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Introduite par Euler en 1768, le dilogarithme est une fonction spéciale dont le prolongement analytique donne naissance à un revêtement du plan complexe privé de 0 et 1. Cet exemple de surface de Riemann illustre les notions de revêtements, cohomologie de De Rham... et continue à inspirer les mathématiciens modernes.
Définition du dilogarithme
Définie par Euler en 1768 [1], la fonction dilogarithme fait partie des fonctions spéciales au sens où elle ne s’exprime pas à l’aide des fonctions usuelles, $\sin, \cos,\ln$, etc... Elle a par la suite attiré l’attention de nombreux mathématiciens tels que Abel, Lobatchevsky, Kummer et Ramanujan car elle intervient naturellement en théorie des nombres et en géométrie hyperbolique. Dans ce bloc, nous expliquons comment sa définition même comme fonction multivaluée fait apparaître un revêtement intéressant du plan complexe privé des points $0$ et $1$.
Il y a de nombreuses variantes dans la définition du dilogarithme. La plus symétrique est donnée par la formule suivante, due au mathématicien anglais L. J. Rogers :
$$R(x)=-\frac{1}{2}\int_0^x\left(\frac{\ln(1-t)}{t}+\frac{\ln{t}}{1-t}\right) dt.$$
Cette définition fait apparaître deux types d’indéterminations : la première due au choix de la détermination des logarithmes, la deuxième au choix du chemin d’intégration. Supposons dans un premier temps que $x$ est un nombre réel entre 0 et 1 et que l’on choisit les déterminations réelles des logarithmes sur cet intervalle.
On a bien sûr $R(0)=0$ tandis qu’un changement de variable donne $R(1)=-\int_0^1\frac{\ln(1-t)}{t}dt$. Le développement en série entière $-\int_0^x\frac{\ln(1-t)}{t}dt=\sum\limits_{n>0}\frac{x^n}{n^2}$ implique qu’on a $R(1)=\frac{\pi^2}{6}$.
Pour étendre au maximum le domaine de définition du dilogarithme, on commence par étendre le domaine de définition de l’intégrande. On définit donc
$$X=\{(z,w)\in \mathbb{C}^2, \exp(z)+\exp(w)=1\}.$$
On note $\pi: X\to \mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ l’application définie par $\pi(z,w)=\exp(z)$. Il s’agit d’un revêtement de groupe $\mathbb{Z}^2$ où $(a,b)\in \mathbb{Z}^2$ agit par $(a,b).(z,w)=(z+2i\pi a,w+2i\pi b)$.
En effet, le groupe $\mathbb{Z}^2$ agit de manière propre et libre et l’application $\pi$ induit un homéomorphisme entre le quotient $X/\mathbb{Z}^2$ et $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$. Ce revêtement correspond bien au "choix des logarithmes de $x$ et $1-x$".
Il s’agit en fait du plus grand revêtement abélien, appelé pour cela revêtement abélien universel
Si $p:Y\to \mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ est un revêtement galoisien dont le groupe $H$ est abélien, l’action du groupe fondamental de $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ définit un morphisme $\pi_1(\mathbb{C}\setminus\{0,1\})\to H$. Ce morphisme se factorise par l’abélianisation de $\pi_1(\mathbb{C}\setminus\{0,1\})$ qui est $H_1(\mathbb{C}\setminus\{0,1\},\mathbb{Z})\simeq\mathbb{Z}^2$ d’après le théorème d’Hurewicz.
Au revêtement $X$ correspond un morphisme $\pi_1(\mathbb{C}\setminus\{0,1\})\to\mathbb{Z}^2$ qui induit un isomorphisme au niveau du groupe abélianisé (par exemple car il s’agit d’un morphisme surjectif de $\mathbb{Z}^2$ dans lui-même). Par le théorème de classification des revêtements, $Y$ est donc un revêtement quotient de $X$ qui est donc "le plus grand revêtement abélien".
L’espace $X$ est naturellement muni d’une structure de surface de Riemann, la seule qui rend l’application $\pi$ holomorphe. En notant
$$\omega=\frac{1}{2}(z dw-wdz)$$
on définit une forme différentielle qui coïncide avec l’intégrande de la fonction $R$ en posant $\ln(t)=z$ et $\ln(1-t)=w$.
On définit alors pour $x\in X$, $R(x)=\int_\gamma \omega$ où $\gamma:]0,1]\to X$ vérifie $\gamma(1)=x$ et $\gamma(t)=(\ln(t),\ln(1-t))\in X$ pour $t$ suffisamment proche de $0$.
Par ce procédé, nous avons réussi à lever la première indétermination dans la formule définissant $L$ ; la fonction reste cependant multivaluée à cause de l’indétermination dans le choix du chemin $\gamma$. Si on se donne deux chemins $\gamma$ et $\gamma'$ d’extrémité $x$ et qu’on note $R=\int_\gamma \omega$ et $R'=\int_{\gamma'}\omega$ alors $R'-R=\int_\delta \omega$ où $\delta$ est un chemin fermé dans $X$.
