Existence du produit d’intersection

Soit $V$ une variété (lisse) compacte connexe orientable sans bord de dimension $d$. Dans cet article on définit, de manière combinatoire, un produit d’intersection sur l’homologie de $V$.

Des variétés aux complexes simpliciaux

Soit $(X,f)$ une cellulation lisse de $V$. Puisque $V$ est compacte, le polyèdre $X$ est fini. Soit $K$ une triangulation de $X$. On note $K'$ la première subdivision barycentrique de $K$ et on note $K^*$ le complexe dual. On fixe une orientation de chaque simplexe de $K$ et de chaque cellule de $K^*$. Un choix d’orientation de $V$ permet alors de définir le produit d’intersection $\langle , \rangle$ entre un $i$-simplexe de $K$ et une $(d-i)$-cellule de $K^*$. On montre ici qu’il existe un (et un seul) produit d’intersection

$$H_i (V) \times H_j (V) \stackrel{\cdot}{\to} H_{i+j-d} (V)$$

qui, pour $i+j=d$, coïncide avec l’accouplement $\langle , \rangle$.

Un produit au niveau des chaînes

Soient $i$ et $j$ deux entiers naturels de somme $i+j$ supérieure ou égale à $d$. On définit d’abord un produit $\cdot$ au niveau des chaînes :

$$C_i (K^*) \times C_j (K) \stackrel{\cdot}{\to} C_{i+j-d} (K').$$

Par linéarité il suffit de définir $\sigma^* \cdot \tau$ lorsque $\sigma$ est un $d-i$-simplexe de $K$ et $\tau$ un $j$-simplexe de $K$. Mais dans ce cas l’intersection $\sigma^* \cap \tau$, lorsque celle-ci est non vide, est naturellement orienté par les choix d’orientations déjà faits.

Démonstration. Un simplexe de $K'$ contenu dans l’intersection $\sigma^* \cap \tau$ est de la forme $a_0 \ldots a_k$ avec $a_0 = \hat{\sigma}$ et $a_k = \hat{\tau}$. Cela force $\sigma$ à être une face de $\tau$. Dans ce cas, l’intersection $\sigma^* \cap \tau$ est précisément le bloc dual associé à $\sigma$ dans le complexe défini par $\tau$ et ses faces. Le lemme s’en déduit.

C.Q.F.D.

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On définit alors $\sigma^* \cdot \tau \in C_{i+j-d} (K')$ comme la somme des cellules orientées de dimension $i+j-d$ de $K'$ qui sont contenues dans l’intersection $\sigma^* \cap \tau$.

Définition du produit d’intersection en homologie

On vérifie que, pour $c^* \in C_\bullet (K^*)$ et $c \in C_\bullet (K)$, le produit $c^* \cdot c$ vérifie, au signe près, la relation :

$$\partial (c^* \cdot c ) = (-1)^d (\partial c^*) \cdot c + c^* \cdot (\partial c).$$

En particulier le produit $\cdot$ induit bien un produit en homologie.

Par définition, lorsque $i+j=d$, le produit d’intersection $\cdot$ coïncide avec l’accouplement $\langle , \rangle$.

En guise de conclusion

Les groupes de cohomologie surgissent naturellement dans la preuve de la dualité de Poincaré. On énonce ici la dualité de Poincaré comme un théorème de dualité entre groupes d’homologie et cohomologie. On munit par ailleurs les groupes de cohomologie d’un produit naturel, le produit cup. Le produit d’intersection, lu à travers la dualité de Poincaré, coïncide avec le produit cup. C’est ce que l’on montre ici qui conclut la démonstration du théorème de dualité Poincaré.

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