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Nous allons maintenant donner un sens à l’affirmation selon laquelle l’action du groupe fondamental de la base sur la fibre d’un revêtement détermine ce revêtement. Il n’y a pas besoin dans ce cas de demander la connexité de l’espace total du revêtement.
Soit $X$ un espace connexe et $x_0 \in X$ un point-base. Soit $p : Y \to X$ et $p' : Y' \to X$ deux revêtements de $X$. On note $F$ et $F'$ leurs fibres respectives au-dessus de $x_0$.
Alors $p$ et $p'$ sont isomorphes si et seulement si les actions à droite de $\pi_1(X, x_0)$ sur les fibres sont isomorphes, c’est-à-dire si et seulement s’il existe une bijection $\pi_1$-équivariante $\psi : F \to F'$.
Démonstration. Si $f$ est un isomorphisme entre $p$ et $p'$ alors $f$ induit une application $\pi_1$-équivariante entre les fibres $F$ et $F'$. Réciproquement, soient $p : (Y,y_0)\to (X,x_0)$ et $p': (Y',y'_0)\to (X,x_0)$ tels que les actions à droite de $\pi_1(X, x_0)$ sur les fibres soient isomorphes. On suppose que $y'_0=\psi(y_0)$. Par le théorème de classification des revêtements, il suffit de montrer que $H(p, x_0, y_0)=H(p', x_0, y'_0)$ pour montrer que $p$ et $p'$ sont isomorphes. Or $H(p, x_0, y_0)$ est le stabilisateur de $y_0$ sous l’action de $\pi_1(X,x_0)$ et $H(p', x_0, y'_0)$ le stabilisateur de $y'_0$.
Ainsi,
$$g\in H(p, x_0, y_0)\Leftrightarrow y_0\cdot g =y_0\Leftrightarrow\psi(y_0)\cdot g =\psi(y_0)\Leftrightarrow g\in H(p', x_0, y'_0).$$
D’où $H(p, x_0, y_0)=H(p', x_0, y'_0)$.
C.Q.F.D.
En outre, toutes les actions possibles sont réalisées par un revêtement.
Soit $F$ un ensemble muni d’un action à droite de $\pi_1(X,x_0)$. Alors, il existe un revêtement $p_F : Y_F\to X$ et une bijection $\pi_1$-équivariante de $p_F^{-1}(x_0)$ dans $F$.
Démonstration. Soit $p :\widetilde{X}\to X$ le revêtement universel. On écrit $X=\Gamma\backslash\widetilde{X}$. Le groupe fondamental $\pi_1(X,x_0)$ s’identifie alors à $\Gamma$.
Quitte à considérer une orbite sous l’action de $\pi_1(X,x_0)$, on peut supposer que l’action est transitive (chaque orbite donne alors une composante connexe du revêtement). Si $p :(Y,y_0)\to (X,x_0)$ est un revêtement, $\pi_1(Y,y_0)$ s’identifie au stabilisateur de $y_0$. On considère donc $z\in F$ et $\Lambda$ le sous-groupe de $\Gamma$ correspondant au stabilisateur de $z$. Le revêtement $p_F : \Lambda\backslash\widetilde{X}\to \Gamma\backslash\widetilde{X} $ convient. En effet, sa fibre s’identifie à l’espace des orbites de $\Gamma$ sous l’action de $\Lambda$ par multiplication à gauche. De plus, l’application
$$\begin{array}{cccc} & \Gamma&\longrightarrow &F\\ &g&\longmapsto&z\cdot g \end{array}$$
passe au quotient en une application $\Lambda\backslash\Gamma\to F$ qui est $\Gamma$-équivariante.
C.Q.F.D.