Comparaison des homologies simpliciale et singulière

Lorsque $X$ est un polyèdre on dispose de deux théories homologiques : l’homologie polyédrale ou simpliciale et l’homologie singulière. Dans cet article, on montre que les groupes obtenus sont isomorphes. C’est essentiellement ce que cherche à faire Poincaré dans les paragraphes III et VI du premier complément.

Le théorème de comparaison

Soit $X$ un polyèdre et $T : |K | \to X$ une triangulation. Rappelons que ceci signifie que $K$ et $T$ est un homéomorphisme de $|K|$ dans $X$. L’application $T$ induit un morphisme de complexes $C_{\bullet} (K) \to C_{\bullet , \mathrm{sing}} (X)$.

Ce théorème ci-dessus a plusieurs conséquences intéressantes :

• L’homologie singulière est fonctorielle quasiment par définition (mais difficile à calculer a priori). Le théorème ci-dessus implique donc qu’il en est de même pour l’homologie simpliciale (plus facile à calculer).
• Nous avons vu que toute variété $X$ admet une triangulation lisse $T:|K|\to X$. Le théorème ci-dessus montre que, pour déterminer l’homologie singulière de $X$, on peut calculer l’homologie simpliciale du complexe $K$. Ceci permet de remplacer le complexe de chaîne $C_{*,\mathrm{sing}(X)}$ (qui est de dimension infinie) par le complexe de chaîne de dimension finie $C_{*}(K)$.

Démonstration du théorème. Soit $K$ un complexe simplicial. On veut comparer l’homologie simpliciale de $K$ et l’homologie singulière de $|K|$. On a un morphisme de complexes $C_{\bullet} (K) \to C_{\bullet , \mathrm{sing}} (|K|)$ ; on doit montrer que ce morphisme induit un isomorphisme en homologie.

On note $K_n$ le $n$-squelette de $K$ constitué de tous les simplexes de dimension $\leq n$. Pour tout $i$ et tout $n$, on a alors un diagramme commutatif de suites exactes :

$$ \minCDarrowwidth7pt \begin{CD} H_{i+1} (K_n , K_{n-1}) @>>> H_i (K_{n-1}) @>>> H_i (K_n ) @>>> H_i (K_n , K_{n-1}) \\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ H_{i+1 , \mathrm{sing}} (|K_n| , |K_{n-1}|) @>>> H_{i , \mathrm{sing}} (|K_{n-1}|) @>>> H_{i , \mathrm{sing}} (|K_n| ) @>>> H_{i , \mathrm{sing}} (|K_n| , |K_{n-1}|) \end{CD} $$

Montrons tout d’abord que la première et la quatrième applications verticales sont des isomorphismes. Commençons par déterminer les groupes d’homologie simpliciales. Le module $C_i (K_n , K_{n-1})$ est trivial si $i\neq n$, et est libre de base les $n$-simplexes de $K$ si $i=n$. Il en résulte que l’on a $H_i (K_n , K_{n-1})$ est lui aussi trivial si $i\neq n$, et libre de base les $n$-simplexes de $K$ si $i=n$. Déterminons maintenant les groupes d’homologie singulière. Par le théorème d’écrasement,

$$H_{i , \mathrm{sing}} (|K_n| , |K_{n-1}|) = H_{i , \mathrm{sing}} (|K_n| / |K_{n-1}|).$$

On note $(\Delta_{\alpha})_{\alpha}$ la famille des $n$-simplexes de $K$. Les inclusions naturelles $\Delta_{\alpha} \rightarrow |K|$ induisent un homéomorphisme

$$\sqcup_{\alpha} \Delta_{\alpha} / \sqcup_{\alpha} \partial \Delta_{\alpha} \to |K_n| / |K_{n-1}|.$$

Un argument similaire à celui du calcul de l’homologie des sphères ainsi que la fonctorialité de l’homologie singulière donnent que le groupe $H_{i , \mathrm{sing}} (|K_n| , |K_{n-1}|)$ est trivial si $i \neq n$, alors qu’il est abélien libre de base les cycles relatifs représentés par les $n$-simplexes $\Delta_{\alpha}$ si $i=n$. Dans tous les cas on obtient que la première application verticale est un isomorphisme.

On montre maintenant, par récurrence sur $n$ à $i$ fixé, que toute les flèches verticales dans le diagramme ci-dessus sont des isomorphismes. C’est clair pour $n=0$ (voir par l’exemple ici). Supposons la propriété démontrée pour un certain $n$, et considérons le diagramme de rang $n+1$. La deuxième flèche verticale de ce dernier n’est autre que la troisième flèche verticale du diagramme de rang $n$. Par hypothèse de récurrence, c’est donc un isomorphisme. Ainsi trois des quatre flèches verticales du diagramme de rang $n+1$ sont des isomorphismes. Le lemme des cinq implique alors que la quatrième flèche verticale est aussi un isomorphisme, ce qui permet d’effectuer la récurrence.

C.Q.F.D.