De manière générale, l’intégration sur les chemins fournit un morphisme de groupe $P:\pi_1(X,x_0)\to \mathbb{C}$ appelé morphisme de périodes. Ici, on prend $x_0=(-\ln(2),-\ln(2))$. Comme $\mathbb{C}$ est un groupe commutatif, ce morphisme se factorise par le groupe $H_1(X,\mathbb{Z})$ qui est l’abélianisé du groupe fondamental d’après le théorème d’Hurewicz. On note à nouveau $P:H_1(X,\mathbb{Z})\to \mathbb{C}$ le morphisme de périodes.
Son noyau définit un revêtement $\hat{X}$ de $X$ sur lequel la fonction $L$ sera enfin bien définie. On se propose donc de déterminer ce revêtement.
Le revêtement associé au dilogarithme
L’espace $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ se rétracte par déformation sur la réunion $Y$ des cercles de rayon $\frac 1 2$ centrés en $0$ et $1$. Le revêtement $\pi:X\to \mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ induit un revêtement $\tilde{Y}$ de $Y$.
Un point $(z,w)$ dans $\tilde{Y}$ a une de ses deux coordonnées imaginaires pures. Cette coordonnée est un relèvement de l’angle que fait le point $e^z$ autour de 0 ou 1. Pour visualiser le revêtement, on considère l’application $f:\tilde{Y}\to \mathbb{R}^2$ définie par $f(z,w)=(z_0,\operatorname{Im}w)$ si $w$ est imaginaire pur avec $z_0$ l’élément de $2\pi\mathbb{Z}$ le plus proche de $\operatorname{Im}z$. Si $z$ est imaginaire pur, on pose $f(z,w)=(\operatorname{Im} z,w_0)$ avec $w_0\in 2\pi \mathbb{Z}$ le plus proche de $\operatorname{Im} w$.
Ainsi définie, $f$ est un homéomorphisme de $\tilde{Y}$ sur son image $Z=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,x\textrm{ ou }y\in 2\pi\mathbb{Z}\}$ représentée en violet sur la figure suivante.
On note $p:Z\to Y$ l’application définie par $p(x,y)=\frac{1}{2}e^{ix}$ si $y\in 2\pi\mathbb{Z}$ et $p(x,y)=1-\frac{1}{2}e^{iy}$ si $x\in 2\pi\mathbb{Z}$. Il s’agit d’un revêtement de groupe $\mathbb{Z}^2$, et l’application $f:\tilde{Y}\to Z$ est un isomorphisme de revêtements.
Le revêtement $Z$ et son voisinage $Z_\epsilon$
Soit $t_1$ (resp. $t_2$) l’application induite par la translation de $(1,0)$ (resp. $(0,1)$) sur $H_1(Z,\mathbb{Z})$. Cela induit sur $H_1(Z,\mathbb{Z})$ une structure de $\mathbb{Z}[t_1^{\pm 1},t_2^{\pm 1}]$-module. Soit $c$ le bord positivement orienté du carré $D=[0,2\pi]^2$.
L’application
$$\mathbb{Z}[t_1^{\pm 1},t_2^{\pm 1}]\to H_1(Z,\mathbb{Z})$$
qui envoie $1$ sur $c$ est un isomorphisme de $\mathbb{Z}[t_1^{\pm 1},t_2^{\pm 1}]$-modules.
Démonstration.
Soit $\epsilon>0$ un nombre réel très petit et posons $Z_\epsilon=\{x\in \mathbb{R}^2/\exists y\in Z, |x-y|\le\epsilon\}$. Le fermé $Z_\epsilon$ représenté en rose dans la figure ci-dessus se rétracte par déformation sur $Z$ et donc le morphisme d’inclusion $H_1(Z,\mathbb{Z})\to H_1(Z_\epsilon,\mathbb{Z})$ est un isomorphisme.
Considérons la suite exacte de la paire $Z_\epsilon\subset \mathbb{R}^2$. Comme $\mathbb{R}^2$ est contractile, son homologie est nulle en degré 1 et 2 et on a l’isomorphisme suivant :
$$H_2(\mathbb{R}^2,Z_\epsilon;\mathbb{R})\to H_1(Z_\epsilon,\mathbb{R}).$$
Par le théorème d’excision, le premier groupe est isomorphe à $H_2(M,\partial M;\mathbb{Z})$ où $M$ est le complémentaire de l’intérieur de $Z_\epsilon$. En fait, $M$ est une réunion disjointe de translatés de $D$ indexée par $\mathbb{Z}^2$ et $D$ peut lui-même être vu comme un générateur de $H_2(D,c;\mathbb{Z})$. Ainsi $H_2(M,\partial M;\mathbb{Z})$ est un $\mathbb{Z}[t_1^{\pm 1},t_2^{\pm 1}]$-module libre engendré par $D$ ; il en est donc de même de $H_1(Z,\mathbb{Z})$ avec le générateur $\partial D=c$.
