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Un espace (connexe) est appelé simplement connexe si tous ses revêtements (connexes) sont triviaux.
Nous allons donner quelques exemples très simples d’espaces simplement connexes.
Soit $p:(X,x) \to (B,b)$ un revêtement connexe. Si $B$ est la réunion de deux ouverts trivialisants $U_1$ et $U_2$ dont l’intersection est connexe, alors le revêtement $p$ est trivial.
Démonstration. Commençons par affirmer qu’un revêtement connexe est trivial si il possède une section, c’est-à-dire s’il existe une application $\sigma : (B,b) \to (X,x)$ telle que $p \circ \sigma = id_B$. En effet, si un revêtement admet une section continue, alors par la définition même de revêtement, l’image de cette section est ouverte et fermée. Elle est donc surjective par connexité de $X$, ce qui en fait un inverse du revêtement et démontre que ce dernier est trivial.
On peut toujours placer le point base $b$ dans l’intersection $U_1 \cap U_2$. Par hypothèse, $p$ est trivial au dessus de $U_1$ et de $U_2$. On dispose donc de deux sections $\sigma_1$ et $\sigma_2$ au dessus de $U_1$ et $U_2$ respectivement qui envoient $b$ sur $x$. Il suffit de montrer que $\sigma_1$ et $\sigma_2$ coïncident sur $U_1 \cap U_2$. Par connexité de $U_1 \cap U_2$, et puisque l’ensemble des points où $\sigma_1$ et $\sigma_2$ coïncident est évidemment un fermé, il suffit de montrer que ce même ensemble est ouvert. Mais cela résulte du fait que $p$ est un revêtement : il suffit d’observer la situation dans un ouvert trivialisant au voisinage d’un point où $\sigma_1$ et $\sigma_2$ coïncident.
C.Q.F.D.
Grâce à ce lemme, nous obtenons facilement des exemples d’espaces simplement connexes.
L’intervalle $[0,1]$ est simplement connexe.
Démonstration. Soit $p$ un revêtement de base $[0,1]$. Par définition, la base d’un revêtement est recouverte par des ouverts trivialisants. On peut donc recouvrir $[0,1]$ par un nombre fini d’intervalles ouverts trivialisants. On démontre alors la proposition par récurrence sur le nombre de ces intervalles. S’il n’y en a qu’un, le revêtement est trivial et il n’y a rien à montrer. S’il y en a deux, on utilise le lemme en observant que l’intersection de deux intervalles est connexe. La récurrence qui suit est immédiate.
C.Q.F.D.
Les pavés $[0,1]^d$ sont simplement connexes.
Démonstration. Considérons le cas du carré $[0,1]^2$. Par le lemme de Lebesgue, on peut trouver un entier $N$ tel que tous les carrés ouverts dont les longueurs des côtés sont inférieures à $1/N$ sont trivialisants. Un rectangle $[0,1] \times I]$ tel que la longueur de $I$ est inférieure à $1/N$ peut être recouvert par un nombre fini de carrés dont les côtés ont des longueurs inférieures à $1/N$. En appliquant un nombre fini de fois le lemme, on conclut que tous les rectangles de cette forme sont trivialisants. On peut ensuite recouvrir le carré par un nombre fini de tels rectangles, auxquels on applique le lemme.
La preuve est identique pour $[0,1]^d$.
C.Q.F.D.
Les sphères $\mathbb{S}^d$ avec $d \geq 2$ sont simplement connexes.
Démonstration. La sphère $\mathbb{S}^2 $ par exemple peut être recouverte par deux calottes sphériques (qui sont homéomorphes à un carré) dont l’intersection est une bande, voisinage de l’équateur, donc connexe. Le même argument fonctionne en toutes dimensions puisqu’il repose sur la connexité de la sphère $\mathbb{S}^{d-1}$ (et on note en passant que l’argument ne fonctionne bien évidemment pas pour $d=1$ car le cercle n’est pas simplement connexe).
C.Q.F.D.
Dans la suite on associe à tout espace « joli » un revêtement simplement connexe. Avant de lire les détails on pourra commencer par regarder le cours filmé ci-dessous qui commence par reprendre ce qui vient d’être dit ici.