Démonstration(s) du théorème d’écrasement

Le théorème d’écrasement affirme que (sous certaines hypothèses) l’homologie relative $H_\bullet(X,A)$ est en fait isomorphe à l’homologie réduite de l’espace quotient $X/A$. On en donne ici deux démonstrations.

Première démonstration du théorème d’écrasement

Homologie relative et homologie du cône

En fait, l’homologie réduite est toujours isomorphe à l’homologie réduite d’un autre espace : le cône $X \cup CA$ de l’inclusion $A\hookrightarrow X$. Rappelons que

$$CA= A\times [0,1]/A\times \{1\}$$

est le cône sur $A$ et que l’on identifie à $A\times\{0\}$ avec $A$ dans l’écriture $X \cup CA$. Comme le cône $CA$ est contractile, la longue suite exacte en homologie associée à la paire $(X\cup CA, CA)$ assure que l’application canonique

$$\tilde{H}_i(X\cup CA) \to\tilde{H}_i(X\cup CA, CA)$$

est un isomorphisme pour tout $i$. En outre, pour tout $i$, on a

$$\tilde{H}_i(X\cup CA)=H_i(X\cup CA, \{A\times \{ 1\}\})$$

par définition de l’homologie réduite.

Démonstration du lemme. On applique le théorème des petites chaînes (dans le cas relatif) au recouvrement de $X \cup CA$ par les (deux) ouverts $U_1=CA \setminus A$ et $U_2=X \cup \{ A \times [0, 1/2[ \}$. On obtient que l’inclusion

$$C_*\left(U_1,U_1\cap CA\right) \oplus C_*\left(U_2, U_2\cap \left(CA\right)\right) \to C_*(X \cup CA , CA)$$

est un quasi-isomorphisme. Par nullité de $C_*(CA\setminus A, CA\setminus A)=C_*\left(U_1, U_1\cap \left(CA\right)\right)$ on obtient donc

$$H_i (X \cup CA , CA) \cong H_i\left (X \cup \left( A \times [0, 1/2[ \right), A \times [0, 1/2[ \right).$$

On conclut alors la démonstration du lemme en remarquant que l’inclusion canonique de la paire $(X,A)$ dans la paire $(X\cup \{ A \times [0, 1/2[ \} , \{ A \times [0, 1/2[ \})$ est une équivalence d’homotopie de paires.

C.Q.F.D.

Démonstration du théorème d’écrasement dans le cadre des espaces métrisables

On suppose désormais que $(X,A)$ est une paire qui vérifie les hypothèses du théorème d’écrasement, c’est-à-dire que $A$ est une fermé de $X$ qui est un rétracte par déformation (forte) d’un voisinage ouvert, dénoté $U$.

Par le lemme précédent, il nous suffit de relier l’homologie du cône $X\cup CA$ à celle du quotient $X/A$. Lorsque $X$ est un espace raisonnable, ces deux derniers espaces sont homotopes. Intuitivement, cela se voit en « étirant » jusqu’au sommet du cône $CA$ le voisinage $U$ de telle sorte que $A$ soit identifié avec le sommet du cône.

Démonstration. La principale difficulté est de construire l’application « inverse » $q: X/A \to X\cup CA$. Un choix raisonnable est d’envoyer la classe $\{A\}$ sur le sommet du cône $CA$. Sans hypothèses supplémentaires, on ne peut guère choisir que de prendre l’identité sur le complémentaire $X\setminus U$ de $U$. Le problème est d’étendre cette construction...

Par hypothèse, on a une homotopie $H:U\times [0,1]\to U$ qui vérifie que $H(a,t)=a$ pour $a\in A$, et pour tout $u\in U$, $H(u,0)=u$ et $H(u,1)=r(u)$ où $r:U\to A$ est la rétraction. Intuitivement, si un point $u$ est proche de $X\setminus U$, on peut le tirer un peu (mais pas trop) vers $A$ en lui appliquant $H(\cdot,\varepsilon)$ pour $\varepsilon$ petit. De même, s’il est proche de $A$, on peut tirer son image dans $A$ (par la rétraction) « haut » dans le cône sur $CA$. C’est assez facile à réaliser si $U$ est un voisinage tubulaire de $A$. Dans le cas où nous sommes, on réalise cette notion d’être proche/loin de $X\setminus U$ par l’introduction d’une fonction $\psi: X\to [0,1]$ satisfaisant $\psi(x)=1$ sur un voisinage de $X\setminus U$ et $\psi^{-1}(\{0\})=A$ (qui existe car $X$ est métrisable donc normal).