On déduit de la proposition précédente l’isomorphisme $H_1(X,\mathbb{Z})\simeq\mathbb{Z}[t_1^{\pm 1},t_2^{\pm 1}]$. Pour analyser les périodes $P:H_1(X,\mathbb{Z})\to \mathbb{C}$, on étudie la dépendance par rapport à l’action du groupe $\mathbb{Z}^2$.
Soit $\gamma$ un cycle dans $H_1(X,\mathbb{Z})$, on a $\int_{t_1^{n_1}t_2^{n_2}\gamma} \omega=\int_\gamma \omega$ et $\int_c\omega=4\pi^2$ où par abus de notation on note aussi $c$ le cycle de $X$ correspondant au cycle $c$ de $Z$.
Démonstration.
Un calcul direct montre que $(t_1^{n_1}t_2^{n_2})^* \omega-\omega= i\pi (n_1dw-n_2 dz)$. C’est donc une forme fermée sur $\mathbb{C}^2$ et son intégrale sur un cycle quelconque est nulle. Ainsi $\int_{t_1^{n_1}t_2^{n_2}\gamma} \omega=\int_\gamma (t_1^{n_1}t_2^{n_2})^*\omega=\int_\gamma\omega$.
Pour calculer l’intégrale de $\omega$ le long de $c$, on déforme le contour d’intégration en 8 morceaux. Fixons $\epsilon>0$. On décrit le contour directement dans $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ ainsi que l’intégrande dans la variable $t$ et le résultat de l’intégration modulo $o(\epsilon)$.
| $\gamma$ | $\omega$ | $\int_\gamma \omega \mod o(\epsilon)$ |
|---|---|---|
| $\gamma_1(s)=\epsilon e^{is},\,\,s\in[0,2\pi]$ | $-\frac{1}{2}(\frac{\ln(t)}{1-t}+\frac{\ln(1-t)}{t})$ | $0$ |
| $\gamma_2(s)=s,\,\, s\in[\epsilon,1-\epsilon]$ | $-\frac{1}{2}(\frac{\ln(t)+2i\pi}{1-t}+\frac{\ln(1-t)}{t})$ | $\frac{\pi^2}{6}+i\pi\ln\epsilon$ |
| $\gamma_3(s)=1-\epsilon e^{is}\,\,s\in[0,2\pi]$ | $-\frac{1}{2}(\frac{\ln(t)+2i\pi}{1-t}+\frac{\ln(1-t)}{t})$ | $2\pi^2 \textrm{ (Résidu en 1)}$ |
| $\gamma_4(s)=1-s,\,\, s\in[\epsilon,1-\epsilon]$ | $-\frac{1}{2}(\frac{\ln(t)+2i\pi}{1-t}+\frac{\ln(1-t)+2i\pi}{t})$ | $-\frac{\pi^2}{6}-2i\pi\ln\epsilon$ |
| $\gamma_5(s)=\epsilon e^{-is},\,\,s\in[0,2\pi]$ | $-\frac{1}{2}(\frac{\ln(t)+2i\pi}{1-t}+\frac{\ln(1-t)+2i\pi}{t})$ | $2\pi^2 \textrm{ (Résidu en 0)}$ |
| $\gamma_6(s)=s,\,\, s\in[\epsilon,1-\epsilon]$ | $-\frac{1}{2}(\frac{\ln(t)}{1-t}+\frac{\ln(1-t)+2i\pi}{t})$ | $\frac{\pi^2}{6}+i\pi\ln\epsilon$ |
| $\gamma_7(s)=1-\epsilon e^{-is}\,\,s\in[0,2\pi]$ | $-\frac{1}{2}(\frac{\ln(t)}{1-t}+\frac{\ln(1-t)+2i\pi}{t})$ | $0$ |
| $\gamma_8(s)=1-s,\,\, s\in[\epsilon,1-\epsilon]$ | $-\frac{1}{2}(\frac{\ln(t)}{1-t}+\frac{\ln(1-t)}{t})$ | $-\frac{\pi^2}{6}$ |
En sommant les 8 contributions et en faisant tendre $\epsilon$ vers 0, on trouve bien $\int_c\omega=4\pi^2$.
