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Notre but est de montrer que l’ensemble $Rev(B,b)$ des classes d’isomorphismes de revêtements connexes de $(B,b)$ est équipé d’une structure algébrique, intimement liée à celle d’un groupe, qui sera le « groupe fondamental » de $(B,b)$.
Nous commençons modestement en définissant une relation d’ordre naturelle sur $Rev(B,b)$.
Un revêtement $p : (X,x) \to (B,b)$ est au dessus de $p’ : (X’,x’) \to (B,b)$ s’il existe une application continue $h : (X,x) \to (X’,x’)$ telle que $p= p’ \circ h$.
Notons que, c’est le point essentiel, on ne demande pas à $h$ d’être un homéomorphisme, comme dans la définition d’un isomorphisme de revêtement.
Montrer que $h$ est un revêtement de $(X,x)$ sur $(X’,x’)$.
Evidemment cette relation « être au dessus de » passe au quotient en une relation dans l’ensemble $Rev(B,b)$ des classes d’isomorphismes de revêtements (connexes pointés) au dessus de $(B,b)$.
La relation « être au dessus de » définit une relation d’ordre (partiel) sur $Rev(B,b)$.
Démonstration. La réflexivité est évidente : il suffit de prendre $h = id$. La transitivité est évidente : il suffit de composer les flèches. La seule chose à vérifier est que si deux revêtements $p : (X,x) \to (B,b)$ et $p’ : (X’,x’) \to (B,b)$ sont l’un au dessus de l’autre, ils sont nécessairement isomorphes. On dispose de deux applications $h : (X,x) \to (X’,x’)$ et $h’ : (X’,x’) \to (X,x)$ telles que $p= p’ \circ h$ et $p’= p \circ h’$. Il suffit alors de démontrer que $h$ et $h’$ sont deux homéomorphismes inverses. Pour cela, il suffit de montrer que si $k : (X,x) \to (X,x)$ vérifie $p= p \circ k$ alors $k$ est nécessairement l’identité. L’ensemble des points fixes de $k$ est bien sûr fermé mais il est également ouvert. Pour le voir, on considère une assiette qui contient un point fixe : dans cette assiette, $p$ est un homéomorphisme, si bien que dans cette assiette $k$ est l’identité.
C.Q.F.D.
$$ $$
Pour nous convaincre que cet ensemble ordonné contient une certaine information, observons la situation dans le seul cas où nous connaissons $Rev(B,b)$, i.e. dans le cas du cercle.
- Montrer que le revêtement $t \in (\mathbb{R}, 0) \to \exp(2 i \pi t) \in (\mathbb{S}^1,1)$ est au dessus de tous les revêtements $z \in (\mathbb{S}^1,1) \to z^n \in (\mathbb{S}^1,1)$ ($n \in \mathbb{N}^{\star}$).
- Montrer que $z \in (\mathbb{S}^1,1) \to z^n \in (\mathbb{S}^1,1)$ est au dessus de $z \in (\mathbb{S}^1,1) \to z^m \in (\mathbb{S}^1,1)$ si et seulement si $n$ est un multiple de $m$. Indication : pour la condition nécessaire, on pourra évaluer les cardinaux des fibres.
On retrouve donc dans la structure ordonnée de $Rev(\mathbb{S}^1,1)$ l’arithmétique de $\mathbb N^*$.
Pour étudier l’ensemble ordonné $Rev(B,b)$ en général, nous commençons par une propriété très simple :
Etant donnée une famille finie $p_i : (X_i,x_i) \to (B,b)$ de revêtements de $(B,b)$ (où $i$ appartient à un certain ensemble d’indices $I$), il existe un revêtement $p: (Y,y) \to (B,b)$ qui est au dessus de tous les $p_i$.
En termes d’ensemble ordonné, on dit que $Rev(B,b)$ est un treillis.
Démonstration. Considérons la composante connexe $Y$ de l’espace $\{ (z_i \in X_i )_{i\in I} \vert p_i(z_i) = p_j(z_j) \text{ pour tous } i,j \}$ qui contient le point $y= (x_i)_{i \in I}$ du produit des espaces $X_i$. Cet espace se projette sur tous les facteurs $X_i$, on laisse au lecteur le soin de vérifier que ce sont des revêtements.
C.Q.F.D.
Attention !
Comme nous le verrons cette proposition reste valide pour un nombre infini de revêtements seulement dans le cas où $B$ est un espace « joli ».
Montrer qu’il n’existe pas de revêtement commun à tous les revêtements d’un bouquet d’une suite de cercles dont les longueurs tendent vers $0$.
Par contre, dans le cas où l’espace est « joli », il existe un revêtement qui est au dessus de tous les autres comme nous le verrons dans la suite.