Commençons par construire une rétraction [2] $Q: X\times [0,1] \to X\cup CA$ ; l’application cherchée $q$ sera alors essentiellement donnée par $Q(\cdot,1)$. Pour tout $x\in X\setminus U$, on pose $Q(x,t)= x$. Pour tout $u\in U$, on pose

$$Q(u,t) = \left\{\begin{array}{ll} H(u, t/\phi(u)) &\mbox{ si } t<\phi(u)\\ \big(H(u,1), t-\psi(u)(1+t)\big) &\mbox{ si } t\geq \phi(u) \\ \end{array}\right.$$

où $\phi = \psi/(1-\psi)$ est à valeurs dans $[0,+\infty]$, s’annule sur $A$ et tend vers $+\infty$quand on rapproche de $X\setminus U$. Remarquons que $1/\phi(u)$ est bien défini dès que $u\notin A$ et que la seconde expression a bien un sens car $H(u,1)\in A$ pour tout $u\in U$. Ainsi, $Q(\cdot,0)$ est l’identité. Pour $t\in[0,1]$, $Q(\cdot,t)$ envoie $\{u, t\geq \phi(u)\}$ dans le cône. En particulier, pour $t=1$, $Q(\cdot,1)$ envoie $\{u,\psi(u)\leq 1/2\}$ dans le cône et $A$ sur le point conique.

Il suit donc de la définition du quotient que l’application $Q(\cdot,1)$ a une unique factorisation continue $Q(\cdot,1)= q\circ \pi$ où $q:X/A\to X\cup CA$ est continue et $\pi: X\to X/A$ est l’application quotient.

Il reste alors à montrer que $p$ et $q$ définissent une équivalence d’homotopie. On utilise alors $Q$ pour construire une homotopie entre $p\circ q$ et l’identité de $X/A$ et entre $q\circ p$ et l’identité de $X\cup CA$ (exercice).

C.Q.F.D.

Par les deux lemmes précédents, on obtient un diagramme commutatif

$$\xymatrix{ H_i(X \cup CA , CA) \ar[r]^{\cong} & H_i(X/A,\{A\}) \\ H_i(X,A) \ar[u]_{\cong} \ar[ru]& }$$

duquel on déduit que la projection canonique $(X,A)\to (X/A, \{A\})$ induit des isomorphismes

$$H_i (X, A) \cong H_i (X/A , \{A\})$$

ce qui termine la démonstration du théorème d’écrasement dans le cas des espaces métrisables.

C.Q.F.D.

Excision et deuxième démonstration du théorème d’écrasement

Si $U$ est un fermé dans l’intérieur d’un fermé $A$, il est clair que les espaces quotients $(X\setminus U)/(A\setminus U)$ et $X/A$ sont homéomorphes. Au vu du théorème d’écrasement, cela suggère que les homologies relatives des paires $(X\setminus U, A\setminus U)$ et $(X,A)$ sont isomorphes, au moins dans de bons cas. Ce résultat est en fait vrai de manière générale grâce au théorème des petites chaînes.

Démonstration. On applique le théorème des petites chaînes au recouvrement $\mathcal{U}=(X\setminus U, A)$. Le résultat découle de l’identification de $C_\bullet(X^{\mathcal{U}}, A^{A\cap \mathcal{U}})$ avec $C_\bullet(X\setminus U, A\setminus U)$.

C.Q.F.D.

On peut appliquer la formule d’excision pour prouver le théorème d’écrasement comme suit. Soit $(X,A)$ une paire telle que $A$ est une fermé de $X$ qui est un rétracte par déformation (forte) d’un voisinage ouvert, dénoté $V$. Le triplet $A\subset V\subset X$ vérifie les hypothèses de la formule d’excision. De plus, l’inclusion de la paire $(X,A)$ dans $(X,V)$ est une équivalence d’homotopie et induit (car la rétraction par déformation est forte) une équivalence d’homotopie $A/A \to V/A$. On en déduit un diagramme commutatif dont les flèches horizontales sont des quasi-isomorphismes :

$$\xymatrix{C_\bullet(X,A) \ar[r]^{\sim} \ar[d]_{\alpha} & C_\bullet(X,V) \ar[d]_{\beta} & C_\bullet(X\setminus A, V\setminus A) \ar[l]_{\sim} \ar[d]^{\gamma} \\ C_\bullet(X/A, A/A) \ar[r]^{\sim} & C_\bullet(X/A, V/A) & C_\bullet(X/A \setminus A/A, V/A\setminus A/A) \ar[l]_{ \sim \qquad} } .$$

Les flèches verticales sont les flèches naturelles induites par les projections sur les espaces quotients. Le théorème d’écrasement est équivalent au fait que $\alpha$ est un quasi-isomorphisme. Par la commutatitvité du diagramme, il suffit pour cela que $\gamma$ soit un quasi-isomorphisme. Mais par construction, l’application $X\setminus A \to (X/A \setminus A/A)$ est un homéomorphisme, et donc induit un quasi-isomorphisme au niveau des complexes de chaînes.

C.Q.F.D.

En comparant les deux preuves données du théorème d’écrasement, on peut estimer que le « type d’homologie » d’un quotient est plus facile à déterminer que son type d’homotopie.