On en déduit que le morphisme des périodes est donné par $P(F(t_1,t_2).c)=4\pi^2F(1,1)$ où $F\in \mathbb{Z}[t_1^{\pm 1},t_2^{\pm 1}]$. En particulier, le revêtement $\hat{X}$ sur lequel est défini le dilogarithme est décrit par le noyau du morphisme $H_1(X,\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ qui envoie $F(t_1,t_2)c$ sur $F(1,1)$. En particulier, ce revêtement est galoisien de groupe $\mathbb{Z}$.
Or, le revêtement composé $\hat{X}\to X\to \mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ est aussi galoisien.
Soit $\alpha$ (resp. $\beta$) le lacet dans $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ issu de $1/2$ qui tourne positivement autour de $0$ (resp. $1$). Le groupe fondamental de $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ est le groupe $L_2$, librement engendré par $\alpha$ et $\beta$. Le sous-groupe associé au revêtement $X$ est le groupe $L_2'$ engendré par les commutateurs de $L_2$ tandis que le sous-groupe $L_2''$ de $L_2'$ associé au revêtement $\hat{X}$ est le noyau du morphisme composé $\phi:L_2'\to H_1(X,\mathbb{Z})\to\mathbb{Z}$. Pour montrer que le revêtement $\hat{X}\to \mathbb{C}\{0,1\}$ est galoisien, il faut montrer que $L_2''$ est distingué dans $L_2$, or $L_2''$ est distingué dans $L_2'$ et si on conjugue $x\in L_2'$ par $\alpha$ et qu’on prend sa classe dans $H_1(X,\mathbb{Z})$, on obtient $t_1[x]$. Comme $\phi(t_1[x])=\phi([x])$, on en déduit que si $\phi(x)=0$ alors $\phi(\alpha x\alpha^{-1})=0$ et de même, $\phi(\beta x\beta^{-1})=0$.
Le groupe $G$ du revêtement $\hat{X}\to \mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ s’inscrit dans une suite exacte
$$0\to \mathbb{Z}\to G\to \mathbb{Z}^2\to 0.$$
Soit $\overline{\alpha}$ et $\overline{\beta}$ les classes de $\alpha$ et $\beta$ dans $G$. Leur commutateur correspond au générateur du revêtement $\hat{X}\to X$ et donc au générateur du groupe $\mathbb{Z}$ dans la suite ci-dessus.
Le groupe $G$ est isomorphe au groupe $H=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^2$ avec la loi de groupe suivante :
$$(u,x).(v,y)=(u+v+\det(x,y),x+y)$$
Démonstration.
Le groupe $H$ s’inscrit naturellement dans la même suite exacte que $G$. On vient de montrer qu’il existe un morphisme $\phi:G\to H$ défini par $\phi(\overline{\alpha})=(0,(1,0))$ et $\phi(\overline{\beta})=(0,(0,1))$. Ce morphisme commute avec la suite exacte de $G$ et $H$. D’après le lemme des cinq, c’est donc un isomorphisme.
Le groupe $H$ est souvent appelé groupe d’Heisenberg. C’est une extension centrale au sens où le sous-groupe $\mathbb{Z}$ s’identifie au centre de $H$. Ce groupe est omniprésent dans les mathématiques liées à la mécanique quantique [2].
Exemple. Représenter un parking vérifiant la propriété suivante : vu d’en haut, son plan est une grille infinie. Les pylônes sont espacés suivant un quadrillage régulier et des voies passent entre chaque pylônes. Cependant, quand on tourne en voiture autour de chaque pylône, on monte d’un étage.
Quelques occurences du dilogarithme
Elles sont très nombreuses et on ne peut pas les développer ici. On réfère a deux articles : l’un par D. Zagier (selon lequel le dilogarithme est la seule fonction à avoir le sens de l’humour) est orienté vers la théorie des nombres [3] et l’autre par A. Kirillov [4] est une somme considérable qui détaille - entre autres - les relations avec la physique théorique (théorie conforme des champs).
- Théorie des nombres, identité de Rogers-Ramanujan.
- Géométrie hyperbolique, volume d’un tétraèdre.
- Théorie des nombres, valeurs spéciales des fonction zeta des corps de nombres.
- Invariant de Chern-Simons.
- Théorie conforme des champs.
[1] Veeravalli S. Varadarajan, Euler and his work on infinite series, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 44 (2007), no. 4, 515-539. p.517
[2] Roger Carter, Graeme Segal, and Ian Macdonald, Lectures on Lie groups and Lie algebras, London Mathematical Society Student Texts, vol. 32, Cambridge University Press, Cambridge, 1995, With a foreword by Martin Taylor. p.50, et chapitre 17
[3] Don Zagier, The dilogarithm function. Dans Frontiers in number theory, physics, and geometry. II, Springer, Berlin, 2007, 3-65.
[4] Anatol N. Kirillov, Dilogarithm identities, Progr. Theoret. Phys. Suppl. (1995), no. 118, 61-142. Dans Quantum field theory, integrable models and beyond (Kyoto, 1994).