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Le théorème d’écrasement affirme que (sous certaines hypothèses) l’homologie relative H∙(X,A) est en fait isomorphe à l’homologie réduite de l’espace quotient X/A. On en donne ici deux démonstrations.
Première démonstration du théorème d’écrasement
Homologie relative et homologie du cône
En fait, l’homologie réduite est toujours isomorphe à l’homologie réduite d’un autre espace : le cône X∪CA de l’inclusion A↪X. Rappelons que
CA=A×[0,1]/A×{1}
est le cône sur A et que l’on identifie à A×{0} avec A dans l’écriture X∪CA. Comme le cône CA est contractile, la longue suite exacte en homologie associée à la paire (X∪CA,CA) assure que l’application canonique
˜Hi(X∪CA)→˜Hi(X∪CA,CA)
est un isomorphisme pour tout i. En outre, pour tout i, on a
˜Hi(X∪CA)=Hi(X∪CA,{A×{1}})
par définition de l’homologie réduite.
Le morphisme
Hi(X,A)→Hi(X∪CA,CA)
induit par l’inclusion de paires (X,A)↪(X∪CA,CA) est un isomorphisme pour tout i∈N.
Démonstration du lemme. On applique le théorème des petites chaînes (dans le cas relatif) au recouvrement de X∪CA par les (deux) ouverts U1=CA∖A et U2=X∪{A×[0,1/2[}. On obtient que l’inclusion
C∗(U1,U1∩CA)⊕C∗(U2,U2∩(CA))→C∗(X∪CA,CA)
est un quasi-isomorphisme. Par nullité de C∗(CA∖A,CA∖A)=C∗(U1,U1∩(CA)) on obtient donc
Hi(X∪CA,CA)≅Hi(X∪(A×[0,1/2[),A×[0,1/2[).
On conclut alors la démonstration du lemme en remarquant que l’inclusion canonique de la paire (X,A) dans la paire (X∪{A×[0,1/2[},{A×[0,1/2[}) est une équivalence d’homotopie de paires.
C.Q.F.D.
Démonstration du théorème d’écrasement dans le cadre des espaces métrisables
On suppose désormais que (X,A) est une paire qui vérifie les hypothèses du théorème d’écrasement, c’est-à-dire que A est une fermé de X qui est un rétracte par déformation (forte) d’un voisinage ouvert, dénoté U.
Par le lemme précédent, il nous suffit de relier l’homologie du cône X∪CA à celle du quotient X/A. Lorsque X est un espace raisonnable, ces deux derniers espaces sont homotopes. Intuitivement, cela se voit en « étirant » jusqu’au sommet du cône CA le voisinage U de telle sorte que A soit identifié avec le sommet du cône.
Toujours sous les hypothèses du théorème d’écrasement et si de plus X est métrisable [1], l’application quotient
p:(X∪CA,CA)→((X∪CA)/CA,{CA})=(X/A,{A})
est une équivalence d’homotopie.
Démonstration. La principale difficulté est de construire l’application « inverse » q:X/A→X∪CA. Un choix raisonnable est d’envoyer la classe {A} sur le sommet du cône CA. Sans hypothèses supplémentaires, on ne peut guère choisir que de prendre l’identité sur le complémentaire X∖U de U. Le problème est d’étendre cette construction...
Par hypothèse, on a une homotopie H:U×[0,1]→U qui vérifie que H(a,t)=a pour a∈A, et pour tout u∈U, H(u,0)=u et H(u,1)=r(u) où r:U→A est la rétraction. Intuitivement, si un point u est proche de X∖U, on peut le tirer un peu (mais pas trop) vers A en lui appliquant H(⋅,ε) pour ε petit. De même, s’il est proche de A, on peut tirer son image dans A (par la rétraction) « haut » dans le cône sur CA. C’est assez facile à réaliser si U est un voisinage tubulaire de A. Dans le cas où nous sommes, on réalise cette notion d’être proche/loin de X∖U par l’introduction d’une fonction ψ:X→[0,1] satisfaisant ψ(x)=1 sur un voisinage de X∖U et ψ−1({0})=A (qui existe car X est métrisable donc normal).
Commençons par construire une rétraction [2] Q:X×[0,1]→X∪CA ; l’application cherchée q sera alors essentiellement donnée par Q(⋅,1). Pour tout x∈X∖U, on pose Q(x,t)=x. Pour tout u∈U, on pose
Q(u,t)={H(u,t/ϕ(u)) si t<ϕ(u)(H(u,1),t−ψ(u)(1+t)) si t≥ϕ(u)
où ϕ=ψ/(1−ψ) est à valeurs dans [0,+∞], s’annule sur A et tend vers +∞quand on rapproche de X∖U. Remarquons que 1/ϕ(u) est bien défini dès que u∉A et que la seconde expression a bien un sens car H(u,1)∈A pour tout u∈U. Ainsi, Q(⋅,0) est l’identité. Pour t∈[0,1], Q(⋅,t) envoie {u,t≥ϕ(u)} dans le cône. En particulier, pour t=1, Q(⋅,1) envoie {u,ψ(u)≤1/2} dans le cône et A sur le point conique.
