Produit des CW-complexes et homologie

Étant donné deux CW-complexes. Il est naturel de chercher une structure cellulaire sur leur produit. C’est le but de cet article.

Produit de CW-complexes

Soient $X$, $Y$ deux CW-complexes. Soient $(X^{(n)})_n$ et $(Y^{(m)})_m$ les décompositions cellulaires de $X$, $Y$. Pour toutes cellules $\phi: D^n\to e^n_\alpha\subset X^{(n)}$ et $\psi:D^m\to f^m_\beta\subset Y^{(m)}$, on définit une $n+m$-cellule

$$D^{n+m}\cong D^n\times D^m \stackrel{\phi\times \psi}\longrightarrow X^{(n)}\times Y^{(m)} \subset X\times Y$$

(on notera $e^n_\alpha\times f^m_\beta$ cette cellule). On a bien que $X\times Y$ est la réunion disjointe des cellules ouvertes données par les $(e^n_\alpha\times f^m_\beta)$ où $e^m_\alpha$ et $f^m_\beta$ parcourent respectivement l’ensemble des cellules de $X$ et de $Y$. On obtient ainsi une structure de CW-complexe sur l’ensemble $X\times Y$.

Complexe cellulaire d’un produit de CW-complexes

Le complexe cellulaire produit est assez simple à décrire. Rappelons que $CW_\bullet(X)\otimes CW_\bullet(Y)$ est le complexe de chaînes qui en degré $n$ vaut $\bigoplus_{i+j=n} CW_i(X)\otimes CW_j(Y)$ et dont la différentielle, restreinte à $CW_i(X)\otimes CW_j(Y)$ est donnée par la somme $\partial \otimes id + (-1)^i id\otimes \partial$.

Démonstration. Les $\mathbb{Z}$-modules $CW_\bullet(X\times Y)$ et $CW_\bullet(X)\otimes CW_\bullet(Y)$ sont isomorphes par définition. Le problème est de vérifier que cet isomorphisme commute avec les bords.

Soit $\alpha \subset X^{(n-1)}$ une $n-1$-cellule et

$$p_{(\alpha\times f)}: (X\times Y)^{(n+m)}\to (X\times Y)^{(n+m)}/ (X\times Y)^{(n+m-1)} \cong \bigvee S^{n+m-1}\to S^{n+m-1}$$

la « projection » sur la sphère correspondant à la cellule $\alpha\times f$ de $(X\times Y)^{(n+m-1)}$. Un argument similaire à celui du lemme assure que le degré de la composée $p_{(\alpha\times f)}\circ (\phi\times \psi)_{|\partial D^{n+m}}$ est le même que le degré de l’application $p_\alpha \circ \phi_{|\partial D^n}$ (c’est-à-dire celui calculant le bord dans le complexe $CW_\bullet(X)$). La même analyse s’applique en inversant les rôles de $X$ et $Y$. On en déduit que le bord de $CW_n(X\times Y)$ est bien donné par $\sum \partial \otimes id_{CW_j(Y)} + (-1)^i id_{CW_i(X)}\otimes \partial.$

C.Q.F.D.

Exemples

Calculons l’homologie de $S^n\times S^m$. Le complexe cellulaire associé a une cellule de dimension 0, une de dimension $n$, une de dimension $m$ et une de dimension $n+m$. D’après les calculs que l’on a déjà vu pour les sphères, toutes les différentielles sont nulles. Il suit que

$$H_\bullet(S^n\times S^m) \cong H_\bullet(S^n)\otimes H_\bullet(S^m)$$

est nul sauf en degré $0$, $n$, $m$ et $n+m$ où il est isomorphe à $\mathbb{Z}$ (si $n=m$, on a donc $H_n(S^n\times S^n)\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$).

Exercice.

• Calculer l’homologie de $\mathbb{RP}^2\times \mathbb{RP}^2$, $\mathbb{CP}^n\times \mathbb{RP}^m$.
• Calculer l’homologie d’un produit $S^1\times \cdots\times S^{2015}$.