Construction générale
On s’intéresse ici aux fibrés sur le cercle, c’est-à-dire à des fibrations du type $F\hookrightarrow M \rightarrow S^1$. Les fibrés sur le cercle existent en toutes dimensions, on va ici se concentrer sur des exemples en dimension $3$ : la fibre $F$ est alors une surface. Ces variétés peuvent être décrites à l’aide de la notion de suspension. Soit $F$ une variété connexe, compacte et, par simplicité, orientée. Soit $\phi: F\longrightarrow F$ un homéomorphisme/difféomorphisme de $F$. La suspension de $\phi$ est alors la variété $M_\phi$ obtenue à partir du produit $F\times [0,1]$ en identifiant $(x,0)$ et $(\phi(x),1)$ pour tout $x\in F$. On peut également décrire $M_\phi$ en partant de $F\times \mathbb R$ et en identifiant $(x,t)$ et $(\phi (x), t+1)$ pour tous $x\in F$ et $t\in\mathbb R$. On obtient une structure de fibré sur le cercle en projetant sur la seconde coordonnée.
Les suspensions apparaissent naturellement en dynamique lorsque l’on regarde l’application premier retour d’un flot sur une surface transverse. De tels exemples ont été étudiés par Poincaré.
La variété $M_\phi$ ne dépend que de la classe d’isotopie de $\phi$. Plus précisément, si $\phi_1$ et $\phi_2$ sont deux difféomorphismes d’une même surface $F$, un lemme de recollement implique que $M_{\phi_1}$ et $M_{\phi_2}$ sont homéomorphes si $\phi_1$ et $\phi_2$ sont soit isotopes, soit conjugués.
Exemples
Si $\phi$ est l’identité de $F$, la suspension $M_\phi$ de $\phi$ est tout simplement le produit $F\times \mathbb{S}^1$. Si $F=[0,1]$ et $\phi(x)=1-x$ pour tout $x\in[0,1]$, on obtient un ruban de Möbius (c’est le seul exemple de difféomorphisme ne préservant pas l’orientation que nous allons considérer ici). Voyons maintenant un peu plus précisément ce qui se passe quand $F$ est une surface et que $\phi$ est orientable.
Suspensions de la sphère
Si $F=\mathbb{S}^2$, un théorème de Smale assure que tout difféomorphisme de la sphère $\mathbb{S}^2$ préservant l’orientation est isotope à l’identité. Il existe donc une unique suspension de la sphère par un difféomorphisme préservant l’orientation. Cette suspension est homéomorphe à $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^1$.
Suspensions du tore
Le cas où $F=\mathbb T^2$ est étudié dès le paragraphe 11 [1] de l’Analysis Situs. On obtient une infinité de suspensions non homéomorphes, dont la topologie dépend de l’action de $\phi$ sur le premier groupe d’homologie du tore. Ce cas déjà très riche est présenté en détails dans l’article
Suspensions des surfaces de genre supérieur
L’étude systématique des suspensions de surfaces de genre supérieur est beaucoup plus difficile, principalement parce qu’il est difficile de décrire leur groupe modulaire. L’étude de ces suspensions a cependant été un élément clé de la compréhension des variétés hyperboliques de dimension $3$. La théorie générale dépasse de loin les travaux de Poincaré et ne sera pas traitée ici. Nous présentons seulement un exemple particulièrement intéressant où la surface est de genre $2$ :
Groupe fondamental d’une suspension
Le théorème de Van Kampen permet de calculer le groupe fondamental de $M_\phi$ : si on a
$$\pi_1(F)=\langle x_1,\dots,x_n\mid r_1,\dots,r_k\rangle$$
alors
$$\pi_1(M_\phi)=\langle x_1,\dots,x_n,t \; | \; r_1,\dots,r_k, x_1 t^{-1}\phi_*(x_1)^{-1},\dots, x_n t^{-1}\phi_*(x_n)^{-1}\rangle$$
où $\phi_*$ est l’isomorphisme induit par $\phi$ sur $\pi_1(F)$. Le groupe $\pi_1(F)$ est alors distingué dans $\pi_1(M_\phi)$ et le quotient est isomorphe à $\mathbb Z$.
Suspensions et revêtements
Soit $\phi$ un difféomorphisme de la surface $F$ et soit $n\in\mathbb N^*$. On s’intéresse maintenant aux liens entre $M_{\phi^n}$ et $M_\phi$.
Intuitivement, la variété $M_{\phi^n}$ s’obtient en recollant $n$ copies de $M_\phi$. Plus précisément, la variété $M_{\phi^n}$ se projette sur $M_\phi$ par l’application $p$ définie par
$$p([x,t])=[(x,nt)].$$
et qui est un revêtement à $n$ feuillets. L’action du groupe fondamental sur une fibre est cyclique. Dans les notations de la section précédente, le stabilisateur d’un point est engendré par $ x_1,\dots,x_n$ et $t^n$. L’application $p$ est donc un revêtement galoisien cyclique d’ordre $n$.
[1] Et même plus tôt dans la Note de 1892.