Il suit donc de la définition du quotient que l’application Q(⋅,1) a une unique factorisation continue Q(⋅,1)=q∘π où q:X/A→X∪CA est continue et π:X→X/A est l’application quotient.
Il reste alors à montrer que p et q définissent une équivalence d’homotopie. On utilise alors Q pour construire une homotopie entre p∘q et l’identité de X/A et entre q∘p et l’identité de X∪CA (exercice).
C.Q.F.D.
Par les deux lemmes précédents, on obtient un diagramme commutatif
\xymatrix{
H_i(X \cup CA , CA) \ar[r]^{\cong} & H_i(X/A,\{A\}) \\
H_i(X,A) \ar[u]_{\cong} \ar[ru]&
}
duquel on déduit que la projection canonique (X,A)→(X/A,{A}) induit des isomorphismes
Hi(X,A)≅Hi(X/A,{A})
ce qui termine la démonstration du théorème d’écrasement dans le cas des espaces métrisables.
C.Q.F.D.
Un contre-exemple au lemme précédent est donné par le sous-espace A={0}∪{1/n,n∈N∗} fermé dans [0,1]. Cette inclusion n’admet pas de rétraction par déformation forte d’un voisinage. L’espace [0,1]∪CA n’est pas homotope à X/A. En effet ce dernier est homéomorphe aux cercles hawaïens, c’est à dire une suite de cercles tangents de diamètre tendant vers 0. En revanche, [0,1]∪CA est constitué du segment et d’une famille de « cercles » prenant appui sur ce segment (et deux points quelconques de A) ; cercles dont les diamètres restent minorés par un nombre >0 (i.e. ne tendent pas vers un point). Si l’application p:X∪CA→X/A était une équivalence d’homotopie, il existerait une application continue q de X/A vers [0,1]∪CA qui devrait envoyer, pour tout petit voisinage de l’image de {0}, presque tous les petits cercles de X/A dans ce voisinage. Une telle application ne saurait vérifier p∘q homotope à l’identité.
Excision et deuxième démonstration du théorème d’écrasement
Si U est un fermé dans l’intérieur d’un fermé A, il est clair que les espaces quotients (X∖U)/(A∖U) et X/A sont homéomorphes. Au vu du théorème d’écrasement, cela suggère que les homologies relatives des paires (X∖U,A∖U) et (X,A) sont isomorphes, au moins dans de bons cas. Ce résultat est en fait vrai de manière générale grâce au théorème des petites chaînes.
Soient U⊂A⊂X et notons j:(X∖U,A∖U)↪(X,A) l’inclusion de paires. On suppose de plus que ¯U⊂∘A. Alors le morphisme
j∗:C∙(X∖U,A∖U)⟶C∙(X,A)
est un quasi-isomorphisme. En particulier, pour tout i∈N, on a un isomorphisme j∗:Hi(X∖U,A∖U)≅Hi(X,A).
Démonstration. On applique le théorème des petites chaînes au recouvrement U=(X∖U,A). Le résultat découle de l’identification de C∙(XU,AA∩U) avec C∙(X∖U,A∖U).
C.Q.F.D.
On peut appliquer la formule d’excision pour prouver le théorème d’écrasement comme suit. Soit (X,A) une paire telle que A est une fermé de X qui est un rétracte par déformation (forte) d’un voisinage ouvert, dénoté V. Le triplet A⊂V⊂X vérifie les hypothèses de la formule d’excision. De plus, l’inclusion de la paire (X,A) dans (X,V) est une équivalence d’homotopie et induit (car la rétraction par déformation est forte) une équivalence d’homotopie A/A→V/A. On en déduit un diagramme commutatif dont les flèches horizontales sont des quasi-isomorphismes :
\xymatrix{C_\bullet(X,A) \ar[r]^{\sim} \ar[d]_{\alpha} & C_\bullet(X,V) \ar[d]_{\beta} & C_\bullet(X\setminus A, V\setminus A) \ar[l]_{\sim} \ar[d]^{\gamma} \\
C_\bullet(X/A, A/A) \ar[r]^{\sim} & C_\bullet(X/A, V/A) & C_\bullet(X/A \setminus A/A, V/A\setminus A/A) \ar[l]_{ \sim \qquad} } .
Les flèches verticales sont les flèches naturelles induites par les projections sur les espaces quotients. Le théorème d’écrasement est équivalent au fait que α est un quasi-isomorphisme. Par la commutatitvité du diagramme, il suffit pour cela que γ soit un quasi-isomorphisme. Mais par construction, l’application X∖A→(X/A∖A/A) est un homéomorphisme, et donc induit un quasi-isomorphisme au niveau des complexes de chaînes.
C.Q.F.D.
En comparant les deux preuves données du théorème d’écrasement, on peut estimer que le « type d’homologie » d’un quotient est plus facile à déterminer que son type d’homotopie.