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Soit $\Gamma$ un groupe quelconque et $Ssgr(\Gamma)$ l’ensemble de ses sous-groupes. On dispose d’une relation d’ordre sur $Ssgr(\Gamma)$ donnée par l’inclusion. Cette relation est un treillis, possède un plus grand et un plus petit élément.
Les treillis $Rev(B,b)$ et $Ssgr(\pi_1(B,b))$ sont isomorphes en tant qu’ensembles ensembles ordonnés.
Démoinstration. Soit $p : (X,x) \to (B,b)$ un revêtement connexe de $(B,b)$. Puisque $\tilde{p} : (\tilde{B},\tilde{b}) \to (B,b)$ est un revêtement universel, il existe un revêtement $q: (\tilde{B},\tilde{b}) \to (X,x)$ tel que $\tilde{p} = p \circ q$. Evidemment, $q: (\tilde{B},\tilde{b}) \to (X,x)$ apparaît comme le revêtement universel de $(X,x)$ puisque $\tilde{B}$ est simplement connexe. Ainsi, $(X,x)$ est le quotient de $\tilde{B}$ par le groupe fondamental de $(X,x)$ i.e. le groupe des homéomorphismes $\gamma$ de $\tilde{B}$ tels que $q = q \circ \gamma$, qui est un sous-groupe du groupe fondamental de $(B,b)$ (contenant les $\gamma$ qui vérifient la condition moins forte $\tilde{p} = \tilde{p} \circ \gamma$).
Ainsi, le groupe fondamental de l’espace total d’un revêtement $p : (X,x) \to (B,b)$ est un sous-groupe de $\pi_1(B,b)$.
Réciproquement, le quotient de $\tilde{B}$ par l’action d’un sous-groupe de $\pi_1(B,b)$ définit un revêtement de $(B,b)$.
On a ainsi défini une bijection canonique entre $Ssgr(\pi_1(B,b))$ et $Rev(B,b)$. Cette bijection est évidemment les relations d’ordres sur ces ensembles.
C.Q.F.D.
Il faut retenir que le groupe fondamental d’un espace permet de reconstruire tous les revêtements de cet espace.
Retrouver tous les revêtements du cercle.
On peut chercher à comprendre la nature des revêtements $p : (X,x) \to (B,b)$ tels que le groupe fondamental de $(X,x)$ soit un sous-groupe distingué de celui de $(B,b)$. Lorsque c’est le cas, on dit que $p$ est un revêtement galoisien (ou normal) de $B$.
Pour un revêtement galoisien, le quotient $G= \pi_1(B,b) / \pi_1(X,x)$ est un groupe. Le groupe $\pi_1(B,b)$ opère sur $\tilde{B}$ et l’espace quotient est $B$. Le quotient par l’action de son sous-groupe $\pi_1(X,x)$ est l’espace $X$. Il en résulte que le groupe quotient $G$ agit sur $X$ et que le quotient est $B$.
Ainsi les revêtements galoisiens $p : (X,x) \to (B,b)$ ont la propriété que leurs groupes d’automorphismes non pointés agissent transitivement dans les fibres. On s’assure facilement de la réciproque.
On note l’analogie avec les extensions galoisiennes de corps, ce qui n’est bien sûr pas une surprise.