Fonctorialité de l’homologie singulière

L’homologie singulière est naturelle ou fonctorielle, c’est-à-dire qu’une application continue entre espaces topologiques induit des morphismes entre les groupes d’homologie de ces espaces. La fonctorialité est importante si l’on veut interpréter géométriquement les groupes d’homologie. On résume ici les résultats de naturalité de l’homologie singulière déjà rencontrés.

Naturalité des groupes d’homologie

La naturalité de l’homologie singulière est une des premières propriétés étudiées, elle découle directement de la définition : si $X$ et $Y$ sont deux espaces topologiques et $f:X \to Y$ est une application continue, alors $f$ induit un morphisme de complexes de chaînes $f_* : C_{\bullet} (X) \to C_{\bullet} (Y)$ qui passe quotient pour définir une application — toujours notée $f_*: H_\bullet(X)\to H_\bullet(Y)$ — entre les groupes d’homologie singulière. Le morphisme $f_*$ ne dépend que de la classe d’homotopie de $f$. Par conséquent, si $X$ et $Y$ ont le même type d’homotopie, alors leur groupe d’homologie singulière sont isomorphes.

Naturalité des groupes d’homologie relative

La naturalité s’étend au cas relatif en la fonctorialité des suites exactes de paires : une application continue $(X,A) \to (X' , A')$ entre deux paires induit non seulement des morphismes entre tous les groupes d’homologie — absolue et relative — de ces espaces mais de plus le diagramme correspondant

$$ \begin{CD} H_{i} (A) @>>> H_i (X) @>>> H_i (X,A ) @>>> H_{i-1} (A) \ldots \\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ H_{i} (A') @>>> H_i (X') @>>> H_i (X',A' ) @>>> H_{i-1} (A') \ldots \end{CD} $$

est commutatif. Il en découle que les suites exactes de Mayer-Vietoris sont aussi fonctorielles.