Le théorème de dualité de Poincaré est un résultat fondamental sur la structure des groupes d’homologie des variétés que Poincaré énonce d’abord en termes de nombres de Betti : les k-ième et (d – k)-ième nombres de Betti d’une variété fermée (c’est-à-dire compacte sans bord), orientable et de dimension d, sont égaux.
Dans le §9 de l’Analysis Situs, Poincaré tente de démontrer le théorème en utilisant la théorie topologique de l’intersection. La critique de son travail par Poul Heegaard lui fit réaliser que sa preuve était fausse ; voir nos commentaires sur le §9 pour plus de précisions. Dans le premier et le deuxième complément, Poincaré revient sur son théorème et le précise. Il parvient essentiellement à l’énoncé que l’on en donne dans Dualité de Poincaré (énoncé du théorème). La seconde démonstration, complète cette fois, qu’en donne Poincaré est en termes de triangulations duales. C’est essentiellement celle que l’on donne dans Du dual d’un complexe simplicial à la dualité de Poincaré. Finalement, dans Existence du produit d’intersection, on revient sur la théorie de l’intersection mais en suivant le point de vue combinatoire des deux premiers compléments.
- Dualité de Poincaré (énoncé du théorème).
- Du dual d’un complexe simplicial à la dualité de Poincaré.
- Existence du produit d’intersection.
La démonstration de la dualité de Poincaré conduit naturellement à introduire la cohomologie, à laquelle une rubrique est consacrée. Sous sa forme moderne, la dualité de Poincaré s’énonce d’ailleurs comme un isomorphisme entre le k-ième groupe de cohomologie d’une variété fermée, orientable et de dimension d et le (d – k)-ième groupe d’homologie de cette même variété ; voir ici où la dualité de Poincaré est formulée à l’aide des produits cup et cap. Le produit d’intersection défini ici, lu à travers la dualité de Poincaré, coïncide avec le produit cup. C’est ce que l’on montre ici qui conclut réellement la démonstration du théorème de dualité Poincaré et nous ramène à la première approche de Poincaré.
