Les complexes cellulaires, aussi appelés CW-complexes, forment une classe d’espaces topologiques plus grande que celle des complexes simpliciaux mais présentant comme eux des propriétés combinatoires les prêtant bien aux calculs homologues. Ils sont
obtenus à partir de recollements de boules de dimension $n$ ou cellules.
Nous commençons par définir précisément les CW-complexes.
Puis nous définissons une théorie homologique adaptée à ces espaces, l’homologie cellulaire, qui présente l’avantage d’être facile à calculer et de généraliser l’homologie polyédrale.
Contrairement au cas des complexes simpliciaux, il n’y a pas de morphisme de complexes naturel entre le complexe des chaînes cellulaires et le complexe des chaînes singulières. On montre toutefois que l’homologie cellulaire est bien isomorphe à l’homologie singulière.
Poincaré considère de nombreux exemples de dimension 3 obtenus comme recollement de polyèdres. On retrouvera ces exemples dans la rubrique Exemples de dimension 3, les exemples que Poincaré étudie plus particulièrement sont les recollements du cube et la variété dodécaédrique de Poincaré. Ces recollements de polyèdres sont naturellement des CW-complexes. On encourage le lecteur à calculer leurs groupes d’homologie (cellulaire). Nous considérons ici un autre exemple : les espaces projectifs réels et complexes, dont nous calculons les groupes d’homologie cellulaire.
Finalement, étant donné deux CW-complexes, il est naturel de chercher une structure cellulaire sur leur produit. Nous explicitons cette structure, et calculons, en guise d’application, l’homologiede produits de sphères ou d’espaces projectifs.