z=\Lambda\backslash Y$. On a alors le diagramme suivant
$$ \xymatrix{ Y \ar[dr]_{p_\Gamma} \ar[rr]^{p_\Lambda}&& \Lambda\backslash Y \ar[dl]^{q} \\ & \Gamma\backslash Y& }$$
Le morphisme de revêtements cherché est obtenu en composant $p_\Gamma$ par un automorphisme de $Y$ pour garantir $f(y_0)=z_0$.
$iii\Rightarrow ii.$ Supposons la propriété 2 vérifiée et considérons un revêtement $r: (Z,z_0)\to (Y,y_0)$ où $Z$ est connexe. Alors $r\circ p: (Z,z_0)\to (X,x_0)$ est un revêtement connexe. La propriété 2 fournit une application continue $\pi:(Y,y_0)\to (Z,z_0)$ telle que $p=\pi\circ (r\circ p)$. Ainsi $\pi\circ r=\mathrm{Id}$, et par suite, $r$ est un homéomorphisme.
$ii\Rightarrow i.$ Si $\pi_1(Y,y_0)$ n’était pas trivial, alors, d’après le théorème de classification des revêtements, $(Y,y_0)$ admettrait un revêtement non-trivial.
C.Q.F.D.