Le groupe fondamental est le premier invariant topologique introduit par Poincaré. Comme son nom l’indique, il est un élément crucial de la description topologique d’une variété. En effet, toute variété $M$ (et plus généralement tout espace topologique "sympathique") est le quotient d’une variété simplement connexe, appelée revêtement universel de $M$, par un groupe appelé groupe fondamental de $M$ (pour un énoncé précis, on consultera le cours moderne).
Groupe fondamental des espaces quotients
Une première façon de calculer le groupe fondamental d’une variété est donc de la décrire comme quotient d’une variété simplement connexe. Cela permet par exemple de voir que le groupe fondamental du cercle, d’un cylindre ou d’une bande Möbius est isomorphe à $\mathbb{Z}$, et que celui du tore est isomorphe à $\mathbb{Z}^2$. Les surfaces de genre supérieur à $2$ s’identifient pour leur part à des quotients du plan hyperbolique, ce qui montre que leurs groupes fondamentaux sont des réseaux de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$.
On peut donner de nombreux autres exemples en dimension $3$. Ainsi, en classifiant les sous-groupes finis du groupe des isométries de $\mathbb{S}^3$, on peut décrire le groupe fondamental des variétés revêtues par la sphère de dimension $3$ (à condition de savoir que la sphère $\mathbb{S}^3$ est simplement connexe).
On peut également montrer que les groupes fondamentaux des suspensions de difféomorphismes du tore s’identifient à des sous-groupes du groupe des transformations affines du plan.
Le groupe des lacets et le théorème de Van Kampen
Les exemples précédents sont particuliers parce que ce sont des variétés "géométrisables", au sens où on peut les décrire comme des quotients d’espaces homogènes. C’est loin d’être le cas en général !
Heureusement, il existe une façon plus concrète de voir le groupe fondamental d’une variété : c’est le groupe formé par les lacets modulo homotopie. On peut alors construire le revêtement universel de la variété en "dépliant" ces lacets (pour tous les détails techniques vous pouvez consulter le cours moderne).
Cette construction du revêtement universel n’est cependant valable que pour des espaces "sympathiques" ou, pour être plus précis, localement semi-simplement connexes (c’est-à-dire que tout point admet un voisinage qui ne contient pas de lacets non triviaux). Les boucles d’oreille hawaïennes, qui ne vérifient pas cette condition, sont une source de nombreux contre-exemples.
La construction du groupe fondamental par les lacets fournit un outil très utile au calcul des groupes fondamentaux : le théorème de Van Kampen. Ce théorème décrit le groupe fondamental du recollement de deux variétés. La vidéo qui suit rappelle l’énoncé de ce théorème, et en déduit un calcul du groupe fondamental de la surface de genre $2$. Elle montre également que les sphères de dimension supérieure à $n$ sont simplement connexes.
En dimension $3$, le théorème de Van Kampen permet par exemple de décrire le groupe fondamental d’un scindement de Heegard. On peut ainsi démontrer que le groupe fondamental de la sphère d’homologie construite par Poincaré dans le cinquième complément est (à indice $2$ près) le groupe des icosions.
Cette technique est aussi utile pour calculer différentes présentations du groupe fondamental de la variété dodécaédrique de Poincaré.
Le théorème de Van Kampen permet également de décrire le groupe fondamental des variétés de dimension $3$ qui fibrent sur le cercle, aussi appelées tores de suspension.
Enfin, le théorème de Van Kampen permet de donner une présentation du groupe fondamental d’une variété obtenue en recollant les faces d’un polyèdre. Le théorème de Poincaré qui décrit ces groupes fondamentaux découle d’ailleurs du théorème Van Kampen appliqué au polyèdre dual. Ce point de vue permet par exemple de calculer le groupe fondamental de la variété hypercubique.
Revêtements et fonctions multiformes
L’idée de construire le revêtement universel en dépliant des lacets prend son origine en analyse complexe. Lorsqu’on calcule par exemple l’intégrale d’une fonction définie sur un domaine $\Omega$ du plan complexe, il arrive que le résultat dépende du chemin le long duquel on intègre. La fonction primitive n’est donc pas bien définie.
Pour pallier ce problème, on s’autorisait à l’époque de Poincaré à considérer des fonctions multiformes, qui peuvent prendre plusieurs valeurs en un point. En fait, ces fonctions sont simplement des fonctions définies sur un revêtement du domaine $\Omega$. On discute de la genèse du groupe fondamental dans cet article. L’article suivant donne plusieurs exemples de fonctions multiformes qui apparaissent en résolvant certaines équations différentielles complexes ou certaines équations algébriques à paramètres.
On pourra ensuite s’intéresser à un exemple plus élaboré :
Groupes d’homotopies supérieurs et suite exacte longue d’homotopie
Rappelons pour finir que le groupe fondamental d’une variété $M$ n’est que le premier des groupes d’homotopie $\pi_n(M)$, qui "comptent" les classes d’homotopie d’applications de la sphère de dimension $n$ dans $M$.
Ces groupes d’homotopie supérieurs interviennent par exemple lorsqu’on essaie de calculer le groupe fondamental d’une fibration. Soit $E$ une variété qui fibre au dessus d’une variété $B$, et soit $F$ une fibre de $E$. L’inclusion $i$ de $F$ dans $E$ et la fibration $p$ de $E$ sur $B$ induisent des applications en homotopie :
$$\pi_1(F) \overset{i_*}{\longrightarrow} \pi_1(E) \overset{p_*}{\longrightarrow} \pi_1(B)~.$$
On peut montrer que $p_*$ est surjectif dès que la fibre $F$ est connexe, et que le noyau de $p_*$ est exactement l’image de $i_*$. Mais quel est le noyau de $i_*$ ? Pour le savoir, considérons un lacet $l$ de $F$ qui est homotopiquement trivial dans $E$. Soit $h$ une homotopie de ce lacet vers le lacet trivial. Alors l’application $p\circ h$ définit une application de la sphère $\mathbb{S}^2$ dans $B$. Cette application est homotopiquement triviale si et seulement si le lacet $l$ était déjà homotopiquement trivial dans $F$. On en déduit que le noyau de $i_*: \pi_1(F) \overset{i_*}{\longrightarrow} \pi_1(E)$ est exactement l’image d’un morphisme $\partial: \pi_2(B) \to \pi_1(F)$.
C’est la première étape de la construction d’une suite exacte longue d’homotopie qui permet parfois de calculer le groupe fondamental de $E$. Un exemple simple mais déjà très instructif est le calcul du groupe fondamental des fibrés en cercles.